2025-2026学年湖南长沙周南中学高二下学期期末数学试卷及答案

湖南长沙市周南中学学年高二下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共项是符合题目要求的）1.若复数，则（）A.B.C.D.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.在二项式的展开式中，的系数为（）A.32B.16C.8D.44.已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为（）A.B.C.D.5.已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.7.设，，（）A.B.C.D.8.已知函数，与的图象有唯一公共点，则的值为（）A.B.C.D.第1页/共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列满足，则下列结论正确的有（）A.数列是等差数列B.数列是等比数列C.的通项公式为D.数列是递增数列10.过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（）A.抛物线的准线方程为B.当的倾斜角为时，C.当垂直于轴时，弦长最小D.已知函数，则下列说法正确的有（）A.对任意的均有两个零点B.若方程有两实根，则C.若正实数满足，则D.若，则3小题，每小题5分，共分）12.求值：__________.13.已知函数，则函数的极大值点为__________，极大值为__________．14.已知球是棱长为1的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为________．5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．第2页/共4页（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若，求面积的最大值.17.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18.100名学生进行调查．经统计，其中主动预习的有45人，且这100名学生近期考试成绩（分数均在内）的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格．主动预习不主动预习合计第3页/共4页合格优秀10合计100（1）根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数；（2）请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与主动预习有关？（3）若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取2020人中主动预习的人数为，求的均值和方差．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.已知椭圆：的离心率为，过点．（1）求的方程；（2的直线交于，，在交直线于点．（ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；（ⅱ）证明：直线过定点．第4页/共4页

湖南长沙市周南中学学年高二下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共项是符合题目要求的）1.若复数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】，所以.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化简A，B，求交集即可.【详解】因为，，所以．故选：A3.在二项式的展开式中，的系数为（）A.32B.16C.8D.4【答案】A【解析】【详解】二项式的展开式的通项为，，令，得展开式中含的项为，故的系数为32.4.已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为（）第1页/共18页A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用计算可求出离心率.【详解】因为，所以，即．故选：B．5.已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】的标准方程得到圆的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可.【详解】易知圆的圆心为，半径为2，圆心到的距离，所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条，可得一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1.故选：C.6.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量的计算方法求解即可.第2页/共18页【详解】由题意得，，所以向量在向量上的投影向量是.7.设，，（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出的值，再根据条件概率公式求解即可.【详解】因为，，所以，解得.所以.8.已知函数，与的图象有唯一公共点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意方程有唯一解，利用换元得到,结合余弦函数的值域求出左式的最小值，即可求得值．【详解】由得，，则(*)，令，当时，，当时，，第3页/共18页综上，可得，故(*)左边为：，当且仅当，即时等号成立，故(*)左边的最小值为，且取值唯一，要使两函数的图象有唯一公共点，需使，故．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列满足，则下列结论正确的有（）A.数列是等差数列B.数列是等比数列C.的通项公式为D.数列是递增数列【答案】AC【解析】【详解】由，得，则，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误；则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误.10.过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（）A.抛物线的准线方程为B.当的倾斜角为时，C.当垂直于轴时，弦长最小D.【答案】ABC【解析】【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合几何图形运算可判断BCD．第4页/共18页【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确；如图根据抛物线的定义可知：，，由，故B正确；设，则，同理可得：，所以，此时取到最小值，故C正确；由上可得：，故D错误；故选：ABC已知函数，则下列说法正确的有（）A.对任意的均有两个零点B.若方程有两实根，则C.若正实数满足，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】令，结合指数函数的性质求解判断A，对函数求导，判断函数的区间单调性，进而研究区间的函数值范围，再由根的个数确定参数范围判断B，由，结合函数的区间单调性有，结合基本不等式判断C，令，则，结合对勾函数、第5页/共18页指数函数的性质确定符号判断D.【详解】对于A，，即，A正确；对于B，，由，故，所以在和上单调递增，注意趋近于时，趋近于，从小于0一侧趋近于0时，趋近于1，从大于0一侧趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，故若方程有两实根，，B错误；对于C，由，又在上单调递增，如果，则，则矛盾，故有，故，当且仅当时取等号，C正确；对于D，令，则，由于在上单调递增，当时，，，当时，，，当时，，D错误，故选：AC3小题，每小题5分，共分）第6页/共18页12.求值：__________.【答案】##【解析】【分析】利用余弦二倍角公式即可求解.【详解】.故答案为：13.已知函数，则函数的极大值点为__________，极大值为__________．【答案】①.②.【解析】【详解】函数，定义域，，令，解得或，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故在处取得极大值，．14.已知球是棱长为1的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为________．【答案】【解析】第7页/共18页【分析】根据题意，证得平面平面，得到点在平面与球的截面圆上，求得正的边长为，以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得到，正内切圆的方程为，结合圆的性质，即可求解.【详解】如图所示，在正方体中，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可证：平面，又因为，且平面，所以平面平面，要使得平面，且点为球表面上一动点，所以点在平面与球的截面圆上，且截面圆恰为的内切圆，因为正方体的棱长为，可得正的边长为，其内切圆的半径为，以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可得，内切圆的方程为设，则，因为表示内切圆上点到原点的距离，可得内切圆与轴的交点为时，距离最大，最大距离为，则的最大值为.第8页/共18页5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）解法1：连接，，因为在直三棱柱中，四边形为平行四边形，所以M为中点，又N为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．解法2：证明：取中点P，连结，，由M，N分别是与的中点，所以,第9页/共18页又因为平面，平面，所以平面．同理，平面．又，平面，所以面面．而平面，所以平面．（2）．【解析】1）方法1，通过线面平行判定定理证明，方法2，通过面面平行证明线面平行；（2）利用空间向量法求解线面角的正弦值.【小问1详解】略.【小问2详解】以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，设，则．则，，，，，，所以，，．第10页/共18页设平面MNC的一个法向量为，则，．即，令，则．所以平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，又，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】1的范围，可求出角的值，（2）由余弦定理结合基本不等式可得，然后利用三角形的面积公式可求出面积的最大值【小问1详解】由正弦定理得，又，所以，所以，即.第11页/共18页因为，，所以，即.【小问2详解】由余弦定理得，即.所以，即.当且仅当时，等号成立.所以.所以面积的最大值为.17.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）（2）.【解析】1）根据题意列方程组，解出和即可求得，从而得出和求得；（2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求和.【小问1详解】由题意知，解得或所以，则，所以.第12页/共18页【小问2详解】由（1）知．因为，所以，两式相减得，故．18.100名学生进行调查．经统计，其中主动预习的有45人，且这100名学生近期考试成绩（分数均在内）的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格．主动预习不主动预习合计合格第13页/共18页优秀10合计100（1）根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数；（2）请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与主动预习有关？（3）若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取2020人中主动预习的人数为，求的均值和方差．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）众数为590；中位数为590（2）主动预习不主动预习合计合格254570优秀201030合计4555100可以认为学生成绩优秀与主动预习有关（3）均值9；方差4.95【解析】1）根据众数及中位数的定义即可求解；（2）根据频率分布直方图补全列联表，计算后，对照临界值即可得出答案；第14页/共18页（3）根据题目得出，再根据二项分布的期望及方差公式即可求解．【小问1详解】由频率分布直方图得，众数为590；，，中位数为．【小问2详解】由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有人，则成