32　大单元五　微专题17　随机变量及其分布

微专题17

随机变量及其分布大单元五概率与统计一图通·构建知识图谱题点通·突破高频考点

分布列的性质及应用X－101Pa

√

√√√

【规律方法】

分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．【跟踪训练1】(多选)(2025·辽宁重点高中期末)已知随机变量X的分布列为√√

X1234Pp23p21－2p＋p21－3p＋p2

随机变量的分布列(1)若书店只允许随机选择一个关卡闯关，求小明通关的概率；(2)若书店规定在第一关通关后必须连续闯关，通关即可获得对应通关奖励，第一关闯关失败后终止游戏，两关奖励互不影响．小明通过掷骰子选择闯关的序号，若他掷出的点数小于3，则先选择A号关卡，否则选择B号关卡，记小明赢得购书卡的金额为X元，求X的分布列和数学期望．

X05006001

100P考向2

超几何分布【例3】在一种新能源产品的客户调查活动中发现，某小区10位客户中有4人是该产品的潜在用户，小刘负责这10人的联系工作，他随机选择其中5人安排在上午联系，剩余5人下午联系．(1)设上午联系的这5人中有ξ个潜在用户，求ξ的分布列与期望；(2)小刘逐一依次联系，直至确定所有潜在用户为止，求小刘6次内即可确定所有潜在用户的概率．

ξ01234P

【规律方法】

求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．第三步，用表格的形式列出分布列．

所以Y的分布列为

Y0123P【规律方法】

破解有关二项分布的“四关”【跟踪训练2】(1)已知随机变量X~B(2，p)，其中0<p<1，随机变量Y的分布列为

Y012Pq

(2)(2025·河北石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图．①估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数；②依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)内的志愿者人数，求X的分布列及期望．

所以X的分布列为

X0123P

正态分布√√(2)(2024·四川成都二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布N(μ，σ2)．①已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次；②在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的人数，求P(X≥1)的概率及X的数学期望．参考数据：0.997440≈0.9011．参考公式：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9974．

②在本次考试中，抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997

4．所以抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002

6．所以随机变量X服从二项分布，即X~B(40，0.002

6)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997

440≈0.098

9，则E(X)＝np＝40×0.002

6＝0.104．【规律方法】

解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ．(2)样本标准差为σ．(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【跟踪训练3】某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成