《工程力学》课件-项目7：圆轴扭转

圆轴扭转的概念及应力

职业教育专业教学资源库——数控技术圆轴扭转的概念汽车传动传递发动机动力的传动轴旋转螺钉的旋具钻孔时的钻头在工程实际及日常生活中，常会遇到的一些发生扭转变形的杆圆轴扭转的概念外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。扭转特点为：作用在杆件两段的一对力偶，大小相等，方向相反，而且力偶作用面垂直于杆轴线。

变形特征是：杆的各横截面绕轴线发生相对移动。扭转角（φ）任意两截面绕轴线转动而发生的角位移剪应变（ψ）直角的改变量圆轴扭转时横截面上的内力一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：P是功率，单位为千瓦（kW）n为转速，单位为转/分（rpm）输入端受到的外力偶矩是带动轴转动的主动力偶矩，它的转向应与轴的转向一致；而输出端受到的外力偶矩是阻力偶矩，它的转向应与轴的转向相反。二、扭矩及扭矩图MMMTx构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作”Mn”。扭矩轴原来处于平衡状态，如果去掉了右端，但右端对左端的作用还保留着，所以左端还是平衡。左端受到外力偶作用。根据力偶只能用力偶平衡原理，所以截面m-m上必定是一个内力偶，其大小相等，方向相反。二、扭矩及扭矩图力偶平衡方程ΣM=0如果取右端为研究对象，可以获得同样大小的扭矩，但方向相反。用右手螺旋法则将扭矩表示为矢量，即右手的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向，若矢量的指向离开截面，则扭矩为正，反之为负。扭矩的符号规定二、扭矩及扭矩图表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线扭矩图xMn

①扭矩变化规律；②|Mn|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。目的例题已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDM2

M3

M1

M4解：①计算外力偶矩例题已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDM2

M3

M1

M4解：②求扭矩（扭矩按正方向设）112233例题已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDM2

M3

M1

M4解：③绘制扭矩图BC段为危险截面。xMn4.789.566.37

––圆轴扭转时横截面上的内力职业教育专业教学资源库——数控技术等直圆杆扭转实验观察实验观察圆周线的形状、大小及相互之间的距离都没有变化，但它们绕轴线发生了相对转动。所有纵向线倾斜了同一角度γ，使圆轴表面上的矩形变为平行四边形。等直圆杆扭转实验观察假定横截面始终保持为平面。平面假设由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间发生旋转式的相对错动，发生了剪切变形，故截面上有切应力存在。又因半径长度不变，故切应力方向必与半径垂直。由于相邻截面的间距不变，所以横截面上无正应力。相对错动的位移愈大，说明该点的切应变愈大，该点的切应力也就愈大。结论等直圆杆扭转实验观察几何关系

TA1ABB1(a)为了求得切应力在截面的分布规律，取出一相邻截面相对错动的示意图（图a示）观察截面各点处的剪切变形。从图a可看出，截面上距轴线愈远的点，相对错动的位移愈大，说明该点的切应变愈大。等直圆杆扭转实验观察几何关系

TA1ABB1(a)T

maxAB

P

(b)为了求得切应力在截面的分布规律，取出一相邻截面相对错动的示意图（图a示）观察截面各点处的剪切变形。从图a可看出，截面上距轴线愈远的点，相对错动的位移愈大，说明该点的切应变愈大。由剪切胡克定律可知，在剪切弹性范围内，切应力与切应变成正比，得出横截面切应力与

垂直，与

成正比例的线性分布规律（图b所示）。等直圆杆扭转实验观察从变形几何关系和静力学平衡关系可知：横截面任一点的切应力与扭矩T成正比，与该点到轴线的距离

成正比，与截面的极惯性矩Ip成反比。切应力公式切应力公式等直圆杆扭转实验观察切应力公式最大切应力发生在截面圆周边缘处，即

=D/2时，其值为：

WP称为抗扭截面系数WP=IP/(D/2)

说明：应力公式只适合与圆截面轴，而且截面上的最大切应力不得超过材料的剪切比例极限。实心圆截面极惯性矩和抗扭截面系数设直径为D，则：空心圆截面设外径为D，内径为d，取内外径之比d/D=

。则：圆轴扭转的强度计算扭转切应力强度准则对于等截面圆轴，最大切应力一定发生在扭矩最大的截面上；对于阶梯轴，由于各段截面的WP不同，最大切应力因此需综合考虑Wp和T两个量来确定。课堂练习判断题圆轴扭转的切应力公式，也适用其它任意形状的轴。（）圆轴发生扭转，圆轴中心的切应力最大。（）

【解析】圆轴扭转的切应力公式，只适用于圆轴。圆轴发生扭转，圆轴中心的切应力为0。圆轴扭转时的变形及刚度计算职业教育专业教学资源库——数控技术圆轴扭转时的变形两横截面绕轴线相对转动过的角度扭转角

理论推证表明：对于轴长为l、扭矩为常数的等截面圆轴，两端截面间的相对扭转角与扭矩T成正比，与轴长l成正比，与截面的极惯性矩IP成反比，即式中GIP称为截面的抗扭刚度。刚度准则单位轴长的扭转角相对扭转角

圆轴扭转时，既要满足强度准则，还要求不产生过大的变形。即最大相对扭转角刚度计算不超过许用扭转角。得应用圆轴扭转的刚度准则，可以解决三类问题：刚度计算的三类问题确定许可载荷校核刚度设计截面图示的传动轴，已知M1=640N•m，M2=840N•m，M3=200N•m，切变模量G=80GPa，求截面C相对于A的扭转角。课堂练习xTM1M2M3ABC4003220040-200N·m640N·m解：1.画轴的扭矩图各段轴上的扭矩

AB段：T1=640N·m

BC段：T2=-200N·m例1课堂练习2.求扭转角

AC

用叠加法计算圆轴的扭转角ABC

AB

BC

AC图示的传动轴，已知M1=640N•m，M2=840N•m，M3=200N•m，切变模量G=80GPa，求截面C相对于A的扭转角。例1课堂练习

图示传动轴，n=300r/min，输入力矩MC=955N·m，输出MA=159.2N·m，MB=318.3N·m，MD=477.5N·m，已知G=80GPa，[

]=40MPa，[

]]=1°/m，试按强度和刚度准则设计轴的直径。解：1.画轴的扭矩图各段轴上的扭矩AB段：T1=-159.2N·mBC段：T2=-477.5N·mCD段：T3=477.5N·mTmax=477.5N·mMAMBMCMDABCDxT-477.5N·m477.5N·m-159.2N·m例2课堂练习2.按强度设计轴径d由强度准则得MAMBMCMDABCDxT-477.5N·m477.5N·m-159.2N·m

图示传动轴，n=300r/min，输入力矩MC=955N·m，输出MA=159.2N·m，MB=318.3N·m，MD=477.5N·m，已知G=80GPa，[

]=40MPa，[

]]=1°/m，试按强度和刚度准则设计轴的直径。例2课堂练习MAMBMCMDABCDxT-477.5N·m477.5N·m-159.2N·m3.按刚度设计轴径d由