《工程力学》课件-项目8：直梁弯曲

直梁弯曲的概念职业教育专业教学资源库——数控技术工程实例南京长江大桥工程实例起重机大梁工程实例车削工件直梁弯曲的概念咬定青山不放松，立根原在破岩中，千磨万击还坚劲，任尔东西南北风。——郑板桥《竹石》直梁弯曲的概念以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。直梁弯曲的概念

通过对称轴与梁轴线确定的平面，称为梁的纵向对称面。直梁弯曲的概念平面弯曲直梁弯曲的概念受力特点受到垂直杆件轴线方向载荷。载荷作用于梁的纵向对称面。变形特点杆件的轴线由原来的直线变形为曲线。梁的力学模型与基本形式梁的简化无论梁的外形如何复杂，都可用梁的轴线代替梁使问题得以简化。载荷的简化梁的力学模型与基本形式集中载荷分布载荷集中力偶梁的力学模型与基本形式梁的力学模型与基本形式非均匀分布载荷实例简化梁的力学模型与基本形式载荷的简化集中载荷分布载荷集中力偶支座的简化梁的力学模型与基本形式固定铰支座活动铰支座固定端FAxFAyFByFAxMA梁的力学模型与基本形式实例简化梁的力学模型与基本形式实例简化静定梁的基本形式梁的力学模型与基本形式FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA简支梁外伸梁悬臂梁本节课小结平面弯曲的受力特点和变形特点梁的力学模型简化梁的基本形式主讲人：梁弯曲时横截面上的内力求梁的内力FMBFBABl1求支座的约束力FB=FMB=Fl求梁的内力FABl1求支座的约束力FB=FMB=Fl2求任意截面的内力截：一截为二取：任取一段代：平：平衡求力xmm∑Fy=0FQ=F∑MC=0M=FxFlFxAFQ=FM=Fxx求梁的内力FABl1求支座的约束力FB=FMB=Fl2求任意截面的内力xmmFAFQ=FM=FxFll-xFlFF=FQFx=M截：一截为二取：任取一段代：平：平衡求力求梁的内力+MM_MM+FQFQ_FQFQ为了使取左段梁或右段梁求同一截面上的剪力与弯矩时，不仅数值相等，而且符号一致，对剪力和弯矩的正负作了如下的规定：x求梁的内力FABlFQ=-FM=-FxxmmFAFQ=FM=FxFll-xFlFF=FQFx=M求梁的内力取左段为研究对象FQ=外力上为正，下为负，代数相加M=外力偶矩顺为正，逆为负，代数相加取右段为研究对象FQ=外力下为正，上为负，代数相加M=外力偶矩逆为正，顺为负，代数相加例题求mm截面上的剪力和弯矩1求支座的约束力2求任意截面的内力FL/2L/2ABCFAFB

FQM

mm课程总结截面法求梁内力的方法如何判断剪力弯矩的正负剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图职业教育专业教学资源库——数控技术剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图BAlCFab在一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩是随横截面位置的变化而连续变化的，若取梁的轴线为x轴，即以坐标x表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为截面坐标x的单值函数。FQ=FQ(X)xM=M(X)剪力方程弯矩方程剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图FQxMx剪力图弯矩图BAlCFabFQ=FQ(X)xM=M(X)剪力方程弯矩方程例题一图示简支梁C点受集中力作用。BAlFAFBx2x1CFab试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。1确定约束力解FA＝Fb/lFB＝Fa/l2写出剪力和弯矩方程ACCBFAx1FQMFBl-x2MFQ例题一图示简支梁C点受集中力作用。BAlFAYFBYx2x1CFab试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解3依方程画出剪力图和弯矩图FQxMx剪力图弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力图弯矩图FF有力有突变有力有拐点例题二图示简支梁C点受集中力偶作用。BAlFBx2x1试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。1确定约束力解FA＝M/lFB＝-M/l2写出剪力和弯矩方程ACCBCMabFAFAx1FQMFBl-x2MFQ方向如图Mx例题二图示简支梁C点受集中力偶作用。BAlFBx2x1试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。1确定约束力解FA＝M/lFB＝-M/l2写出剪力和弯矩方程CMabFA3依方程画出剪力图和弯矩图ACCBFQx方向如图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力图弯矩图FF有力有突变有力有拐点MM与M无关有力偶有突变例题三悬臂梁受均布载荷作用。试画出剪力图和弯矩图。1确定约束力解2写出剪力和弯矩方程FB＝qlqxlqxABFB方向如图q例题三悬臂梁受均布载荷作用。试画出剪力图和弯矩图。2写出剪力和弯矩方程解3依方程画出剪力图和弯矩图qxlABFBqFQxMx由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力图弯矩图FF有力有突变有力有拐点MM与M无关有力偶有突变qql本节课小结剪力图弯矩图FF有力有突变有力有拐点MM与M无关有力偶有突变qql剪力为0截面剪力为0截面直梁弯曲内力计算及内力图绘制习题讲解职业教育专业教学资源库——数控技术本节课小结均布载荷集中力偶存在集中力剪力弯矩图的特点本节课小结与M无关FMqM有力偶有突变有力有拐点F有力有突变ql剪力图弯矩图剪力为0截面剪力为0截面例题试画出梁的剪力图和弯矩图qBADa2aCaqa2例题试画出梁的剪力图和弯矩图确定约束力方向如图解1确定控制面2支座A右侧为控制面；集中力偶作用面C的左右两侧面；DB段有连续分布载荷作用，D、B两个截面为控制面；约束力FB右侧的截面为控制面。qBADa2aCaqa2FAFB例题试画出梁的剪力图和弯矩图qBADa2aCaqa2解确定控制面上的剪力值，并绘制剪力图3OFQxOMx例题试画出梁的剪力图和弯矩图qBADa2aCaqa2解确定控制面上的剪力值，并绘制剪力图3OFQxOMx确定控制面上的弯矩值，并绘制弯矩图4（+）AC例题试画出梁的剪力图和弯矩图qBADa2aCaqa2解确定控制面上的剪力值，并绘制剪力图3OFQxOMx确定控制面上的弯矩值，并绘制弯矩图4（+）例题试画出梁的剪力图和弯矩图qBADa2aCaqa2解确定控制面上的剪力值，并绘制剪力图3OFQxOMx确定控制面上的弯矩值，并绘制弯矩图4（+）（+）ADaCaqa2例题试画出梁的剪力图和弯矩图qBADa2aCaqa2解确定控制面上的剪力值，并绘制剪力图3OFQxOMx确定控制面上的弯矩值，并绘制弯矩图4（+）（+）（-）ADaxCaqa2E

E例题试画出梁的剪力图和弯矩图qBADa2aCaqa2解确定控制面上的剪力值，并绘制剪力图3OFQxOMx确定控制面上的弯矩值，并绘制弯矩图4（+）（-）ADaCaqa2E

（+）例题试画出梁的剪力图和弯矩图qBADa2aCaqa2解确定控制面上的剪力值，并绘制剪力图3OFQxOMx确定控制面上的弯矩值，并绘制弯矩图4（+）（-）E（+）本节课小结与M无关FMqM有力偶有突变有力有拐点F有力有突变ql剪力图弯矩图剪力为0截面剪力为0截面梁弯曲时横截面上的正应力职业教育专业教学资源库——数控技术一、纯弯曲和横力弯曲的概念梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲

1.实验现象观察与平面假设(1)横向线变化平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。

1.实验现象观察与平面假设(2)纵向线变化设想梁是由无数条纵向纤维组成的，且梁的高度不变，则各纤维无挤压，处于单向的拉伸或压缩状态。所以梁横截面上只有正应力。

2.梁纯弯曲时横截面的正应力的分布规律由图可以看到凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变——中性层中间层与横截面的交线——中性轴梁弯曲时，横截面绕中性轴偏转了一个角度

2.梁纯弯曲时横截面的正应力的分布规律xzy正应力分布的特点距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。正应力也相等。中性轴上的线应变为零，所以正应力亦为零。

2.梁纯弯曲时横截面的正应力的分布规律正应力分布的特点xzy在图示的受力情况下，中性轴上是压应力，中性轴下部是拉应力。横截面上的正应力沿y轴呈线性分布。最大的正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘。

3.梁纯弯曲时横截面的正应力的计算xzyM中性轴z通过形心----轴惯性矩----抗弯截面系数

4.常见截面的IZ

和WZ计算圆截面zy空心圆截面yz矩形截面zy本次课小结纯弯曲时横截面上的正应力zyy梁弯曲时的强度计算职业教育专业教学资源库——数控技术梁弯曲时的正应力强度条件对等截面梁xzy

弯矩最大的截面上；离中性轴最远处。梁弯曲正应力强度计算解决三类问题强度校核设计截面确定许可载荷梁弯曲正应力强度计算例题1图示圆截面简支梁，已知截面直径为d=50mm，作用力F=6kN，a=500mm，[σ]=160MPa，试按正应力强度准则校核强度。BAaFaFAFB解：确定约束力梁弯曲正应力强度计算例题1图示圆截面简支梁，已知截面直径为d=50mm，作用力F=6kN，a=500mm，[σ]=160MPa，试按正应力强度准则校核强度。BAaFaF/2F/2解：确定约束力画弯矩图梁中点为危险截面MxFa/2（+）梁弯曲正应力强度计算例题1图示圆截面简支梁，已知截面直径为d=50mm，作用力F=6kN，a=500mm，[σ]=160MPa，试按正应力强度准则校核强度。BAaFaF/2F/2解：画弯矩图梁中点为危险截面MxFa/2（+）强度计算梁的强度足够梁弯曲正应力强度计算例题2图示空心圆截面外伸梁，已知M0=1.2kN·m，l=300mm，a=100mm，D=60mm，[σ]=160MPa，试按正应力强度准则设计内径d。解：确定约束力BAlMoaCFAFB梁弯曲正应力强度计算例题2图示空心圆截面外伸梁，已知M0=1.2kN·m，l=300mm，a=100mm，D=60mm，[σ]=160MPa，试按正应力强度准则设计内径d。解：确定约束力BAlMoaCFAFBMx（-）M0画弯矩图B截面为危险截面梁弯曲正应力强度计算例题2图示空心圆截面外伸梁，已知M0=1.2kN·m，l=300mm，a=100mm，D=60mm，[σ]=160MPa，试按正应力强度准则设计内径d。解：BAlMoaCFAFB画弯矩图B截面为危险截面强度计算梁的内径要大于等于54mmMx（-）M0FABlbh梁弯曲正应力强度计算例题3矩形截面悬臂梁，已知截面b×h=60mm×100mm，梁跨l=1000mm，[σ]=170MPa，试确定该梁的许可载荷[F]。解：确定约束力MAFAFABlbh梁弯曲正应力强度计算例题3矩形截面悬臂梁，已知截面b×h=60mm×100mm，梁跨l=1000mm，[σ]=170MPa，试确定该梁的许可载荷[F]。解：确定约束力MAFAMx（-）Fl画弯矩图A截面为危险截面FABlbh梁弯曲正应力强度计算例题3矩形截面悬臂梁，已知截面b×h=60mm×100mm，梁跨l=1000mm，[σ]=170MPa，试确定该梁的许可载荷[F]。解：MAFA画弯矩图A截面为危险截面强度计算梁的许可载荷为17kNMx（-）Fl课程总结梁弯曲正应力强度计算解题步骤画受力图，求约束力画弯矩图，求最大弯矩由正应力强度准则进行强度计算主讲人：直梁弯曲的刚度计算刚度计算最大挠度小于许用挠度

最大转角小于许用转角

许用挠度和许用转角根据工作要求或相关工程设计手册来确定。梁在外力作用下例题

机床空心主轴的平面简图，已知轴的外径D=80mm，内径d=40mm，l=400mm，a=100mm，材料的弹性模量E=210GPa，设切削力在该平面上的分力F1=2kN，齿轮啮合力在该平面上分力F2=lkN。若轴C端的许可挠度［yC］=0.0001l，B截面的许用转角［θB］=0.001rad。设全轴(包括BC端工件部分)可近似为等截面梁，试校核机床主轴的刚度。例题F1作用下c端的挠度和b端的转角F2作用下c端的挠度和b端的转角BAF2F1BAF1yC1

B1BAF2yC2

B2例题BAF2F1BAF1yC1

B1BAF2yC2

B2(1)简化力学模型解(2)将梁上的载荷分解(3)查表得2种情形下C截面的挠度和B截面的转角。例题BAF2F1BAF1yC1

B1BAF2yC2

B2(4)求主轴的轴惯性矩解(5)应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和

例题BAF2F1BAF1yC1

B1BAF2yC2

B2(6)校核主轴刚度解主轴的许用挠度为：主轴的许用转角为：刚度校核：∴主轴刚度满足要求课程总结查表得到简单载荷作用下梁的变形1能利用叠加原理计算相关截面的挠度和转角2能进行刚度计算3直梁弯曲时的变形职业教育专业教学资源库——数控技术直梁弯曲时的变形屋梁变形过大会引起屋顶漏水机床主轴变形过大影响齿轮正常啮合，以及轴与轴承的配合，造成不均匀的磨损和振动，不但影响机床的使用寿命，还将影响机床的加工精度。基本概念挠曲线方程：y=f(x)F挠度y：截面形心在y方向的位移y向上为正挠曲线线位移角位移挠度，即梁的某一截面形心沿垂直于梁轴线方向的线位移，小变形情况下梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移很小，可忽略不计。挠度基本概念挠曲线方程：y=f(x)F挠度y：截面形心在y方向的位移y向上为正挠曲线挠度转角θ：截面绕中性轴转过的角度。转角转角θ方程：θ

=

θ

(x)转角顺时针为正，逆时针为负。由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线的近似微分方程在线弹性、小变形条件下，梁的挠曲线近似微分方程为挠曲线方程求两次倒数等于弯矩除以弹性模量和轴惯性矩。挠曲线的近似微分方程为：

由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。在线弹性、小变形条件下，如果梁同时受到几种载荷作用时，可根据力的作用效果可以合成的原理，用叠加原理查得到每个载荷单独作用下的挠度和转角后，将他们代数叠加。用叠加法求梁的变形qFBAlMl/2C已知简支梁受力如图示，F=ql，M=ql2，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC；B截面的转角θB例：qBAyC1

B1FBAyC2

B2BAMyC3

B3解：1.将梁上的载荷分解

用叠加法求梁的变形解：qFBAlMl/2C已知简支梁受力如图示，F=ql，M=ql2，q、l、E