【《方阵的伴随矩阵性质研究》3400字（论文）】

—[7]；证明1）当，时，有．，时，令，，只要足够大，与都是可逆的，则．上述式子中的元素都是关于的多项式，由足够大的时侯对应的元素相等，则对应元素是相等的多项式，即都成立，取时，得．三、方阵的伴随矩阵性质的应用3.1利用定义求解设方阵，是的伴随矩阵，求．解因为行列式为下三角行列式，则，AA*=|A|E=10E，得，所以.点评:此题如果按照先求，再求;或者即使利用性质.也需要求，再求,都是比较不容易的．本题利用定义法，设而不求，解题简便很多．设是阶非零矩阵,是的伴随矩阵,是的转置矩阵,当时，证明:.

证明由公式及有,若,则,设的行向量为,则.即,于是与是非零矩阵矛盾点评:当时,可逆，由，两端左乘得:.设为阶矩阵，为阶矩阵，求分块对角阵的伴随矩阵：.解设，元素的余子式和代数余子式分别为和；，元素的余子式和代数余子式分别为和.利用Laplace定理可以容易地计算出：当时，的第元素的代数余子式为；当时，的第元素的代数余子式为；当属于其他范围时，的第元素的代数余子式等于零，因此.设矩阵,，则解，.点评:当时,可逆,由,两端左乘得:.3.2由伴随矩阵推导原矩阵设矩阵A的伴随矩阵，求A．解下三角行列式，于是A*可逆，所以A也可逆．根据，，得，，所以.已知三阶矩阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的逆矩阵.分析涉及伴随矩阵的问题，注意利用公式.解因为，所以.于是.由，有.因此.3.3伴随矩阵方程求解设4阶实矩阵的伴随矩阵为，如果，求矩阵Y．解因为，所以是可逆矩阵．于是也是可逆矩阵，并且,因为是4阶矩阵，所以由性质(4)可知，，又因为是4阶矩阵，所以．由此可得．在等式两边左乘，右乘，得：于是．因此．提示:分块矩阵结论.设是3阶矩阵，X是满足等式的三阶矩阵，求X．解在等式两边右乘矩阵，得到（1）因为并且，所以等式（1）可以得到，即．因此，；．设是n阶矩阵，是得伴随矩阵，求．解令．因为，所以是可逆矩阵．根据伴随矩阵的性质；．于是，．因此，．3.4伴随矩阵秩的求解设是正整数，是阶矩阵．如果，证明,．证明因为，所以．于是．设得个列为．因为．所以都是齐次方程组得解，即．于是，．.因为，所以根据定理中存在阶非零子式．于是．由此可得．因此．说明：设设是正整数，是阶矩阵．如果，那么．于是是可逆矩阵．因此．如果，那么的所有阶子式都等于零．于是．因此．试求出满足的一切阶矩阵．分析解①当时，，此时有．②当时，则，即，此时．③当时，则，当时，设，则，即．因为若，则，于是，这与矛盾.故此时．④当时，则，由可得，仅当时．综上可得，满足的矩阵是：零矩阵以及满足的可逆矩阵．设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）或（B）或（C）且（D）且应选（C）.分析由可知，可以求得，于是，当且时，.3.5伴随矩阵基本性质的直接应用设为3阶矩阵，其逆矩阵为，求，．解．故，由伴随矩阵的性质；．此时．由伴随矩阵性质；．设为阶矩阵，求证:.证明设.记分别是中的第原书的余子式.则，，的第元素为，而的第元素就是.由Cauchy-Binet公式可得，.设是任一阶方阵，是其伴随矩阵，又为常熟，且，则有....应选（B）分析本体可采用加强条件的技巧，若可逆，则由，可知，于是所以以应选（B）.题设，主要是为了做到4个选项只有一个是正确的.如果不可逆，也能得到相应的结论，只是稍微复杂一点，要用到的定义，设，其元素的代数余子式记作，则矩阵，若其元素的代数余子式记作，由行列式性质由.从而.3.6伴随矩阵与特征根设矩阵为阶可逆矩阵，非零常数是的一个特征根，则的伴随矩阵的特征根之一是()....解因为是的一个特征根，所以，使得,左乘,得,然而,于是，所以是伴随矩阵的特征根之一。故选().设均为阶方阵，求证.证明（1）当时，且，由公式，可以得到.（2）当时，考虑矩阵，，由于和都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个，使得，.由上面（1）的结论有.令，.由上式.即有无穷多个使得上式成立，但，都是多项式，从而上式对一切都成立.特别令，这时有.结论伴随矩阵是矩阵理论和线性代数中的一个重要的基本概念．它是数学很多分会的主要解题工具．经过知识整理和探讨做了以下工作：伴随矩阵的性质与伴随矩阵性质在解题中的具体应用之间的关系．引入行列式的代数余子式和伴随矩阵，研究了运算乘法矩阵的伴随矩阵的性质．伴随矩阵与矩阵与矩阵的共存和每个元素的代数余子式的矩阵的行列式伴随矩阵是数学中的一个重要概念,它是原来的矩阵和逆矩阵有着密切关系．探讨伴随矩阵的相关性质、求解及其应用对数学问题具有重要意义．参考文献北京大学数学系．高等代数[M]．（第四版）北京：高等教育出版社，2013．韩成茂.伴随矩阵性质研究[D].山东大学，2008.董改芳．关于伴随矩阵的性质及应用的研究[J]．太原学院学报(自然科学版)，2018，36(03):17-19．张艳桃.非奇异矩阵的高重伴随矩阵的若干性质[J].忻州师范学院学报，2018，34（05）:李小霞，乐肇炜．n阶方阵的伴随矩阵的几个性质[J]．数学学习与研究，2016(09):130．郭竹梅．伴随矩阵与m次伴随矩阵的对应性质[J]．宜春学院学报，2014，36(12):35-36．张丽丽.伴随矩阵的若干性质及其在解题中的应[J].陇东学院数学与统计学院，(745000)王转德，李厚彪，高中喜，等.Crammer规则的几种证明方法[J].高