chap03随机变量的产生与检验

第03讲随机变量的产生与检验第03讲随机变量的产生与检验一、伪随机数发生器的要求二、

伪随机数产生方法 2.1平方取中法2.2线性同余法2.3加同余法2.4二次平方同余法 三、随机变量的产生方法 3.1反变换法3.2拒绝法 3.3正态分布随机发生器提纲四、随机数的检验4.1科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验法基本原理4.2科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验均匀分布4.3科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验正态分布 IE3（1）所产生的数必须服从均匀分布。至于拟合的优良程度，建议采用大样本量的χ2检验。样本容量N可以取1000至10000之间的数。（2）所产生的数必须是统计独立的。随机数序列中一个数的值不能影响下一个数的值。如果随机数序列缺少独立性就可能被拒绝，但随机数序列被接受并不能证明它的独立性。（3）所产生的随机数序列必须是可以重现的，这样就允许仿真试验重复进行。（4）所产生的随机数序列在任何需要的长度内必须是不重复的。这在理论上可能是做不到，但从实践目的角度讲，在很多数目之后才出现重复性循环。这项要求已经能充分保证。随机数发生器的重复性循环出现的长度称为它的周期。（5）随机数产生的速度必须快，因为在仿真运行中通常需要处理大量的随机数，如果随机数发生器速度慢，就必然大大增加仿真运行的时间和费用。（6）用于产生随机数的方法应当占用尽可能小的存储空间，仿真模型通常需要大量的存储空间，而存储空间总是有限的，如此宝贵的资源在产生随机数的过程中占用得越少越好。一、伪随机数发生器的要求IE4二、伪随机数产生方法平方取中法是冯·纽曼(JohnvanNeumann)在40年代中期提出的。这个方法首先从某个初始的种子数开始，求出这个数的平方。取这个平方数的中间几位作为随机数序列中的第2个数；再求出第2个数的平方，又取这个平方数的中间几位作为随机数序列中的第3个数；不断按这个方式继续此算法，即可得到相应的伪随机序列。例1：利用平方取中法产生4位数的随机数序列，序列的种子数取为x0=3187，通过计算得到平方取中法IE5方法的缺点。首先，利用这个方法产生的伪随机数序列的重复周期通常较短。第二，对于较长的伪随机数序列，利用这种方法可能无法通过随机性的统计检验。第三，当在任何时候生成之后，其后产生的数都将为0。如果这种现象在一个较复杂的仿真研究过程中出现，它将会使仿真分析人员误入歧途。二、伪随机数产生方法IE6方法的缺点。第四、利用平方取中法的另一个问题是这个方法可能产生退化，即总是得到相同的xi值。二、伪随机数产生方法IE7线性同余法线性同余法在1951年由菜默尔(Lehmer)首先提出。目前大多数随机数发生器都采用这种方法。在这个算法中,随机数序列中的数由如下的递推关系产生

n≥0(1)初始值x0称为种子，常数a称为乘子，常数c称为增量，而常数m称为模数。对于(1)式，当c=0时，该算法称为乘同余法；当c≠0时，该算法称为混合同余法。此方法产生的序列也存在重复性。但大多数情况下，合理地选择常数a,c,x0和m，可以使重复周期充分的长。二、伪随机数产生方法IE8重复性例4：设a=5，c=3，m=15，取x0=7，利用线性同余法产生随机数序列。二、伪随机数产生方法线性同余法IE9如何尽可能消除重复性，通过适当选取m，a，c，x0的值可以使随机数列重复周期达到尽可能大，以消除重复性带来的影响。①m的选择:由于重复周期的长度总是小于m，因此需要将m取大的数值，m取值为(2^k)是很好的。②a和c的选取:当且仅当下列条件满足时，一个由线性同余法产生的随机数序列的最大可能重复周期为m。c与m互质，即同时能被c和m整除的正整数只有1。如果m能被4整除，则(a-1)也能被4整除，即a=1+4k。特别地，当选择a=216+5=65541或a=216+3=65539时可以得到满意的结果。至子c的选择，只要满足c与m互为质数的条件即可。③x0的选取:如果随机数序列的周期为m，因为能产生完全的序列，即在一个周期内可以取到0至（m-1）的所有值，因此x0的选取是不重要的。但仍然要小心，例如取x0=0时会产生退化的序列。对于乘同余法，由于c=O，无论怎样选择m，都无法满足c与m互质的条件，因而不可能得到满周期。若选择m=2^k，则所产生的随机数序列最大可能周期p=2^(k-2)，即在0至m-1之间的整数至多只有四分之一可能成为xn的值，而且这四分之一的整数在0至(m-1)之间是如何分布的尚难确定。这与种子数x0的选取有关。若取乘子为a=8L十3或a=8L+5形式的整数，种子x0取为奇数.则可以达到最长的周期p=2k-2。二、伪随机数产生方法线性同余法IE10最大可能周期示例：使用乘同余法，对a=13，m=2^6=64,且x0=1，2，3，4，求产生器的周期。iX0=1X0=2X0=3X0=40123411326395224118593632142632041734514529582365750437371047833235945710927115331124919136155142511155151613二、伪随机数产生方法线性同余法加同余法加同余法需要n个数的序列作为它的种子，这n个数的序列可以应用其它的方法产生，应用加同余法可以使这个序列不断扩大，加同余法的算法是作业：以乘同余法产生的随机序列作为加同余法的种子，产生新的随机序列二、伪随机数产生方法二次平方同余法二、伪随机数产生方法第03讲随机变量的产生与检验一、伪随机数发生器的要求二、

伪随机数产生方法 2.1平方取中法2.2线性同余法2.3加同余法2.4二次平方同余法 三、随机变量的产生方法 3.1反变换法3.2拒绝法 3.3正态分布随机发生器提纲四、随机数的检验4.1科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验法基本原理4.2科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验均匀分布4.3科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验正态分布 IE14问题假设已经能够产生(0，1)之间的伪随机数，如何产生服从更一般的随机分布函数的随机数列（随机变量）？例如：[a，b]区间的均匀分布；指数分布；二项分布，泊松分布，正态分布，等等。反变换法、函数变换法、组合法、拒绝法

如果使用特定方法产生了上述随机数列，如何检验该数列服从特定的随机分布？科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验法卡方检验3.1-1反变换法产生均匀随机分布当变量的概率密度函数f(x)可以积分为分布函数F(x)，或F(x)是一个经验分布时，而且F(x）很容易求得反函数时，则使用反变换法获取随机变量。反变换法的一般步骤：step1通过随机变量的概率密度函数f(x)计算其分布函数F(x);step2令F(x)=R，x在其取值范围内；step3解方程F(x)=R，获得x=F-1（R）step4产生（0，1）范围内的均匀随机数序列R1，R2，R3，R4，......，Rn，将这些随机数序列带入函数x=F-1（R），获得随机变量x的随机序列：x1，x2，x3，x4，......，xn。3.1-1反变换法产生均匀随机分布均匀分布概率密度曲线均匀分布概率分布曲线x1x2r2r1IE3.1-2反变换法求指数分布伪随机数IE183.1-3反变换法求三角分布课堂作业IE193.1-3反变换法求三角分布-作业演示Step4根据R值计算xi12345678910R(i)0.860.950.700.990.710.950.520.220.540.35x(i)3.1-4反函数法求一般分布伪随机数3.1-5用反变换法求威布尔随机变量已知：求分布函数：反变换：3.1-6反变换法生成离散经验分布在任何一天结束时，M电器公司装货码头的货物数量是0，1或2，观察到发生的相对频度分别为0.50,0.3,0.2。为了提高装货和运输操作的效率，现在要求内部顾问开发一个模型。作为该模型的一部分，模型应该能生成代表每天结束时装货码头上货物数量的数值X。概率质量函数pmf如下：p（0）=P（X=0）=0.5p（1）=P（X=1）=0.3p（2）=P（X=2）=0.2

3.1-6反变换法生成连续经验分布假设在研究车间维修人员可能备选的调度策略仿真中，收集到了维修部接到报警后响应时间的5个观测值（单位：分钟），数据如下：2.761.830.801.451.24在收集更多的数据之前，希望以这5个观测值为基础构建随机输入并建立一个初始仿真模型。如何生成该响应时间的输入随机变量？利用反变换原理设计该连续经验分布随机数发生器。求解过程如下：3.1-6反变换法生成连续经验分布2.761.830.801.451.243.1-6反变换法生成连续经验分布3.1-7反变换法生成几何分布随机数对于单次实验成功概率为p的贝努利试验，第x+1次方成功的概率质量函数：如何生成下次成功试验所要经历的试验次数的随机数序列？3.2拒绝法2.1拒绝法的原理假设某随机变量的概率密度曲线如下图所示对不容易推算其概率分布函数的随机变量，使用拒绝法生成随机数。x21r1r23.2拒绝法拒绝法产生随机数的步骤：（1）对概率密度函数p(x)的值域做归一化处理（因为r1=（0，1），r1要反映r2=x1的概率密度—比重，所以p(x)必须在（0，1）范围），即确定一个常数C，使得：C*p(x)<1（2）根据x的取值范围，将其定义为r的线形函数：x(r)=a+(b-a)r（3）随机产生一对标准随机变量r1,r2;（4）若r1，r2满足下式：r1<=C*p(x(r2))则取x=r2，否则返回（3）。IE293.2拒绝法产生随机数示例示例计算参见Excel数据表3.2拒绝法产生随机数示例3.3正态分布随机发生器1．反变换法生成标准正态分布随机数3.3正态分布随机发生器2．发变换法生成一般正态分布随机数随机性检验思考-以10个[0,1]随机数为例IE330.050.110.270.330.480.590.630.740.880.910.090.100.290.380.410.570.680.770.810.990.130.180.230.280.400.480.610.710.880.910.230.380.390.430.470.630.690.800.980.994.1科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验为了确认新的发生器的有效性，应该进行的基本检验是均匀性检验。有两种不同的方法可用：科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验及检验。4.1科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验-步骤4.1科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫检验-算例假设有10个数字0.417、0.987、0.136、0.663、0.655、0.123、0.915、0.634、0.961、0.393。试在a=0.10下，检验这些数字是否为来自于(0，1)区间上的均匀随机数。XLS演示