高考数学一轮复习讲义 第四章 4.8　解三角形在实际问题中的应用

4.8解三角形在实际问题中的应用考试要求三年考情能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.202320242025测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角,方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α例:坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫做坡比(坡度),即i=hl=tan1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)西南方向与南偏西45°方向相同.(√)(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角,其范围为0,π2. ((3)方位角是从正北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角. (√)(4)若从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°. (×)2.(人教A版必修第二册P51练习T3改编)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的(D)A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上解析:由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,则∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D.3.(人教A版必修第二册P49例10改编)新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔是乌鲁木齐的地标性建筑.如图,某同学为测量观光塔的高度OP,在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN,在地面上点Q处(O,Q,N三点共线且在同一水平面上)测得建筑物MN的顶部M的仰角为π6,测得观光塔的顶部P的仰角为π4,在建筑物MN的顶部M处测得观光塔的顶部P的仰角为π12,则观光塔的高度OP为(A.402米 B.80米C.802米解析:由题意可得PQ=2OP,MQ=2MN=80米,∠PMQ=π4,则∠MPQ=π-π4−π-π4-π6=π6.在△PMQ中,由正弦定理可得4.(人教A版必修第二册P49例9改编)如图,在高速公路建设中,要确定隧道AB的长度,工程人员测得隧道两端的A,B两点到点C的距离分别为AC=3km,BC=4km,且∠ACB=60°,则隧道AB的长度为(C)A.3km B.4kmC.13kmD.解析:由余弦定理可得AB=AC2+BC2-2AC考点1测量距离问题【例1】(2026·河南南阳一模)如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm,求x的值;(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km).【解】(1)依题意,得PA-PB=1.5×8=12(km),PC-PB=1.5×20=30(km),所以PB=(x-12)km,PC=(x+18)km.在△PAB中,AB=20km,由余弦定理的推论,得cos∠PAB=PA2+同理在△PAC中,cos∠PAC=72-x因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以3x+325x=(2)如图,作PD⊥a,垂足为D,在Rt△PDA中,PD=PA·cos∠APD=PA·cos∠PAB=x·3x+325x≈17.71所以静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km.距离问题的解题思路这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.【对点训练1】(多选)(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为126海里,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为123海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则下列结论正确的有(ABD)A.AD=24海里B.CD=12海里C.∠CDA=60°或∠CDA=120°D.∠CDA=60°解析:如图,由题意得∠BAD=75°,∠CAD=30°,∠ADB=60°,AB=126海里,AC=123海里.对于A,在△ABD中,由正弦定理ADsin(180°-60°-75°)=ABsin60°,得AD=126×2232=24(海里),故A正确.对于B,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2×AC×AD×cos30°,得CD2=(123)2+242-2×123×24×32=144,所以CD=12海里,故B正确.对于C,D,在△ACD中,由正弦定理CDsin30°=ACsin∠CDA,得sin∠CDA=12×12312考点2测量高度问题【例2】如图,一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB,他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,∠BCD=15°,∠CDB=105°,CD=20m,在点C处测得塔顶A的仰角为60°,则塔高为(C)A.(206+20B.(56+5C.(106+10D.(206−20【解析】由题可知,在△BCD中,∠BCD=15°,∠CDB=105°,故∠CBD=60°,由正弦定理,得CDsin∠CBD=BCsin∠CDB,因为sin105°=sin(45°+60°)=22×12+22×32=6+24,所以BC=20sin105°sin60°=20×6+高度问题的易错点(1)图形中为空间关系,极易当作平面问题处理,从而致错.(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入,从而把握不准已知条件而致错.【对点训练2】(2025·云南昆明一模)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=75°,∠BDC=45°,CD=30米,在点C测得塔顶A的仰角∠ACB=60°,则塔高AB约为(参考数据:2≈1.414)(B)A.30.42米 B.42.42米C.50.42米 D.60.42米解析:由题意,在△BCD中,∠CBD=180°-75°-45°=60°,由正弦定理可知30sin60°=BCsin45°⇒3032=BC22⇒BC=106米.在△ABC中,易知AB⊥BC,∠ACB=60°,于是考点3测量角度问题【例3】一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°方向,距离为6海里,灯塔C在A的北偏东60°方向,距离为63海里,该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向,则此时灯塔C位于渔船的(D)A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向【解析】如图,由题意,在△ABD中,∠DAB=60°,AB=6海里,∠ADB=60°,则△ABD为正三角形,则AD=6海里,在△ACD中,因为AC=63海里,∠CAD=30°,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos30°=(63)2+62-2×63×6×32=36,所以CD=6海里,故∠CDA=120°,此时灯塔C位于渔船的北偏东30°角度问题的解题方法在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.【对点训练3】公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在公路上自西向东行走,在点A处测得楼顶的仰角为45°,行走60米到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60米到点C处,测得仰角为θ,则sinθ= (A)A.1解析:如图所示,由题意有DE=AB=BC=60米,∠DAE=∠DBE=45°,则有AE=BE=AB=60米,故∠EAB=60°,则EC=602+1202-2×60×120×cos60°=603(米),故DC=602+(603)2=【例】(多选)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量,迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,可计算出旗杆高度的方案有 (BCD)A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间距离B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC.在地面上任意寻找一点A,测得旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5m到达B处(旗杆底部,A,B在一条直线上),再次测量旗杆顶端的仰角β【解析】对于A,当A,B两点与旗杆底部不在一条直线上时,就不能测量出旗杆的高度,故A错误;对于B,如图1,在△ABD中,由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=h+ADsinβ,故B正确;对于C,如图2,在Rt△ADC中,直接求出旗杆的高DC=ACtanα,故C正确;对于D,如图3,在△ABD中,由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=ADsinα,故D正确.故选BCD.

本题的设计背景来源于人教A版必修第二册P49例10.设计方案测量物体高度,需要注意不同方案的限定条件,在学习过程中要重视教材,复习阶段要从教材例题出发,落实“引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养”的要求.高考真题教材典题(2021·全国乙卷理)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(A)A.表高×表距C.表高×表距解析:因为FG∥AB,所以FGAB=GCCA,所以GC=FGAB·CA.因为DE∥AB,所以DEAB=EHAH,所以EH=DEAB·AH.又DE=FG,所以GC-EH=DEAB·(CA-AH)=DEAB·HC=DEAB·(HG+GC)=DEAB·(EG-EH+GC).由题设中信息可得,表目距的差为GC-EH,表高为DE,表距为EG,则上式为表目距的差=表高AB×(表距+(人教A版必修第二册P49例10)如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.课时作业35(总分:100分)1.(5分)某地为响应关于生态文明建设的号召,大力开展“青山绿水”工程,造福于民,拟对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得∠ACB=120°,BC=3千米,AC=5千米,则A,B间的直线距离为(B)A.6千米 B.7千米C.8千米 D.9千米解析:在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=25+9-2×5×3×-12=49,所以AB=7千米.故选2.(5分)如图,海中有一座小岛P,一艘游轮自东向西航行,在点A处测得该岛在其南偏西75°方向,游轮航行16海里后到达点B处,测得该岛在其南偏西45°方向.若这艘游轮不改变航向继续前进,则游轮到该岛的最短距离PC为(A)A.(83-8)海里 B.(43-4)海里C.(83+8)海里 D.(43+4)海里解析:在△PAB中,∠PAB=15°,∠ABP=135°,AB=16海里,则∠APB=30°,sin15°=sin(45°-30°)=22×32−22×12=6-24,由正弦定理PBsin∠PAB=ABsin∠APB,得PB=ABsin15°sin30°=16×6-2412=3.(5分)如图,为了测量某建筑物CD的高度,选取与该建筑物底部C在同一水平面内的两个测量点A,B.现测得∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=90米,在点B处测得该建筑物顶部D的仰角为30°,则该建筑物CD的高度为(B)A.152米C.302米解析:因为∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,又AB=90米,所以由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,即9022=BC12,解得BC=452米,因为在点B处测得该建筑物顶部D的仰角为30°,所以4.(5分)如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由点C测得点B的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由点B测得点A的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732) (B)A.346 B.373C.446 D.473解析:如图,过C作CH⊥BB',过B作BD⊥AA',故AA'-CC'=AA'-(BB'-BH)=AA'-BB'+100=AD+100,易知△ADB为等腰直角三角形,所以AD=DB.所以AA'-CC'=DB+100=A'B'+100.因为∠BCH=15°,所以CH=C'B'=100tan15°.在△A'B'C'中,由正弦定理得A'B'sin45°=C'B'sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°,而sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=5.(5分)如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ=(C)A.3C.3−1D.解析:因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,在△ABC中,由正弦定理可得BCsin15°=100sin30°,解得BC=(506−502)m,在△BCD中,由正弦定理可得506-502sin∠BDC=50sin45°,解得sin∠BDC=3-1,即sin(6.(5分)奏唱中华人民共和国国歌需要46s.某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为102m(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,则升旗手升旗的速度应为 (B)A.3323C.7323解析:如图,由题意可得∠HAB=30°+15°=45°,∠HBA=180°-15°-60°=105°,∴∠AHB=180°-45°-105°=30°,在△HAB中由正弦定理,得HBsin∠HAB=ABsin∠AHB,即HB22=10212,解得HB=20m.∴OH=HBsin∠HBO=20sin60°=107.(6分,多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为126nmile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为83nmile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是(AC)A.A处与D处之间的距离是24nmileB.灯塔C与D处之间的距离是8nmileC.灯塔C在D处的南偏西30°方向D.D在灯塔B的北偏西30°方向解析:如图,对于A,在△ABD中,由正弦定理得ADsin(180°-60°-75°)=ABsin60°,则AD=ABsin45°sin60°=126×2232=24(nmile),所以A处与D处之间的距离为24nmile,故A正确;对于B,在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos30°,解得CD=83nmile,所以灯塔C与D处之间的距离为83nmile,故B错误;对于C,∵AC=CD=83nmile,∴∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的南偏西30°方向,故C正确;对于D,∵灯塔8.(6分,多选)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是(BC)A.∠CAD=60°B.A,D之间的距离为152海里C.A,B两处岛屿间的距离为156海里D.B,D之间的距离为303海里解析:对于A,由题意可知CD=30海里,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,则∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;对于B,在△ACD中,由正弦定理得ADsin30°=30sin45°,得AD=30×sin30°sin45°=152(海里),故B正确;对于C,D,在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=2CD=302海里,在△ABD中,∠ADB=15°+45°=60°,由余弦定理得AB=AD9.(5分)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP,选取了在同一水平面上的A,B,C三处,如图所示.已知在A,B,C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°,45°,60°,OA=2OB−OC,AB=10米,则该建筑的高度解析:设OP=x米,在直角三角形OAP中,由tan∠PAO=OPOA,得OA=3x米,在直角三角形OBP中,由tan∠PBO=OPOB,得OB=x米,在直角三角形OCP中,由tan∠PCO=OPOC,得OC=33x米,由OA=2OB−OC,可得B是AC的中点,所以AB=BC=10米,因为∠OBA+∠OBC=180°,则cos∠OBA+cos∠OBC=0,在△ABO,△CBO中,由余弦定理的推论可得100+x2-3x22×10×10.(5分)位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救,甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°方向,且与甲船相距10nmile的C处的乙船.乙船也立即朝着渔船前往营救,则sin∠ACB=217解析:如图,由题意∠CAB=120°,AC=10nmile,AB=20nmile,由余弦定理得CB2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB=700,∴CB=107nmile,由正弦定理得CBsin∠CAB=ABsin∠ACB,即10711.(16分)为了测绘海面上一座活火山顶点E的高度,测绘船围绕活火山展开测量,如图为测绘活动的俯视图,测绘船的路线中,三个观测点A,B,C恰好构成正三角形,点D为火山口在俯视图中的位置.已知从A,B,C三点测量点E的仰角正切值分别为13,14,(1)求∠BDA的正弦值;(2)若正三角形ABC的边长为a,求火山顶点E的高度.解:(1)如图,取线段AC的中点为F,连接BF,DF,设火山顶点E的高度为h,则依题意可知AD=CD=3h,BD=4h,∵AD=CD,AB=CB,∴DF⊥AC,BF⊥AC,且BF平分∠ABC,∴B,D,F三点共线,∴∠ABD=12由正弦定理可知sin∠BAD=BDAD∴cos∠BAD=1-∴sin∠BDA=sin(π-∠BAD-∠ABD)=sin(∠BAD+∠ABD)=sin∠BAD·cos∠ABD+cos∠BADsin∠ABD=23(2)在△ABD中,由正弦定理可知,ABsin∠∴AD=AB·sin∠ABDsin∠ADB=a·1223+56=37(23−512.(17分)如图,游客从某旅游景区的景点A处到C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C,现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min,在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量cosA=1213,cosC=3(1)求索道AB的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应该控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cosA=1213,cosC=3所以sinA=513,sinC=45,从而sinB=sinπ-(A+C)=sin(A+C)=sinA·cosC+cos由正弦定理ABsinC=ACsinB,得AB=ACsinB(2)假设乙出发tmin后,乙在缆车上与甲的距离为dm,此时甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,则由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×1213=200(37t2-70t+50),由于0≤t≤1040130,即0≤故由二次函数性质得当t=3537时,乙在缆车上与甲的距离最短(3)由正弦定理得BCsinA=ACsinB,则BC=而乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤500v−71050≤3为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在125013.(5分)如图,在山脚A处测得山顶P的仰角α为45°,沿倾斜角β为15°的斜坡向上走100米到达B处,在B处测得山顶P的仰角γ为60°,则山的高度PQ为(A)A.(506+502)米 B.(503+C.(1003+100)米 D.120米解析:依题意,∠PA