湖南省益阳市赫山区赫山万源中学2027届九上数学期末检测试题含解析

湖南省益阳市赫山区赫山万源中学2027届九上数学期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（）A． B． C．2 D．3．已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值，表中“▲”处的数为（）▲A． B． C． D．4．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：平均数中位数众数方差8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数5．已知抛物线（其中是常数，）的顶点坐标为．有下列结论：①若，则；②若点与在该抛物线上，当时，则；③关于的一元二次方程有实数解．其中正确结论的个数是（）A． B． C． D．6．如图，在菱形中，，，则对角线等于（）A．2 B．4 C．6 D．87．点P（﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（2，﹣4）8．下列说法正确的是（）A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次C．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件D．明天太阳从东方升起是随机事件9．如图，，若，则的长是（）A．4 B．6 C．8 D．1010．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（）A． B． C． D．11．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）A．主视图 B．左视图C．俯视图 D．主视图和俯视图12．在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为_____．14．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号）15．将一块弧长为2π的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（接头处忽略不计），则围成的圆锥的高为____．16．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去，……，若点，，则点B2016的坐标为______.17．在平面直角坐标系xOy中，点O的坐标为O，□OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，则□OABC的面积是________18．一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了__________道题．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在中，，且点的坐标为（1）画出绕点逆时针旋转后的．（2）求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）（3）画出关于原点对称的20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与双曲线y=(k≠0)相交于A，B两点，且点A的横坐标是1．(1)求k的值；(2)过点P(0，n)作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M，与双曲线y=(k≠0)交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．21．（8分）已知：如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的点，且，连接、，两线相交于点，过点作，且，连接．（1）若，求的长．（2）若点、分别是、延长线上的点，其它条件不变，试判断与的关系，并予以证明．22．（10分）现有3个型号相同的杯子，其中A等品2个，B等品1个，从中任意取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子，（1）用恰当的方法列举出两次取出杯子所有可能的结果；（2）求两次取出至少有一次是B等品杯子的概率．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M是AB边的中点.(1)如图1，若CM=，求△ACB的周长；(2)如图2，若N为AC的中点，将线段CN以C为旋转中心顺时针旋转60°，使点N至点D处，连接BD交CM于点F，连接MD，取MD的中点E，连接EF.求证：3EF=2MF.24．（10分）（1）①如图1，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正三角形（按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）.②若的内接正三角形边长为6，求的半径；（2）如图2，的半径就是（1）中所求半径的值.点在上，是的切线，点在射线上，且，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，点是上的点（不与点重合），是的切线.设点运动的时间为（秒），当为何值时，是直角三角形，请你求出满足条件的所有值.25．（12分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A60≤x＜70170.17B

70≤x＜80

30

aC

80≤x＜90

b

0.45D

90≤x＜100

8

0.08请根据所给信息，解答以下问题：(1)表中a=______，b=______；(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．26．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100m比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组．（1）甲分到A组的概率为；（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．【详解】如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面积为1，∴OA•OB＝1，∴OA＝，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，∴C（，2a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，∴k＝×2a＝1．故选D．此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．2、B【分析】取点H（6,0）,连接PH,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C坐标,可得⊙C半径为4,由三角形中位线的定理可求OD=PH,当点C在PH上时,PH有最大值,即可求解．【详解】如图,取点H（6,0）,连接PH,∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为A（﹣6,0）,∴,解得:,∴抛物线解析式为：y＝﹣,∴顶点C（﹣3,4）,∴⊙C半径为4,∵AO＝OH＝6,AD＝BD,∴OD＝PH,∴PH最大时,OD有最大值,∴当点C在PH上时,PH有最大值,∴PH最大值为＝3+＝3+,∴OD的最大值为:,故选B．本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.3、D【分析】设出反比例函数解析式，把代入可求得反比例函数的比例系数，当时计算求得表格中未知的值.【详解】是的反比例函数，，，，，当时，，故选：D.本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式；点在反比例函数图象上，点的横纵坐标适合函数解析式，在同一函数图象上的点的横纵坐标的积相等．4、D【解析】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选D.5、C【分析】利用二次函数的性质一一进行判断即可得出答案.【详解】解：①抛物线（其中是常数，）顶点坐标为，，，，∴c＞＞0．故①小题结论正确；②顶点坐标为，点关于抛物线的对称轴的对称点为点与在该抛物线上，，，，当时，随的增大而增大，故此小题结论正确；③把顶点坐标代入抛物线中，得，一元二次方程中，，关于的一元二次方程无实数解．故此小题错误．故选：C．本题是一道关于二次函数的综合性题目，具有一定的难度，需要学生熟练掌握二次函数的性质并能够熟练运用.6、A【分析】由菱形的性质可证得为等边三角形，则可求得答案．【详解】四边形为菱形，，，，，为等边三角形，，故选：．主要考查菱形的性质，利用菱形的性质证得为等边三角形是解题的关键．7、D【解析】根据关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案．【详解】点P（﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（2，﹣4），故选D．本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．8、C【解析】试题解析：A.“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件,说法错误.B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次,说法错误.C.投掷一枚硬币正面朝上是随机事件,说法正确.D.明天太阳从东方升起是必然事件.说法错误.故选C.9、C【解析】根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】∵△EFO∽△GHO∴∴EF=2GH=8故选：C．本题考查了相似三角形的性质，找到对应边建立比例式是解题的关键．10、A【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝＝．故选：A．本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．11、B【解析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．故选B．12、D【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数”解答即可得答案．【详解】∵关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，∴点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（-2，1），故选：D.本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数是解题关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．【详解】如图，由旋转的性质可知：AC=AC'，∵D为AC'的中点，∴AD=，∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD=30°，∵AB∥CD，∴∠CAB=30°，∴∠C'AB'=∠CAB=30°，∴∠EAC=30°，∴AE=EC，∴DE=，∴CE=，DE=，AD=，∴．故答案为：．本题考查了旋转的性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．14、6【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．【详解】∵底面圆的半径为，∴圆锥的底面周长为2×＝3，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．∴，解得n＝90°，如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，∵∠O=90°，OA′=OA=6，∴AA′＝．故答案为：6．本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．15、【分析】根据侧面展开图，求出圆锥的底面半径和母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】如下图，为圆锥的侧面展开图草图：∵侧面展开图是弧长为2π的半圆形∴2π=，其中表示圆锥的母线长解得：圆锥侧面展开图的弧长对应圆锥底面圆的周长∴2π=2πr，其中r表示圆锥底面圆半径解得：r=1∴根据勾股定理，h=故答案为：本题考查圆锥侧面展开图，公式比较多，建议通过绘制侧面展开图的草图来分析得出公式．16、（6048，2）【分析】由题意可得，在直角三角形中，，，根据勾股定理可得，即可求得的周长为10，由此可得的横坐标为10，的横坐标为20，···由此即可求得点的坐标.【详解】在直角三角形中，，，由勾股定理可得：，的周长为：，∴的横坐标为：OA+AB1+B1C1=10，的横坐标为20，···∴.故答案为.本题考查了点的坐标的变化规律，根据题意正确得出点的变化规律是解决问题的关键.17、3【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．【详解】解：如图作BD⊥x轴于D,延长BA交y轴于E,

∵四边形OABC是平行四边形,

∴AB∥OC,OA=BC,

∴BE⊥y轴,

∴OE=BD,

∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL）,

根据系数k的几何意义,S矩形BDOE=5,S△AOE=1,

∴四边形OABC的面积=5-1-1=3,

故选：C．本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质等,有一定的综合性18、1【分析】设小聪答对了x道题，根据“答对题数×5−答错题数×2＞80分”列出不等式，解之可得．【详解】设小聪答对了x道题，根据题意，得：5x−2（19−x）＞80，解得x＞16，∵x为整数，∴x＝1，即小聪至少答对了1道题，故答案为：1．本题主要考查一元一次不等式的应用，列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）；（2）见解析【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心及旋转方向确定各点的对称点，顺次连接即可；（2）根据圆的周长的计算即可；（3）根据与原点的对称点的坐标特征：横、纵坐标都变为相反数确定各点的对称点，顺次连接即可.【详解】解：(1)如图的即为所作图形，(2)由图可知是直角三角形，，，所以，点旋转到的过程中所经过的路径是一段弧，且它的圆心角为旋转角，半径为．.所以点旋转到的过程中所经过的路径长为．（3）如图的即为所作图形，本题考查了旋转作图、对称作图及弧长的计算，难度不大，注意准确的作出旋转后的图形是关键.20、(1)k=1；(2)n＞1或﹣1＜n＜2．【分析】（1）把点A的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出点A的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；

（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点M在N右边时n的取值范围即可．【详解】解：（1）令x=1，代入y=x﹣2，则y=1，∴A(1，1)，∵点A(1，1)在双曲线y=(k≠2)上，∴k=1；（2）联立得：，解得或，即B(﹣1，﹣1)，如图所示：当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣1＜n＜2．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21、（1）FG=3；（2），，理由见解析【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形得FG=CE，再依据勾股定理求出CE的长即可得到结论；（2）证明四边形是平行四边形即可得到结论．【详解】（1）解：四边形是正方形，即四边形是平行四边形（2），理由：延长交于点．四边形是正方形四边形是平行四边形本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．22、（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据已知条件画出树状图得出所有等情况数即可；（2）找出两次取出至少有一次是B等品杯子的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画树状图如下：由图可知，共有9中等可能情况数；（2）∵共有9中等可能情况数，其中两次取出至少有一次是B等品杯子的有5种，∴两次取出至少有一次是B等品杯子的概率是．本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。23、(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的长度，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得BC的长度，最后根据勾股定理可得AC的长度，计算出周长即可；（2）如图所示添加辅助线，由（1）可得ΔBCM是等边三角形，可证ΔBCP≌ΔCMN，进而证明ΔBPF≌ΔDCF，根据E是MD中点，得出，根据BPMC，得出，进而得出3EF=2MF即可．【详解】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，∴∴AB=2MC=，又∵∠A=30°，∴由勾股定理可得，∴△ABC的周长为++6=(2)过点B作BPMC于P∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∵M为AB的中点，∴∴∵∠ABC=60°∴ΔBCM是等边三角形∴∠CBP=∠MCN=30°,BC=CM∴在ΔBCP与ΔCMN中∴ΔBCP≌ΔCMN(AAS)∴BP=CN∵CN=CD∴BP=CD∵∠BPF=∠DCF=90°∠BFP=∠DFC∴ΔBPF≌ΔDCF∴PF=FCBF=DF∵E是MD中点，∴∵BPMC，∴∴，∴∴本题考查含30°直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，解题的关键是能够综合运用上述几何知识进行推理论证．24、（1）①见解析；②；（2）.【分析】（1）①作半径的垂直平分线与圆交于，再取，则即为正三角形；②连接，设半径为，利用勾股定理即可求得答案；（2）分当，且点在点左侧或右侧，时四种情况讨论，当时，在Rt中利用勾股定理求解即可；当且点在点左侧或右侧时，构造矩形和直角三角形，利用解直角三角形即可求解；当时，构造正方形和直角三角形即可求解.【详解】（1）①等边如图所示；②连接，如图，设半径为，由作图知：，⊥，∴，在中，，即，解得：；（2）当时，连接，如图，∵QG是的切线，∴，∵，∴三点共线，又∵DF是的切线，∴，设点运动的时间为（秒），∴，在中，，，∴，在Rt中，，，，∴，即，解得：；当，且点在点左侧时，连接，过点G作GM⊥OD于M，如图，∵是的切线，∴，∴四边形DFGM为矩形，∴，在Rt中，，，∴，∵，∴，∵QG是的切线，四边形DFGM为矩形，∴，∴在Rt中，，，∴即解得