2026年山东省青岛市中考数学真题卷（含答案与解析）

(考试时间：120分钟满分：120分)1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共25小题.第I卷为选择题，共9小题，27分；第IⅡ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分.2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.第I卷(共27分)一、选择题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)A.3正面A.0.255×10⁹B.2.55×10⁹C.2.55×10-⁻¹⁰D.25A.√4=±2 C.3+√3=3√3D.√6×√5=√30人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示.甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分7.如图，AD是⊙0的直径，B,C,E是⊙0上的三点，∠B=112°,则∠E的度数为()A.20°B.22°A.4-2√3B.1C.8-4√3二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，DFIIOE,EFI|OD,连接OF,则∠OFD的度数为 . 14.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，过点A作OP的平行线，交⊙O于点B,若OB=3,点(3,2)的“伴点”是点(-2,3).下列结论：①点(-5,1)的“伴点”是点(-1,-5);②存在点P(a,b),使图象上.正确的是(填写序号).等.四、解答题(本大题共9小题，共71分)(2)计算：分组人数3aAA组米.在A处测得∠BAC=53°,∠CAD=16°,在C处测得∠ACD=90°,求C,D两点间的距离(结果精确到0.1米).(参考数据：21.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，A,C分别在x轴，y轴上，B在反比例函数的图象上，将矩形OABC绕原点O按顺时针方向旋转90°,得(1)求点B的坐标；(3)根据图象，直接写出当0<y₂<y时x的取值范围.如图③,排列第二层时，因为GB=2.4,所以AG=4-2.4=1.6,易得△AGH∽AABC,所以(2)探究二：如图④,在梯形ABCD中，AB//CD,∠B=90°(3)探究三：如图⑤,在五边形ABCJK中，AB//CJ,AK//个.投产第一年该产品的总成本y(万元)与产量x(万件)之间近似满足二次函数关系……(万元)……(备用图)一、选择题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)的绝对值为()【解析】【解析】正面【解析】定了科学基础.“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米,相当于0.00000000255米,将0.00000000255用科学记数法表示为()A.0.255×10⁻C.2.55×10-⁻¹【解析】5.下列计算正确的是()C.3+√3=3√3D.√【解析】 人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示.甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为x和x乙，方差分别记为s²和.下列结论正确的是()【解析】·7.如图，AD是⊙0的直径，B,C,E是00上的三点，∠B=112°,则∠E的度数为()A.20°B.22°【解析】CC【解析】量为本.A.4-2√3B.1C.8-4√3D.2√3-2∴AM=BN,∠EMH=∠DMH=∠FNH=90°,MN=AB=4,∴HN=MN-HM=2,MD=NC=4-2√3,∴FC的长为8-4√3·二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)【答案】4a⁶b²【解析】【详解】(-2a³b)²=4a⁶b²,【答案】(-1,-1)【解析】∴点A'的横坐标为-5+4=-1,点A'的纵坐标为2-3=-1,【答案】【解析】化简得1-2k>0,13.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，DFIIOE,EFI|O◎14.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，过点A作OP的平行线，交◎O于点B,若OB=3,点(3,2)的“伴点”是点(-2,3).下列结论：①点(-5,1)的“伴点”是点(-1,-5);②存在点P(a,b),使【答案】①③【解析】【详解】解：①对于点(-5,1),a=-5,b=1,其伴点为(-1,-5),因此①正确；联立得6=-6,矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误；,整理得(b-a)[1+2(a+b)]=0,综上，正确结论为①③.三、作图题(本大题满分4分)等.【解析】四、解答题(本大题共9小题，共71分)(2)计算：【答案】(1)-1Sx<4【解析】【小问1详解】解不等式①得3x+6≥2x+5,解不等式②得，两边同乘12得4(x-1)<3x,【小问2详解】【答案】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2,红球记为红1;B盒中的白球记为白3,红球记为红2.红1(白1,白3)(白2,白3)(红1,白3)红2(白1,红2)(白2,红2)(红1,红2)可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种.【分析】标记两盒中的球，用列表列出所有等可能结果，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.【详解】略.收集、整理和描述.所抽取学生在阅览室的一周阅览时长1(单位：小时)均不高于4小时.人数3a所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的扇形统计图AA组(2)所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长(4)该校共有600名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生人数.【答案】(1)补全频数直方图如图所示，(4)估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生有420人【解析】(2)根据全部数据以及样本总人数，找出出现最多的数据得到众数，取排序后第20、21位数据平均值得到【小问1详解】解：∵D组共10人，扇形图D组占25%,∴本次抽样调查的总人数为：10÷25%=40(人),【小问2详解】可得众数为2.6,出现次数最多共5次，【小问3详解】【小问4详解】解：本次抽样调查中阅览时长不低于2小时人数，即C组和D组的人数和：18+10=28(人),米.在A处测得∠BAC=53°,∠CAD=16°,在C处测得∠ACD=90°,求C,D果精确到0.1米).(参考数据：【答案】20.4米【解析】的图象上，将矩形OABC绕原点O按顺时针方向旋转90°,得到矩形OAB₁C,CA=5,(1)求点B的坐标；(3)根据图象，直接写出当0<y₂<y时x的取值范围.【解析】(2)由(1)得到点A的坐标，将A、B两点坐标代入y₂=ax+b,解二元一次方程组求出a,b,再令【小问1详解】【小问2详解】解：由(1)得OA,=4,令y₂=0,解得;【小问3详解】解：∵0<y₂<y₁,(2)若∠A=90°,请判断四边形BGCE的形状，并证明你的结论.由(1)得△BFG≌△CFE,【小问1详解】略【小问2详解】略(1)探究一：如图①,在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=4,BC解得EF=7.因为,所以第一层最多排列5个；如图③,排列第二层时，因为GB=2.4,所以AG=4-2.4=1.6,易得△AGH∽△ABC,所以(2)探究二：如图④,在梯形ABCD中，AB//CD,∠B=90°,AB=4,BC=10,CD=2.4.在(3)探究三：如图⑤,在五边形ABCJK中，AB//CJ,AK//BC,∠B=90°,AB=4,个.【答案】(1)8【解析】数.【小问1详解】【小问2详解】解：∵2.4÷1.2=2,【小问3详解】投产第一年该产品的总成本y(万元)与产量x(万件)之间近似满足二次函数关系……(万元)……(2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元【解析】【小问1详解】【小问2详解】=(x-15)²+15.【小问3详解】∴m的最小值为24.(备用图)(3)是否存在某一时刻1,使的值最小?若存在，求出此时的值；若不存在，说【解析】.过点P作PM⊥AD于点M,作PNICD于点N,(3)证明,得到△APM∽△QPN,因此∠APM=∠QPN,连接A'D,AQ,A'B,【小问1详解】解【小问2详解】【小问3详解】解：由(2)有DP=(10-1)cm,(考试时间：120分钟满分：120分)1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题.第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分.2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.第I卷(共27分)一、选择题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)A.6×10³B.60×10³C.0.6×10⁵5.下列计算正确的是()A.a+2a=3a²B.C.(-a)²·a³=-a⁵D.(2a³)²90°,得到四边形A'B'C'D',则点A的对应点A'的坐标是()A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(2,1)A.90°B.99°AOB的面积为()N(b²-4ac,a-b+c)的直线一定不经过()二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)10.计算：12.如图，菱形ABCD中，BC=10,面积为60,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E,连接EO,则EO=的切线，交AB于点M,交BC的延长线于点N.若ON=10,,则半径OC的长为 三、作图题(本大题满分4分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.C四、解答题(本大题共9小题，共71分)17.(1)解不等式组：(2)先化简,再从-2,0,3中选一个合适的数作为a的值代入求值.18.某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆(依次用字母A,B,C,D表示)中选择一处作为研学地点.为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.研学地点选择人数条形统计图研学地点选择人数扇形统计图(1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为°;(2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；(3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛.甲班10名学生的成绩(单位：分)分别是：75,80,80,82,83,85,90,90,90,95;乙班10名学生的成绩.(单位：分)的平均数、中位数、众数分别是：84,83,88.根据以上数于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1,2,3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4,则小明胜；若和小于4,则小红胜；若和等于4,则重复上述过程.(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.20.“滑滑梯”是同学们小时候经常玩小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题.方案名称测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE,使CE=1m,并将原来的滑梯CF改为EG,(图中所有点均在同一平面内，点B,C,E在同一直线上，点A,D,F,G在同一直线上)测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD=1.8m;【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD=42°;【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD=32°.解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面?(即求FG的长)21.为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数A₂B₁⊥A₁H₁于点B₁,过点A₃作A₃B₂⊥A₂H₂于点B₂,.…,过点A+123.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于点E,DFIAC于点F,且BE=DF.CC始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下(盒)第1天第2天第3天天.….……天关系，已知每天的固定成本为745元.B樱桃园第x天的利润y₂(元)与x的关系可以近似地用二次函数y₂=ax²+bx+25刻画，其图象如图：(2)求A樱桃园第x天的利润y₁(元)与x的函数关系式；(利润=单价×销售量一固定成本)(3)①y₂与x的函数关系式是;(4)这15天中，共有天B樱桃园的利润y₂比A樱桃园的利润y₁大.25.如图①,Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,Rt△EDF中，(1)当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上?(3)如图③,过点O作0Q⊥AB,交AC于点Q,△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接一、选择题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)于一体，储油量达60000立方米.将60000用科学记数法表示为()A.6×10³B.60×10³C.0.6×10⁵【解析】【详解】解：60000=6×10⁴,【解析】A.a【解析】4.如图所示的正六棱柱，其俯视图是(A.【解析】5.下列计算正确的是()A.a+2a=3a²C.(-a)²·a³=-a⁵D.(2a³)²【解析】90°,得到四边形A'B'C'D',则点A的对应点A'的坐标是()A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(2,1)【解析】方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为(2,-1);如图所示，设E(2,-1)绕原标是(-1,-2).:平移后点A的对应点坐标为(2,-1),如图所示，设E(2,-1)绕原点0顺时针旋转90度后的对应点为F,分别过E、F作x轴的垂线，垂足分∴点A的对应点A'的坐标是(-1,-2),的延长线分别交AE,AB于点M,N,则∠FME的度数是()A.90°B.99°C.108°【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键.根据正五边形的内角的计算方法求出∠CDE、∠E,根据正方形的性质分别求出∠CDF、∠CFD,四边形内角和等于360°计算即可.【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边【解析】N(b²-4ac,a-b+c)的直线一定不经过()【解析】二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)【答案】2√2+3##3+2√2【解析】【答案】<【解析】故答案为：<.12.如图，菱形ABCD中，BC=10,面积为60,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E,连接EO,则EO=【解析】【答案】2【解析】【详解】解：设小路的宽为xm,则长方形花坛的长为(16-2x)m,宽为(12-2x)m,故答案为：2.14.如图，VABC中，BA=BC,以BC为直径的半圆0分别交AB,AC于点D,E,过点E作半圆0的切线，交AB于点M,交BC的延长线于点N.若ON=10,,则半径OC的长为 【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关【详解】解：如图所示，连接OE,∴半径OC的长为6,故答案为：6.15.如图①,将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”,若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要块；如图③,将长、宽、高分别为4,2,2的长方体砖块”拼成正方体，最少需要块.【答案】①.12②.144【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形(体),再根据正方形(体)的特征，即可解答.【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3,宽为2的长方形，面积为6,∵2,3的最小公倍数是6,∴需图②的个数：6×2=12(个);用4×3=12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12,12,2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12,12,12的正方体，此时需要：2×3×4×6=144(个).故答案为：12;144.三、作图题(本大题满分4分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.C【解析】的尺规作图方法.作∠DAB的平分线AM,以E为顶点，ED为一边作∠DEN=∠C,ENP,点P即为所求.四、解答题(本大题共9小题，共71分)17.(1)解不等式组：(2)先化简,再从-2,0,3中选一个合适的数作为a的值代入求值.【答案】(1)-3<x≤3;(2),当a=3时，原18.某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆(依次用字母A,B,C,D表示)中选择一处作为研学地点.为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.研学地点选择人数条形统计图研学地点选择人数扇形统计图(2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；(3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛.甲班10名学生的成绩(单位：分)分别是：75,80,80,82,83,85,90,90,90,95;乙班10名学生的成绩.(单位：分)的平均数、中位数、众数分别是：84,83,88.根据以上数【答案】(1)补全条形统计图见解析，54(2)640人(3)甲【分析】(1)用B的人数除以26%求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用360°(2)用1600乘样本中D所占比例即可；(3)求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答.【小问1详解】解：总人数：52÷26%=200(人),D组人数：200-30-52-38=80;如图：【小问2详解】【小问3详解】解：∵甲班10名学生的成绩：75,80,80,82,83,85,90,90,90,95,∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84,83,88.匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4,则小明胜；若和小于4,则小红胜；若和等于4,则重复上述过程.(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.【答案】(1)(2)树状图见解析，该游戏对双方公平(1)根据概率计算公式求解即可；(2)画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论.【小问1详解】解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，【小问2详解】小明小红小明小红和开始26由树状图可知，一共有6种(和为4的不符合题意)等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，20.“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题.方案名称测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE,使CE=1m,并将原来的滑梯CF改为EG,(图中所有点均在同一平面内，点B,C,E在同一直线上，点A,D,F,G在同一直线上)测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD=1.8m;【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD=42°;【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD=32°.解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面?(即求FG的长)【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作EH⊥AG于H,则四边形CDHE是矩形，可得DH=CE=1m,EH=CD=1.8m,再解直角三角形求出DF,GH的长即可得到答案.【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥AG于H,则四边形CDHE是矩形，在Rt△CDF中，∠CDF=90°,∠CFD=42°,在Rt△EHG中，∠EHG=90°,21.为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的(1)求航空和航海模型的单价；(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠.若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的,请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少?【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不求解即可.【小问1详解】【小问2详解】y=125×0.8m+90(120-m)=10m+10∴当m=40时，y有最小值，最小值为10×40+10800=11200,此时有120-m=80,1,2,3,…,n,n+1.过点(1)当k=2时，点B₁的坐标为,S₁