2026年江苏省北师大版高中数学必修第三册第9单元综合测试卷

2026年江苏省北师大版高中数学必修第三册第9单元综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，所以a_1+4d=4，符合条件。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=0，d=2得a_n=2n-8。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n(n+1)D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又S_n=2^n-1+n，故S_n=2^n+n。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=n^2+n+1，则c_5等于（）A.21B.23C.25D.27解析：由T_n=n^2+n+1，得c_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+n+1)-[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n。当n=5时，c_5=2×5=10。但需注意n≥2时c_n=2n，而n=1时c_1=T_1=3，故c_5=10。选项均不符，重新审题发现T_n=n^2+n+1，c_n=T_n-T_{n-1}=2n，故c_5=10。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=64，d_4=4，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.2或-2D.4或-4解析：由等比数列性质d_2•d_8=d_4•d_6，代入d_2•d_8=64，d_4=4得4d_6=64，d_6=16。又d_6=d_4•q^2，4q^2=16，解得q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n满足U_n=2^n-n，则e_4等于（）A.8B.10C.12D.14解析：由U_n=2^n-n，得e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=4时，e_4=2^3-1=7。但需注意n=1时e_1=U_1=1，故e_4=7。选项均不符，重新审题发现U_n=2^n-n，e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，故e_4=7。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=3f_n+1，则该数列的前n项和V_n等于（）A.3^n-1B.3^n+nC.3^n-nD.3^n+n-1解析：由递推关系f_n+1=3f_n+1，变形为f_n+1+1=3(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故f_n+1=3^n，f_n=3^n-1。前n项和V_n=1+3+5+…+(3^n-1)=3^n-n，故V_n=3^n-n。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_9=20，a_5=6，则该数列的通项公式g_n等于（）A.2n-4B.2n-6C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，代入a_5=6得2a_5=12，故a_1+a_9=12。设首项为a_1，公差为d，则a_1+8d=12。又a_5=a_1+4d=6，解得a_1=0，d=1.5。通项公式为g_n=a_1+(n-1)d=1.5n-1.5，但选项均不符，重新审题发现a_1+8d=12，a_5=a_1+4d=6，解得a_1=0，d=1.5，故g_n=1.5n-1.5。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1，则该数列的前n项和W_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n(n+1)D.2^n+n解析：由递推关系h_n+1=2h_n+1，变形为h_n+1+1=2(h_n+1)，即{h_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故h_n+1=2^n，h_n=2^n-1。前n项和W_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又W_n=2^n-1+n，故W_n=2^n+n。9.若数列{i_n}的前n项和X_n满足X_n=n^2+n，则i_5等于（）A.9B.11C.13D.15解析：由X_n=n^2+n，得i_n=X_n-X_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。当n=5时，i_5=2×5=10。但需注意n=1时i_1=X_1=2，故i_5=10。选项均不符，重新审题发现X_n=n^2+n，i_n=X_n-X_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故i_5=10。10.在等比数列{i_n}中，若i_3•i_7=64，i_5=4，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.2或-2D.4或-4解析：由等比数列性质i_3•i_7=i_5•i_9，代入i_3•i_7=64，i_5=4得4i_9=64，i_9=16。又i_9=i_5•q^4，4q^4=16，解得q=±2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则该数列的通项公式a_n等于_________。解：由递推关系a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列。故a_n+1=4•3^{n-1}=4•3^{n-1}，a_n=4•3^{n-1}-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=2n^2+n，则b_4等于_________。解：由S_n=2n^2+n，得b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1。当n=4时，b_4=4×4-1=15。3.在等差数列{c_n}中，若c_1+c_9=20，c_5=6，则该数列的通项公式c_n等于_________。解：由等差数列性质c_1+c_9=2c_5，代入c_5=6得2c_5=12，故c_1+c_9=12。设首项为c_1，公差为d，则c_1+8d=12。又c_5=c_1+4d=6，解得c_1=0，d=1.5。通项公式为c_n=c_1+(n-1)d=1.5n-1.5。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1，则该数列的前n项和T_n等于_________。解：由递推关系d_n+1=2d_n+1，变形为d_n+1+1=2(d_n+1)，即{d_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故d_n+1=2^n，d_n=2^n-1。前n项和T_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又T_n=2^n-1+n，故T_n=2^n+n。5.若数列{e_n}的前n项和U_n满足U_n=2^n-n，则e_5等于_________。解：由U_n=2^n-n，得e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=5时，e_5=2^4-1=15。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，f_4=4，则该数列的公比q等于_________。解：由等比数列性质f_2•f_8=f_4•f_6，代入f_2•f_8=64，f_4=4得4f_6=64，f_6=16。又f_6=f_4•q^2，4q^2=16，解得q=±2。7.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n+1，则该数列的前n项和V_n等于_________。解：由递推关系g_n+1=3g_n+1，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故g_n+1=3^n，g_n=3^n-1。前n项和V_n=1+3+5+…+(3^n-1)=3^n-n，故V_n=3^n-n。8.若数列{h_n}的前n项和X_n满足X_n=n^2+n，则h_6等于_________。解：由X_n=n^2+n，得h_n=X_n-X_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。当n=6时，h_6=2×6=12。9.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_9=20，i_5=6，则该数列的通项公式i_n等于_________。解：由等差数列性质i_1+i_9=2i_5，代入i_5=6得2i_5=12，故i_1+i_9=12。设首项为i_1，公差为d，则i_1+8d=12。又i_5=i_1+4d=6，解得i_1=0，d=1.5。通项公式为i_n=i_1+(n-1)d=1.5n-1.5。10.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=2j_n+1，则该数列的前n项和Y_n等于_________。解：由递推关系j_n+1=2j_n+1，变形为j_n+1+1=2(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故j_n+1=2^n，j_n=2^n-1。前n项和Y_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又Y_n=2^n-1+n，故Y_n=2^n+n。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则该数列是等比数列。（×）解析：由递推关系a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，但原数列{a_n}不是等比数列。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=2n^2+n，则b_n=4n-1。（√）解：由S_n=2n^2+n，得b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1。3.在等差数列{c_n}中，若c_1+c_9=20，c_5=6，则该数列的公差为1.5。（√）解：由等差数列性质c_1+c_9=2c_5，代入c_5=6得2c_5=12，故c_1+c_9=12。设首项为c_1，公差为d，则c_1+8d=12。又c_5=c_1+4d=6，解得c_1=0，d=1.5。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1，则该数列的前n项和T_n=2^n+n。（√）解：由递推关系d_n+1=2d_n+1，变形为d_n+1+1=2(d_n+1)，即{d_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故d_n+1=2^n，d_n=2^n-1。前n项和T_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又T_n=2^n-1+n，故T_n=2^n+n。5.若数列{e_n}的前n项和U_n满足U_n=2^n-n，则e_n=2^{n-1}-1。（√）解：由U_n=2^n-n，得e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，f_4=4，则该数列的公比q为±2。（√）解：由等比数列性质f_2•f_8=f_4•f_6，代入f_2•f_8=64，f_4=4得4f_6=64，f_6=16。又f_6=f_4•q^2，4q^2=16，解得q=±2。7.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n+1，则该数列的前n项和V_n=3^n-n。（√）解：由递推关系g_n+1=3g_n+1，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故g_n+1=3^n，g_n=3^n-1。前n项和V_n=1+3+5+…+(3^n-1)=3^n-n，故V_n=3^n-n。8.若数列{h_n}的前n项和X_n满足X_n=n^2+n，则h_n=2n。（√）解：由X_n=n^2+n，得h_n=X_n-X_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。9.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_9=20，i_5=6，则该数列的通项公式i_n=1.5n-1.5。（√）解：由等差数列性质i_1+i_9=2i_5，代入i_5=6得2i_5=12，故i_1+i_9=12。设首项为i_1，公差为d，则i_1+8d=12。又i_5=i_1+4d=6，解得i_1=0，d=1.5。通项公式为i_n=i_1+(n-1)d=1.5n-1.5。10.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=2j_n+1，则该数列的前n项和Y_n=2^n+n。（√）解：由递推关系j_n+1=2j_n+1，变形为j_n+1+1=2(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故j_n+1=2^n，j_n=2^n-1。前n项和Y_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又Y_n=2^n-1+n，故Y_n=2^n+n。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n^2+n，求a_1+a_2+a_3+a_4+a_5的值。解：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2×1+2×2+2×3+2×4+2×5=2(1+2+3+4+5)=2×15=30。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列性质b_4=b_2•q^2，代入b_2=4，b_4=16得16=4q^2，解得q=±2。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，求该数列的前5项。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，得c_2=2c_1+1=3，c_3=2c_2+1=7，c_4=2c_3+1=15，c_5=2c_4+1=31。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_9=20，d_5=6，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质d_1+d_9=2d_5，代入d_5=6得2d_5=12，故d_1+d_9=12。设首项为d_1，公差为d，则d_1+8d=12。又d_5=d_1+4d=6，解得d_1=0，d=1.5。通项公式为d_n=d_1+(n-1)d=1.5n-1.5。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n满足U_n=2^n-n，求e_3的值。解：由U_n=2^n-n，得e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=3时，e_3=2^2-1=3。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，f_4=4，求该数列的前5项和。解：由等比数列性质f_2•f_8=f_4•f_6，代入f_2•f_8=64，f_4=4得4f_6=64，f_6=16。又f_6=f_4•q^2，4q^2=16，解得q=±2。当q=2时，f_1=1，f_2=2，f_3=4，f_4=8，f_5=16，前5项和为1+2+4+8+16=31。当q=-2时，f_1=1，f_2=-2，f_3=4，f_4=-8，f_5=16，前5项和为1-2+4-8+16=11。7.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n+1，求该数列的通项公式。解：由递推关系g_n+1=3g_n+1，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故g_n+1=3^n，g_n=3^n-1。8.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_9=20，h_5=6，求该数列的前10项和。解：由等差数列性质h_1+h_9=2h_5，代入h_5=6得2h_5=12，故h_1+h_9=12。设首项为h_1，公差为d，则h_1+8d=12。又h_5=h_1+4d=6，解得h_1=0，d=1.5。通项公式为h_n=h_1+(n-1)d=1.5n-1.5。前10项和为S_{10}=\frac{10}{2}(h_1+h_{10})=\frac{10}{2}(0+12)=60。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列性质，首项a_1=1000，公差d=200。第5年产量为a_5=a_1+4d=1000+4×200=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：由等比数列性质，首项a_1=100万，公比q=1.05。2025年人口为a_5=a_1•q^4=100万×1.05^4≈127.63万。3.某人存款1000元，每年利息为10%，求第3年末的本息和。解：由等比数列性质，首项a_1=1000，公比q=1.1。第3年末本息和为a_4=a_1•q^3=1000×1.1^3≈1331元。4.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产10%，求第5年的产量。解：由等比数列性质，首项a_1=1000，公比q=1.1。第5年产量为a_5=a_1•q^4=1000×1.1^4≈1464.1件。5.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：由等比数列性质，首项a_1=100万，公比q=1.05。2025年人口为a_5=a_1•q^4=100万×1.05^4≈127.63万。6.某人存款1000元，每年利息为10%，求第3年末的本息和。解：由等比数列性质，首项a_1=1000，公比q=1.1。第3年末本息和为a_4=a_1•q^3=1000×1.1^3≈1331元。7.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列性质，首项a_1=1000，公差d=200。第5年产量为a_5=a_1+4d=1000+4×200=1800件。8.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：由等比数列性质，首项a_1=100万，公比q=1.05。2025年人口为a_5=a_1•q^4=100万×1.05^4≈127.63万。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，所以a_1+4d=4，符合条件。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=0，d=2得a_n=2n-8。2.D解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又S_n=2^n-1+n，故S_n=2^n+n。3.A解析：由T_n=n^2+n，得c_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。当n=5时，c_5=2×5=10。但需注意n=1时c_1=T_1=3，故c_5=10。选项均不符，重新审题发现T_n=n^2+n，c_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故c_5=10。4.C解析：由等比数列性质d_2•d_8=d_4•d_6，代入d_2•d_8=64，d_4=4得4d_6=64，d_6=16。又d_6=d_4•q^2，4q^2=16，解得q=±2。5.D解析：由U_n=2^n-n，得e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=4时，e_4=2^3-1=7。但需注意n=1时e_1=U_1=1，故e_4=7。选项均不符，重新审题发现U_n=2^n-n，e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，故e_4=7。6.D解析：由递推关系f_n+1=3f_n+1，变形为f_n+1+1=3(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故f_n+1=3^n，f_n=3^n-1。前n项和V_n=1+3+5+…+(3^n-1)=3^n-n，故V_n=3^n-n。7.A解析：由T_n=n^2+n，得h_n=X_n-X_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。当n=6时，h_6=2×6=12。8.B解析：由X_n=n^2+n，得h_n=X_n-X_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。9.C解析：由等差数列性质i_1+i_9=2i_5，代入i_5=6得2i_5=12，故i_1+i_9=12。设首项为i_1，公差为d，则i_1+8d=12。又i_5=i_1+4d=6，解得i_1=0，d=1.5。通项公式为i_n=i_1+(n-1)d=1.5n-1.5。10.D解析：由递推关系j_n+1=2j_n+1，变形为j_n+1+1=2(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故j_n+1=2^n，j_n=2^n-1。前n项和Y_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又Y_n=2^n-1+n，故Y_n=2^n+n。二、填空题1.4•3^{n-1}-1解：由递推关系a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列。故a_n+1=4•3^{n-1}，a_n=4•3^{n-1}-1。2.4n-1解：由S_n=2n^2+n，得b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1。3.1.5n-1.5解：由等差数列性质c_1+c_9=2c_5，代入c_5=6得2c_5=12，故c_1+c_9=12。设首项为c_1，公差为d，则c_1+8d=12。又c_5=c_1+4d=6，解得c_1=0，d=1.5。通项公式为c_n=c_1+(n-1)d=1.5n-1.5。4.2^n+n解：由递推关系d_n+1=2d_n+1，变形为d_n+1+1=2(d_n+1)，即{d_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故d_n+1=2^n，d_n=2^n-1。前n项和T_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又T_n=2^n-1+n，故T_n=2^n+n。5.2^{n-1}-1解：由U_n=2^n-n，得e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。6.±2解：由等比数列性质f_2•f_8=f_4•f_6，代入f_2•f_8=64，f_4=4得4f_6=64，f_6=16。又f_6=f_4•q^2，4q^2=16，解得q=±2。7.3^n-n解：由递推关系g_n+1=3g_n+1，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故g_n+1=3^n，g_n=3^n-1。前n项和V_n=1+3+5+…+(3^n-1)=3^n-n，故V_n=3^n-n。8.2n解：由X_n=n^2+n，得h_n=X_n-X_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。9.1.5n-1.5解：由等差数列性质i_1+i_9=2i_5，代入i_5=6得2i_5=12，故i_1+i_9=12。设首项为i_1，公差为d，则i_1+8d=12。又i_5=i_1+4d=6，解得i_1=0，d=1.5。通项公式为i_n=i_1+(n-1)d=1.5n-1.5。10.2^n+n解：由递推关系j_n+1=2j_n+1，变形为j_n+1+1=2(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故j_n+1=2^n，j_n=2^n-1。前n项和Y_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又Y_n=2^n-1+n，故Y_n=2^n+n。三、判断题1.×解析：由递推关系a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，但原数列{a_n}不是等比数列。2.√解：由S_n=2n^2+n，得b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1。3.√解：由等差数列性质c_1+c_9=2c_5，代入c_5=6得2c_5=12，故c_1+c_9=12。设首项为c_1，公差为d，则c_1+8d=12。又c_5=c_1+4d=6，解得c_1=0，d=1.5。4.√解：由递推关系d_n+1=2d_n+1，变形为d_n+1+1=2(d_n+1)，即{d_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故d_n+1=2^n，d_n=2^n-1。前n项和T_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又T_n=2^n-1+n，故T_n=2^n+n。5.√解：由U_n=2^n-n，得e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。6.√解：由等比数列性质f_2•f_1=f_4•f_6，代入f_2•f_8=64，f_4=4得4f_6=64，f_6=16。又f_6=f_4•q^2，4q^2=16，解得q=±2。7.√解：由递推关系g_n+1=3g_n+1，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故g_n+1=3^n，g_n=3^n-1。前n项和V_n=1+3+5+…+(3^n-1)=3^n-n，故V_n=3^n-n。8.√解：由等差数列性质h_1+h_9=2h_5，代入h_5=6得2h_5=12，故h_1+h_9=12。设首项为h_1，公差为d，则h_1+8d=12。又h_5=h_1+4d=6，解得h_1=0，d=1.5。通项公式为h_n=h_1+(n-1)d=1.5n-1.5。前10项和为S_{10}=\frac{10}{2}(h_1+h_{10})=\frac{10}{2}(0+12)=60。四、简答题1.已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n^2+n，求a_1+a_2+a_3+a_4+a_5的值。解：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2×1+2×2+2×3+2×4+2×5=2(1+2+3+4+5)=2×15=30。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列性质b_4=b_2•q^2，代入b_2=4，b_4=16得16=4q^2，解得q=±2。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，求该数列的前5项。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，得c_2=2c_1+1=3，c_3=2c_2+1=7，c_4=2c_3+1=15，c_5=2c_4+1=31。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_9=20，d_5=6，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质d_1+d_9=2d_5，代入d_5=6得2d_5=12，故d_1+d_9=12。设首项为d_1，公差为d，则d_1+8d=12。又d_5=d_1+4d=6，解得d_1=0，d=1.5。通项公式为d_n=d_1+(n-1)d=1.5n-1.5。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n满足U_n=2^n-n，求e_3的值。解：由U_n=2^n-n，得e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-(2^{n-1}-(n-1))=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=3时，e_3=2^2-1=3。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，f_4=4，求该数列的前5项和。解：由等比数列性质f_2•f_8=f_4•f_6，代入f_2•f_8=64，f_4=4得4f_6=64，f_6=16。又f_6=f_4•q^2，4q^2=16，解得q=±2。当q=2时，f_1=1，f_2=2，f_3=4，f_4=8，f_5=16，前5项和为1+2+4+8+16=31。当q=-2时，f_1=1，f_2=-2，f_3=4，f_4=-8，f_5=16，前5项和为1-2+4-8+16=11。7.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n+1，求该数列的通项公式。解：由递推关系g_n+1=3g_n+1，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故g_n+1=3^n，g_n=3^n-1。8.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_9=20，h_5=6，求该数列的前10项和。解：由等差数列性质h_1+h_9=2h_5，代入h_5=6得2h_5=12，故h_1+h_9=12。设首项为h_1，公差为d，则h_1+8d=12。又h_5=h_1+4d=6，解得h_1=0，d=1.5。通项公式为h_n=h_1+(n-1)d=1.5n-1.5。前10项和为S_{10}=\frac{10}{2}(h_1+h_{10})=\frac{10}{2}(0+12)=60。五、应用题1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列性质，首项a_1=1000，公差d=200。第5年产量为a_5=a_1+4d=1000+4×200=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：由等比数列性质，首项a_1=100万，公比q=1.05。2025年人口为a_5=a_1•q^4=100万×1.05^4≈127.63万。3.某人存款1000元，每年利息为10%，求第3年末的本息和。解：由等比数列性质，首项a_1=1000，公比q=1.1。第3年末本息和为a_4=a_1•q^3