山东省日照市2025-2026学年高一下学期期末考试 数学 含解析

山东日照市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．2．已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（

）A．5 B． C．4 D．34．已知，，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．5．已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．6．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．7．在四面体中，已知，，那么顶点在平面内的射影必在（

）A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部8．设实数，满足，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2二、多选题9．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．已知函数的一个零点是，函数，则（

）A．在区间上的值域为B．C．若方程的相邻的两根分别为，，则D．函数的最大值为11．在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（

）A．的最小值为B．点的轨迹形成图形的面积为C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为D．当点在侧面上时，的最小值为1三、填空题12．已知角顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则的值为_____.13．如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________14．如图，在体积为1的三棱锥的侧棱，，上分别取点，，，使，.记为平面，平面，平面的交点，则三棱锥的体积等于__________.四、解答题15．已知函数的部分图象如图所示，分别是图象的最低点和最高点，.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间.16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点.(1)当为的中点时，求证：平面；(2)若平面，求三棱锥的体积.17．已知在平面四边形中，，，，平分，与相交于点.(1)求的长；(2)若，求平面四边形的面积.18．已知、是夹角为的不共线的单位向量，对于同一平面的任意，存在唯一确定的实数对，使得，我们把实数对称作关于基底的坐标，记作.(1)若，，求；(2)若，，且与的夹角为，求；(3)如图所示，，，，、分别为、中点，求的最大值.19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接．(1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；(2)已知直线与直线所成角的余弦值为．①求四棱锥在顶点处的离散曲率；②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值．参考答案1．B解析：.2．B解析：设该扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则，则该扇形的面积为.故选：B.3．D解析：，，，，，．故选：D.4．A解析：因为，所以，又，，，解得，，且，，即向量与的夹角为．故选：A．5．B解析：由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示，设球的半径为，由题意可知，，则在直角中，，所以球的表面积．6．D解析：选项A，当时，，因为在上不单调，故在不单调，所以A错误.选项B，周期为，不是，故B错误选项C，根据绝对值的函数变换规律可知草图如下所示，所以不是周期函数，故C错误.选项D，据绝对值的函数变换规律可知草图如下所示，所以的最小正周期为，且在区间上单调递减7．A解析：已知，，且，平面，平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面，又平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，且两平面的交线为，根据面面垂直的性质定理，平面内的点向平面作垂线，垂足必在两平面的交线上，故A正确.8．C解析：设，已知，将两式分别平方相加得，左边因此有，整理得，由正弦函数的值域可知，故，即，当且仅当时等号成立.因此的最大值为.9．AB解析：对于A，由，得存在过的平面，则，由，得，因此，A正确；对于B，由，，得，B正确；对于C，，当时，满足，此时不成立，C错误；对于D，当，，得或相交，D错误.10．BCD解析：因为函数的一个零点是，所以.即，展开化简得，即，所以，即.由于，所以.所以.当时，，所以，A错误；，B正确；所以.因为，所以令，即，所以，即，因为方程的相邻的两根分别为，，则，C正确；，由于，所以，所以，所以.所以当时，，此时取最大值为1，所以的最大值为，D正确.11．ABD解析：对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面，则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确；对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，为高，为母线的圆锥侧面的，则点的轨迹所形成图形的面积为：，故B正确；对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C错误；对于D，注意到，过作平行线交于，则，从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确.12．解析：因为角终边经过点，所以，所以.13．2解析：以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，由题意可知，，.因为为圆心为的单位圆的一条动直径，设，则，所以，，所以，其中.因为，所以，所以当时，取得最大值，最大值为.14．解析：如图，假设，连接，则，如图，在中，连接，设，所以，又，所以，解得，即，同理，则，则，设到底面的距离分别为，则，又，所以，所以，所以.15．（1）；（2）详解：(1)由图象可得：，所以的周期.于是，得，又，∴∴，又将代入得，，所以，即，由得，，∴.（2）将函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为：，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为，由，得,，,∴函数的单调递增区间为.16．(1)取中点，连接,，由于为的中点，所以,且,又在中，,N为BC中点，所以，，且,所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，,又平面，平面，所以，平面.(2)解析：（1）略（2）连接交于点，连接，作于点,由平面，平面，平面平面，所以，所以,又在中，,所以，,又为中点，所以，，所以，,所以，由于侧面是边长为2的正三角形，，，平面平面,平面平面,平面，所以，平面,所以，.17．(1)(2)解析：（1）因为，则是钝角，所以，因为平分，则，又因是锐角，则，则，且，，则所以解得.（2）在中，，所以，因，代入解得，又因，，所以平面四边形的面积为：.18．(1)(2)(3)解析：（1）当时，由平面向量数量积的定义可得，因为，即，所以.（2）因为，，则，，由平面向量数量积的定义可得，所以，，同理可得，因为与的夹角为，则，解得.（3）因为为的中点，，则，，所以，又因为，所以，即，设，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，即的最大值为.19．(1)2(2)①；②解析：（1）因为，，，内角和均为，四边形内角和为，则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为；（2）①过点作交于，连接，则即为直线与直线所成角或其补角，因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点，则圆的直径，连接，则易