2026年(完整)数字信号处理期末试题及答案

2026年(完整)数字信号处理期末试题及答案第一部分选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.已知有限长序列x[n]=[1,2,-1,3]，n=0,1,2,3，其反转序列x[-n]的正确表达式是（）A.[3,-1,2,1],n=-3,-2,-1,0B.[1,-1,2,3],n=0,1,2,3C.[3,-1,2,1],n=0,1,2,3D.[1,2,-1,3],n=-3,-2,-1,02.连续时间信号x_a(t)=sin(100πt)+cos(250πt)，若要对其进行无混迭采样，满足奈奎斯特定理的最低采样频率fs（单位Hz）为（）A.125B.250C.500D.1000B.存在，因为收敛域包含单位圆C.不存在，收敛域是环形不包含单位圆D.存在，所有Z变换都对应傅里叶变换4.N点离散傅里叶变换X[k]=DFT[x[n]]，0≤n,k≤N-1，若x[n]是实序列，且满足x[n]=x[N-n]（n=1,2...N-1），那么X[k]的性质是（）A.X[k]是纯虚数，且X[k]=-X[N-k]B.X[k]是实数，且X[k]=X[N-k]C.X[k]是纯虚数，且X[k]=X[N-k]D.X[k]是实数，且X[k]=-X[N-k]5.基2时间抽取FFT算法，N=2^M，那么FFT算法与直接计算N点DFT的乘法次数比值约为（）A.M/(2N)B.2M/NC.N/(2M)D.2N/M6.设计IIR数字滤波器时，若要保留模拟滤波器的线性频率变换映射关系，保持原幅频特性的变换线性，应该采用哪种映射方法（）A.脉冲响应不变法B.双线性变换法C.阶跃响应不变法D.零阶保持变换法7.FIR滤波器满足h[n]=h[N-1-n]，N是偶数，那么该滤波器的幅度函数H(ω)的特点是（）A.H(ω)关于ω=0,π,2π偶对称B.H(ω)关于ω=π奇对称C.H(ω)关于ω=0偶对称，关于ω=π奇对称D.H(ω)关于ω=0,π都奇对称8.已知x[n]长度是N1=8，h[n]长度是N2=12，若计算x[n]和h[n]的线性卷积，用基2FFT实现快速卷积，最少需要多少点的FFT运算（）A.16B.20C.32D.129.下列关于窗函数法设计FIR滤波器的说法，正确的是（）A.增大窗函数长度可以减小过渡带宽度，同时减小阻带最小衰减B.增大窗函数长度可以增大过渡带宽度，同时增大阻带最小衰减C.不同形状的窗函数，过渡带宽度只和窗长度有关，和窗形状无关D.选择不同的窗函数可以在相同过渡带宽度下获得不同的阻带衰减10.双线性变换法设计IIR低通滤波器，模拟低通的通带截止角频率Ωp，数字低通通带截止角频率ωp，二者的关系是（）A.ωp=ΩpTB.Ωp=(2/T)tan(ωp/2)C.ωp=(2/T)tan(ΩpT/2)D.Ωp=Ttan(ωp/2)第二部分填空题（共5小题，每空2分，共20分）1.已知x[n]=δ[n]+2δ[n-1]+δ[n-2]，则4点圆周卷积y[n]=x[n]ⓧx[n]，y[2]的值为__________。2.若序列x[n]是因果序列，其Z变换X(z)=(1+2z^-1)/(1-0.6z^-1-0.16z^-2)，那么初值x[0]=__________，终值x[∞]=__________。3.已知线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度N=11，h[n]满足h[n]=-h[N-1-n]，那么该滤波器在ω=0处的幅度响应H(0)=__________，ω=π处的幅度响应H(π)=__________。4.采用脉冲响应不变法将模拟滤波器H_a(s)变换为数字滤波器H(z)，若H_a(s)=2/[(s+1)(s+2)]，部分分式展开为2/(s+1)-2/(s+2)，采样周期T=1，那么变换后的H(z)=__________。5.已知序列x[n]总长度为100点，单位脉冲响应h[n]长度为20点，采用重叠保留法计算线性卷积，设定每段FFT点数N=32，那么x[n]总共需要分为__________段，最终输出线性卷积结果的总长度为__________。第三部分计算题（共3小题，每小题10分，共30分）1.已知因果离散LTI系统满足差分方程y[n]-0.7y[n-1]+0.12y[n-2]=x[n]+0.5x[n-1]，求：(1)求系统函数H(z)，画出零极点分布，判断系统是否稳定；(2)求系统的单位脉冲响应h[n]。2.已知x[n]=[1,2,3,4]，n=0,1,2,3，求：(1)计算4点DFTX[k]=DFT[x[n]]，写出各点X[k]的结果；(2)求x[n]的共轭对称分量x_e[n]和共轭反对称分量x_o[n]。3.给定模拟低通滤波器的技术指标：通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减Ap=1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减As=30dB，采样频率Fs=40kHz，采用双线性变换法设计巴特沃斯IIR数字低通滤波器，求模拟低通滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc。第四部分综合分析题（共20分）某数字信号处理系统需要设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定技术指标：通带截止ωp=0.3π，阻带截止ωs=0.45π，通带最大波纹δ1=0.01，阻带最小衰减αs=44dB，要求：(1)说明窗函数法设计该滤波器的步骤，选择合适的窗函数，计算所需的滤波器单位脉冲响应长度N；(2)推导写出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd[n]，给出加窗后的单位脉冲响应h[n]的表达式；(3)说明如果要求该滤波器的群延迟是整数，N应该取奇数还是偶数，说明原因。参考答案选择题答案及解析1.A解析：有限长序列x[n]定义在n=0,1,2,3，反转后x[-n]的自变量满足-n∈[0,3]，即n∈[-3,0]，对应序列值依次为x[3]=3、x[2]=-1、x[1]=2、x[0]=1，因此序列为[3,-1,2,1]，自变量范围为n=-3,-2,-1,0，故选A。2.B解析：奈奎斯特无混迭采样要求fs≥2fh，其中fh为信号最高频率，本题信号最高模拟角频率Ωmax=250π，由Ω=2πf得fh=125Hz，因此最低采样频率fs=2fh=250Hz，故选B。5.A解析：直接计算N点DFT的乘法次数为N²，基2时间抽取FFT的乘法次数为(NM)/2（N=2^M），因此二者乘法次数比值为(NM/2)/N²=M/(2N)，故选A。6.A解析：脉冲响应不变法的频率映射关系为ω=ΩT，属于线性映射，能够保留模拟滤波器幅频特性的线性变换关系，仅在高频存在混迭失真；双线性变换法存在频率非线性畸变，无法保持线性变换关系，故选A。7.C解析：根据线性相位FIR滤波器的性质，当单位脉冲响应满足偶对称h[n]=h[N-1-n]、N为偶数时，幅度函数满足H(π)=0，关于ω=0偶对称，关于ω=π奇对称，这类结构适合设计除高通外的线性相位滤波器，故选C。8.C解析：两个长度为N1、N2的序列线性卷积结果长度为N1+N2-1=8+12-1=19，基2FFT要求点数为不小于卷积结果长度的最小2的整数次幂，2^4=16<19，2^5=32>19，因此最少需要32点FFT，故选C。9.D解析：窗函数法设计FIR滤波器时，阻带最小衰减由窗函数形状决定，与窗长度无关，增大窗长度仅能减小过渡带宽度，过渡带宽度同时受窗长度和窗形状影响，不同窗函数可在相同过渡带宽度下获得不同的阻带衰减，因此只有D选项正确，故选D。10.B解析：双线性变换的映射关系为s=(2/T)(1-z^-1)/(1+z^-1)，令z=e^jω、s=jΩ，代入整理得Ω=(2/T)tan(ω/2)，因此通带截止满足Ωp=(2/T)tan(ωp/2)，故选B。填空题答案及解析1.6解析：x[n]的4点序列为[1,2,1,0]，根据圆周卷积定义y[2]=Σ(m=0到3)x[m]x[(2-m)mod4]=1×1+2×2+1×1+0×0=6，因此结果为6。2.1；0解析：由初值定理，因果序列x[0]=lim(z→∞)X(z)=lim(z→∞)(1+2z^-1)/(1-0.6z^-1-0.16z^-2)=1；X(z)的极点为z=0.8和z=-0.2，都在单位圆内，满足终值定理条件，x[∞]=lim(z→1)(z-1)X(z)=0，因此结果为1、0。3.0；0解析：本题中h[n]满足奇对称h[n]=-h[N-1-n]，N=11为奇数，属于第三类线性相位FIR滤波器，幅度函数满足H(0)=0、H(π)=0，因此结果均为0。4.2z/(z-e^-1)-2z/(z-e^-2)（或整理为2z(e^-1-e^-2)/[(z-e^-1)(z-e^-2)]）解析：脉冲响应不变法中，模拟域部分分式项Ak/(s-sk)对应数字域Akz/(z-e^skT)，T=1，因此极点s1=-1、s2=-2对应H(z)=2z/(z-e^-1)-2z/(z-e^-2)。5.10；119解析：重叠保留法中，h长度M=20，每段N=32，每段处理后舍去前M-1=19个点，每段输出13个有效点，线性卷积总长度为100+20-1=119，119÷13≈9.15，向上取整得10段，输出总长度为119。计算题答案2.解：(1)4点DFT定义X[k]=Σ(n=0到3)x[n]W4^(kn)，W4=-j，代入计算得：X[0]=1+2+3+4=10，X[1]=1+2×(-j)+3×(-1)+4×j=-2+2j，X[2]=1+2×(-1)+3×1+4×(-1)=-2，X[3]=1+2×j+3×(-1)+4×(-j)=-2-2j，因此X[k]=[10,-2+2j,-2,-2-2j],k=0,1,2,3。(2)实序列的共轭对称分量x_e[n]=(x[n]+x[N-n])/2，共轭反对称分量x_o[n]=(x[n]-x[N-n])/2，计算得：x_e[n]=[1,3,3,3]，x_o[n]=[0,-1,0,1]。3.解：首先将数字频率预畸变，归一化T=2不影响结果，ωp=2πfp/Fs=π/4，ωs=2πfs/Fs=3π/5，预畸变得Ωp=tan(ωp/2)=tan(π/8)≈0.4142，Ωs=tan(ωs/2)=tan(3π/20)≈1.3764，频率比k=Ωp/Ωs≈0.301，衰减参数k1=10^(Ap/10)-1≈0.2589，k2=10^(As/10)-1≈999，阶数N≥lg(k1/k2)/(2lgk)=lg(0.2589/999)/(2lg0.301)≈3.44，因此取N=4。计算3dB截止频率Ωc，满足Ωc^2N=k2Ωs^2N，得Ωc=Ωs/(k2)^(1/(2N))≈1.3764/(999)^(1/8)≈0.69rad/s，验证通带衰减得10lg(1+(Ωp/Ωc)^8)≈0.07dB<1dB，满足要求，因此阶数N=4，Ωc≈0.69rad/s。综合分析题答案解：(1)窗函数法设计步骤：①根据技术指标计算过渡带宽度Δω=ωs-ωp=0.45π-0.3π=0.15π；②根据阻带最小衰减选择窗函数，常用窗中矩形窗阻带衰减21dB、汉宁窗44dB、汉明窗53dB、布莱克曼窗74dB，本题要求αs=44dB，因此选择汉宁窗；③计算滤波器长度，汉宁窗的过渡带满足Δω≈8π/N，因此N≥8π/0.15π≈53.33，向上取整得N=54，若要求群延迟为整数取N=55。(2)理想低通滤波器的截止频率取ωc=(ωp+ωs)/2=0.375π，群延迟α=(N-1)/2，理想低通单位脉冲响应hd[n]=(1/(2π))∫(-ωc到ωc)e^jω(n-α)dω，计算得hd[n]=sin[ωc(n-α)]/[π(n-α)](n≠α)，n=α时hd[α]=ωc/π=0.375。加汉宁窗后h[n