模型60 阿基米德折弦定理（含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型60阿基米德折弦定理

基枇模型

圆周上任意一点出发的两条弦所组成的折线，我们称之为该圆的一条折弦，如图①中折线A

折弦

图①图②

定理如图②，点M为AC的中点，点B为AM上任意一点，且MDJ_BC,则有AB+BD=DC

已知AB+BD=DC.

逆定理1.若M为ABC的中点厕MD_LBC;

2.若MDJ_BC,则点M为ABC的中点

结论分析

结论:AB+BD=DC

补应法

证明1：如图③，延长DB至点F.使BF二BA.连接MF,MB,MC,MA,AC.

•・、为一AC的中点,JAMnCM.

:.ZMAC=ZMCA.

又ZMBC=ZMAC,ZMBC+ZMBF=180o,ZMBA+ZMCA=l80°,/.ZMBF=ZMBA.

在AMBFMBA中.

BF=BA/,MBF=乙MBA,MB=MBM

・•.AMBFg△MBA(SAS),

：,MF=MA=MC.FXj

VMD±CF,ADF=DC,)

：,FB+BD=DC,；・AB+BD=DC./

图③

证明2:如图④，连接MB,MA,MC,AC,过点M作MH_LAB.交AB的延长线于点H//M为公的中点,JAM=CM,

满分技法

证明线段和差关系，很重要的一个方法就是截长补短法.

补短法即：①在DB的延长线上补长度为AB的线段BF,只需求证DF=DC即可.

②在AB的延长线上构造与BD等线段的长度BH,求证AH=DC即可.

截长法即：在长线段DC上截取一条线段等于AB或BD的长，求证剩余长度与BD或AB相等即可.

'Z-MHA=LMDC

在乙MHA和^MDC中一LHAM=Z.DCM,

.MA=MC

/.△MHA^AMDC(AAS),.\AH=CD,MH=MD,

在RIAMHB和RtAMDB中.MH=MDMB=MB

：.RtAMHB^RtAMDB(HL),

ABH=BD,

又：AH=AB+BH,AH=DC,图④

AAH=AB+BD,AAB+BD=DC.

结论:AB+BD=DC.

自主证明：请用截长法证明结论.

模型拓展

拓展方向：当点M在特殊位置时的考查

条件点M为劣弧AB的中点，连接MB,MC点M为优弧ACB的中点，连接MBNC

图示与守

结论MC2-MB2=ACBCMB2-MC2=ACBC

模型解题三步法

例I如图,△ABC内接于。O,已知AB=AC=2&,点D为^4c上的任意一点,连接ADDC,ZABD=4

5\ZCBD=I5°,AE±BD于点E,则△BDC的周长是_____.

例2如图，等腰RtAABC内接于。。，在另T则的半圆上有一点D,连接CD,AD,过点D作DE±BC于点

E,恰好使得AB+BE=CE,则NDCB=.

c

D

例2题图

题以类解

1.如图，已知A,B,C,D四点共圆，且AB=BD,BP_LAC,垂足为P,若AP=7,CP=2,则CD的长为.

2.如图，四边形ABCD内接于。0，连接对角线AC,BD,AE±BD于点E,若AB=AC=6,AD=3,则BDCD的值为_

3.如图,△ABC内接于。O,AB=AC,OD垂直AB于点D点E为劣弧求上一点，连接BE,CE,若sin^ABE=

l，OD=5,CE=12,则BE的长为.

4.如图，在ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+Cb过D作AC的垂线交ABC的外接圆于M,过M

作AB的垂线MN,交。0于点N.求证:MN为力BC外接圆的直径.

第4题图

5.如图、在。O中，AB=AC,点D是优弧朝上一动点（点D不与点C,B重合）.连接DA.DBQC,LBAC=12

00.

（1谄4C=4,求。O的半径；

而/MGB二NGMC+NMCG,

/.zGMC=zBCA=zBMA,

在，BMA和AGMC中，MB=MGZBMA=zGMC,MA=MC

□BMA斗GMC(SAS),

.-.AB=CG;

・•.AB+BD=GC十BD-GC+DG=DC.

模型解题三步法

例14+2V2【解析】根据阿基米德折弦定理得,CD+DE=BE,「zABD=45°,/.BE=2V2X1=2,/.CD+DE

o

=2;/zCBD=15°/zABD=45/.zABC=60°;.AB=ACr^ABC是等边三角形(一个角是60。的等腰三角形是等边三

角形)」BC=AB=AC=2V5,.“BDC的周长为BE+(CD+DE)+BC=4+2A/2.

例222.5°【解析】找模型：圆上是否存在折线：折线ABC,折线是否存在线段关系：AB+BE二CE,是否存

在垂线:DE±BC,抽离模型：如解图,用模型：根据阿基米德折弦定理的逆定理可得点D是优弧AC的中点,，A

D=DC,.“ACD是等月要三角形，又..&ABC是等腰直角三角形,zABC=zACB=zADC=45°,/.zDCA=(180°-4

5°)^2=67.5VzDCB=zDCA-zACB=22.5°.国。

例2题解图

题以类解

1.5【解析】找模型：圆上是否存在折线：折线ACD,是否存在弧的中点：点B,是否过中点作垂线：BP±

AC.抽离模型：如解图，用模型：根据阿基米德折弦定理得,AP=CP+CD,「.CD二AP-CP=7-2=5.

2.27【解析】找模型：圆上是否存在折线：折线BDC,是否存在弧的中点：点A,是否过中点作垂线：AE±

BD抽离模型：如解图，用模型：根据阿基米德折弦定理得,BE=CD+DE”AE_LBD,.•.在RfAEB中，BE2=AB2-A

222222222

£2,在Rt^AED+>,DE=AD-AEr-.BDCD=(BE+DE)•(BE-DE)=BE-DE=AB-AE-(AD-AE)=

AB2-AD2=62-32=27.

3.24【解析】如解图，连接OAQB,AE,过点A作AF_LBE于点F//OD±ABr\zAOD=\zAOB=zAEF.

ZAFE=ZADO=90。，AFE〜ADO,—=芸.sin/ABE="=J•.竺=手=9,.•.竺=之解得EF

ADODAB5AD^AB555

・

=6「.AB=AC,.••点A为优弧丽的中点，•.AFLBE,.•根据阿基米德折弦定理得，BF=EF+CE=6+12=18f/.B

E=18+6=24.

第3题解图第4题解图

4.证明:如解图，延长AC至点E,使CE=BC,连接MA,MB,ME,BE,

•.AD=DC+BCr-.AD=DC+CE=DE,

-.MD±AE,

--.MA=ME,zMAE=zMEA,

X/zMAE=zMBC,/.zMEC=zMBC,

又.CE二BC/zCEB=/CBE,

.•"MEA+NCEB=/MBC+NCBE,

即/MEB二NMBER.ME;MB,

又「ME=