高中数学计算能力专项练 第18练数列存在性

第18练数列存在性模块二二级阶段（高中计算专项练）1．已知数列的通项公式为，是否存在n值，使得的前n项和？2．数列的通项公式，若，是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由3．数列的通项公式，设，是否存在正整数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．4．已知等差数列，求的值，使得．5．已知数列满足，若，求满足条件的最大整数．6．已知等差数列，试求所有的正整数m，使得为数列中的项．7．已知数列，前项和为，问：是否存在正整数m，k，使成立？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．8．已知数列的前n项和为，且，，成等比数列．令，是否存在正整数k，使得是与的等比中项？若存在，求出所有满足条件的和k，若不存在，请说明理由．9．已知数列，，数列的前n项和为，问：是否存在正整数m，n，r，使得成立？如果存在，请求出m，n，r的关系式；如果不存在，请说明理由10．已知数列的前项和为，.且.对任意正整数，都有，且存在常数，使得为定值.设数列满足，证明：.参考答案：1．存在【分析】根据题意易得为等差数列，再根据等差数列的前n项和公式列出关于n的一元二次方程，进而求解即可．【详解】依题意可得是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，令，得，即，即，解得或（舍去），所以存在，使得的前n项和．2．不存在，理由见解析【分析】由题意可得，代入整理可得，分析运算即可.【详解】不存在，理由如下：由题意可得：，∵，∴，则，解得，不符合题意，∴不存在正整数，使得.3．存在，【分析】根据题意求得的通项公式，易得为等差数列，再根据等差数列的前n项和公式分析即可得到答案．【详解】依题意可得，则是以1为首项，2为公差的等差数列，由，得，整理得，解得或（舍去），故存在，使得．4．，【分析】由等差数列前项和公式可求出的方程，由进行分类讨论，求出符合条件的的值.【详解】，，即，因为，当时，，解得：，不符合题意；当时，，解得：，；当时，，解得：，，不符合题意；当时，，解得：，，不符合题意；所以，.5．2021【分析】根据等比数列求和公式可得，结合的取值范围分析运算即可.【详解】∵，所以，因为，即，∵，则，故，则，因为为正整数，所以的最大值为.6．【分析】由题意可得数列是等差数列，结合等差数列定义分析可得，首先要保证，则，结合题意逐个检验即可得结果.【详解】∵，，故数列是以首项为，公差为2的等差数列，易知，则，若为数列中的项，则，由，且，可知，故，此时，又∵，，当时，，不合题意；当时，，解得，符合题意，综上所述，.7．，，【分析】裂项相消法求出，代入等式化简可得，由分类讨论的取值，求出的值.【详解】因为，，，若，则，即，则有，，，所以，或，或，解得：，，，所以存在正整数，使得.8．存在；或【分析】根据等比中项可得，结合与的关系分析可得，令，可证数列是等差数列，结合等差数列通项公式可得，再代入中求解即可.【详解】存在，理由如下：若，，成等比数列，则，且对，，且，所以，所以，所以，故对，，当时，，解得，当时，，两式相减，得，由，可得，令，则，故数列是以首项，公差为4的等差数列，则，即，若是与的等比中项，则，则，化简得．令，则，解得或，即或，因为，所以无解，故，则或.9．存在，【分析】根据等比数列的求和公式可得，代入，整理可得，分析可得，结合二项式定理分析整除问题.【详解】存在，理由如下：由题意可得：，故数列是以首项，公比为2的等比数列，则，若存在正整数m，n，r，使得成立，则，整理得，注意到，则，可得，则，注意到，则，即，∵，故，由，可得，且，即为偶数，故为奇数，综上所述：.10．证明见解析【分析】作差判断数列的单调性，可找到值，错位相减法求出，代入等式求出等式为定值时的值，代入所求结合不等式可证明结果.【详解】，当时，，则，当时，，则，即.所以对任意正整数，都有，即.要使为定值，