2026-2027学年浙江省名校协作体高二上学期开学考数学试题含答案

1一、单项选择题:本题共8小题,2.已知不共线向量a,b满足向量4a+λb与λa+b方向相同,则实数λ=()3.已知复数z=x+yi(i为虚数单位,x,y∈R,则“xy=0”是“z2为实数”的()4.将边长为2的正△ABC绕直线AB旋转一圈,则所得几何体的的内切球的表面积等于()5.由斜二测画法得到的一个水平放置的ΔABO的直观图ΔA′B′O′是如等腰三角形,其中A′B′=B′O′=2,底角为30°,则在水平放置图中,ΔABO的边AO上的高为()6.已知关于x的方程9x+3x+1+log3有实根,则实数m的取值范围为()范围为()3合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错9.已知A,B为同一试验中的两个事件,则下列说法正确的是()10.如图,△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC上一点,且AD⊥AC,∠ACB=∠BAD,则下列说法正确的是()11.已知定义在R上的函数f(x)满足(x−y)f(x+y)≤f(x)−f(y)(x+y)对任意实数x,y恒成立,且f(1)=3,f(2)=8,则下列结论正确的是()A.f(3)=15C.f(x)至少有两个零点B.f(x)为奇函数D.f(n)+f(n+2)<3f(n+1)对任意正整数n恒成立13.已知平面α经过正方体ABCD−A1B1C1Dα∩平面ABB1A1=n,则直线m与n所成角的余弦值为.若存在直线y=x+b(b∈R)与f(x)的图象有无穷多个交点,则m=.4(1)若向量a+λb与a−2b垂直,求实数λ的值;(2)求向量a−b与b的夹角θ的余弦值.m⋅n=a2.(2)若△ABC的面积为33,外接圆面积为4π,求△ABC的周长.17.某地交通部门为了解市民对新能源汽车的续航频率/组距▲满意度满意度,随机抽取了100名新能源车主进行问卷调0.15查,统计了他们实际驾驶中的百公里电耗（单位:a度）,并将这100个数据作为样本到如图所示的频率分布直方图．0--101214161820百公里电耗/度(3)已知在百公里电耗为[10,12)和[12,14)的车主中,分别有6名和14名女性.现从这两个区间的车主中各随机抽取1人参加该地交通部门组织的“低碳出行”市民座谈会,求抽取的2人中恰好有1名女性的概率.518.如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,AB(1)若AD⊥PB,求证:AD//平面PBC;(2)若平面PAD⊥平面PCD,(i)求四棱锥P−ABCD体积的最大值;(ii)若二面角A−PC−B的正弦值是二面角A−PC−D的正弦值的两倍,求AD.PADABC(1)判断f(x)的零点个数;若x1,x2∈,且x1+x2<,求证:f(3)若x1,x2,x3∈0,,且f(x1)+f(x2)+f(x3)=ln(x1x2x3)−1,求sinx1+x2+x33112345678DACBADBA9321232aacosθ==........................................... 2计算得s2==7.2.........................................................故所求概率为P(A)===.......................................................3得AE⊥平面PCD.又CD⊂平面PCD知,AE⊥CD(7分)再由PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD知,PA⊥CD.又PA∩AE=A,PA,AE⊂平面PAD知,CD⊥平面PAD.故由AD⊂平面PAD,得CD⊥AD(9分)于是,S△ACD的最大值为1,VP−ABCD的最大值为..............................(11分)(ii)由AB⊥BC,PA⊥BC,PA,AB⊂平面PAB,得BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC知,平面PBC⊥平面PAB,且平面PBC∩平面PAB=PB.如图,过点A作AF⊥PB,垂足为F,再过F作FH⊥PC,垂足为H,连接PEEHFADAH,EH.BC则AF⊥平面PBC,且∠AHF,∠AHE分别为二面角A−PC−B,A−PC−D的于是,由sin∠AHF==2sin∠AHE=,再由PA=2,AB=v2,得AF= 以及f()<0,f(e)>0知,存在唯一x0∈,e),使得f(x0)=0.当x∈(e,+∞)时,f(x)>1−sin2x≥0(2分)综上所述,f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点(4分)y另解:由f(x)的零点个数即函数y=lnx与y=syy=lnx1y=sin2xOx..................................................................................知f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点(4分)4(2)由基本不等式vx1x2≤,两边取对数得lnx=sin()lsin()−sin()................=2sin2()cos(x1+x2)≥0.............................................................由0<x1+x2知,2cos(x1+x2)−cos2x1−c..................................................................................................................................................再由sin2x=知,sin2x1+sin2x2−2sin2()=cos(x1+x2)[1−................................................................