2026线性代数期末测试真题及答案

2026线性代数期末测试真题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为3阶方阵，|A|A.4B.8C.1D.2答案：A解析：|22.设A,B均为A.(B.(C.|D.|答案：D解析：转置应满足(AB)T=BT3.向量组α1=(1,A.1B.2C.3D.0答案：C解析：由α1,α2,α34.设λ=2是矩阵A的特征值，则A.−B.1C.3D.7答案：A解析：若λ是A的特征值，则f(λ)是f5.二次型f(A.0B.1C.2D.3答案：D解析：该二次型已经是标准形，三个平方项系数均为正，故正惯性指数为3。二、填空题（每题3分，共15分）1.行列式12答案：−解析：122.设A=12答案：1解析：|A|=3，3.向量组α1=(答案：1解析：α2=2α14.齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是系数矩阵A的秩r答案：r5.矩阵A=答案：2和−三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式$$D=\begin{vmatrix}

1&1&1&1\\

1&2&3&4\\

1&4&9&16\\

1&8&27&64

\end{vmatrix}.$$答案：12解析：该行列式为范德蒙德行列式，对应变量x1$$D=\prod_{1\lei<j\le4}(x_j-x_i)

=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\times2\times3\times1\times2\times1=12.$$2.已知矩阵$$A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

2&4&6\\

3&6&9

\end{pmatrix},$$求A的秩及列向量组的最大无关组。答案：r(A)解析：矩阵A的第2行是第1行的2倍，第3行是第1行的3倍，所有2阶子式均为0，但存在非零的1阶子式，所以r(3.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+2x_3=1,\\

2x_1+3x_2+5x_3=3,\\

x_1+2x_2+3x_3=2

\end{cases}$$的通解。答案：$$\begin{pmatrix}

x_1\\x_2\\x_3

\end{pmatrix}

=t\begin{pmatrix}

-1\\-1\\1

\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}

0\\1\\0

\end{pmatrix}

,\quadt\in\mathbbR.$$解析：对增广矩阵作初等行变换：$$\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&2&1\\

2&3&5&3\\

1&2&3&2

\end{array}\right)

\to

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&2&1\\

0&1&1&1\\

0&1&1&1

\end{array}\right)

\to

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&2&1\\

0&1&1&1\\

0&0&0&0

\end{array}\right).$$令x3=t，由x2+x34.求矩阵$$A=\begin{pmatrix}

0&1\\

-2&3

\end{pmatrix}$$的特征值与特征向量。答案：特征值为λ1=1属于λ=1的全部特征向量为k(属于λ=2的全部特征向量为k(解析：特征多项式$$\det(\lambdaI-A)

=\begin{vmatrix}

\lambda&-1\\

2&\lambda-3

\end{vmatrix}

=\lambda(\lambda-3)+2

=(\lambda-1)(\lambda-2),$$故特征值为1,当λ=1时，解$$\begin{pmatrix}

1&-1\\

2&-2

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x_1\\x_2

\end{pmatrix}=0,$$得x1=x当λ=2时，解$$\begin{pmatrix}

2&-1\\

2&-1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x_1\\x_2

\end{pmatrix}=0,$$得x2=25.用正交变换化二次型f为标准形，并写出所用的正交变换。答案：二次型矩阵为$$A=\begin{pmatrix}

2&1&1\\

1&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}.$$取正交矩阵$$Q=\begin{pmatrix}

\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}&\frac{1}{\sqrt3}\\

-\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}&\frac{1}{\sqrt3}\\

0&-\frac{2}{\sqrt6}&\frac{1}{\sqrt3}

\end{pmatrix},$$令x=f解析：A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=4$$q_1=\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2},0\right)^T,\quad

q_2=\left(\frac{1}{\sqrt6},\frac{1}{\sqrt6},-\frac{2}{\sqrt6}\right)^T.$$令Q=(q1,四、证明题（每题10分，共20分）1.设向量组α1$$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\quad

\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\quad

\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$$也线性无关。答案：证明如下。设k即(因为α1$$\begin{cases}

k_1+k_3=0,\\

k_1+k_2=0,\\

k_2+k_3=0.

\end{cases}$$解得k1=k2.设A为n阶实对称矩阵，λ1与λ2是A的两个不同特征值，ξ1,ξ2分别是属于答案：证明如下。由Aξ1=λ1$$\lambda_1\langle\xi_1,\xi_2\rangle

=\langle\lambda_1\xi_1,\xi_2\rangle

=\langleA\xi_1,\x