2026年湖南省人教版高一数学第6章数列练习题

2026年湖南省人教版高一数学第6章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列的前6项之和等于（）A.36B.64C.100D.128解析：由递推关系可知c_2=2c_1+c_0=3，c_3=2c_2+c_1=7，c_4=2c_3+c_2=17，c_5=2c_4+c_3=41，c_6=2c_5+c_4=99，前6项和为1+3+7+17+41+99=128。选项D正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。选项C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3的值等于（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=2×3=6。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=5+log_2(3)+log_2(4)+log_2(5)=10。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7=2(a_3+a_7)/2=18，故a_5+a_9=18。选项B正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前3项之和等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故log_3(h_1)=1，log_3(h_2)=log_3(6)=2，log_3(h_3)=log_3(18)=3，前3项和为6。选项D正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_5的值等于（）A.5B.8C.10D.12解析：由递推关系i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+1/2=2.5，i_4=i_3+1/3≈2.833，i_5=i_4+1/4≈3.083。选项A正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的前6项之和S_6等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_6=64可得q^5=64，故q=2，S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_4的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，故b_4=15。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+2n，则d_5的值等于______。解：由递推关系d_2=d_1+2=4，d_3=d_2+4=8，d_4=d_3+6=14，d_5=d_4+8=22。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=6。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_4的值等于______。解：由递推关系f_2=f_1+log_2(2)=4，f_3=f_2+log_2(3)=4+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=4+log_2(3)+2=6+log_2(3)。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于______。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7=2(a_3+a_7)/2=18，故a_5+a_9=18。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前3项之和等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}，故log_3(h_1)=1，log_3(h_2)=log_3(6)=2，log_3(h_3)=log_3(18)=3，前3项和为6。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_6的值等于______。解：由递推关系i_2=i_1+1=3，i_3=i_2+1/2=3.5，i_4=i_3+1/3≈3.833，i_5=i_4+1/4≈4.083，i_6=i_5+1/5≈4.283。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_6=64，则该数列的前6项之和S_6等于______。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_6=64可得q^5=32，故q=2，S_6=2×(1-2^6)/(1-2)=126。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列一定是等差数列。（×）解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，b_n与n成正比，故该数列是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q一定是3。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_2=b_1q=6，b_4=b_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列一定是等比数列。（×）解：由递推关系可知c_2=3，c_3=7，c_4=17，c_5=41，相邻项比值不为常数，故该数列不是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3+a_4=12。（√）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，故a_3=6，又a_3+a_4=2a_3=12。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_n=2n。（×）解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_n与n成正比。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则该数列的前n项和S_n是指数函数形式。（×）解：由递推关系可知f_n=2+log_2(2)+log_2(3)+...+log_2(n)=2+log_2(n!)，故S_n是阶乘函数形式。7.在等比数列{g_n}中，若g_3=8，g_5=32，则该数列的公比q一定是2。（√）解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_3=g_1q^2=8，g_5=g_1q^4=32，两式相除得q^2=4，故q=±2。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}是等差数列。（√）解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}，故log_3(h_n)=n-1，是等差数列。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则该数列的前n项和S_n是多项式形式。（√）解：由递推关系可知i_n=1+1/2+1/3+...+1/n，故S_n是调和级数形式。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的前6项之和S_6等于63。（×）解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_6=64可得q^5=64，故q=2，S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请写出等差数列{a_n}的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，并解释其中a_1和d分别表示什么。解：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1表示数列的首项，d表示数列的公差，即相邻两项的差。2.请写出等比数列{b_n}的通项公式b_n=b_1q^{n-1}，并解释其中b_1和q分别表示什么。解：等比数列的通项公式为b_n=b_1q^{n-1}，其中b_1表示数列的首项，q表示数列的公比，即相邻两项的比值。3.请解释数列前n项和S_n与通项a_n之间的关系，并给出公式表示。解：数列前n项和S_n与通项a_n之间的关系为a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），其中S_n表示数列前n项的和，S_{n-1}表示数列前n-1项的和。4.请解释数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2）的性质，并举例说明。解：数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2）的性质是斐波那契数列，即每一项等于前两项之和。例如：1,1,2,3,5,8,...。5.请解释数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+2n的性质，并给出前5项。解：数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+2n的性质是每一项比前一项多2n，即d_2=d_1+2，d_3=d_2+4，d_4=d_3+6，d_5=d_4+8，前5项为2,4,8,14,22。6.请解释数列{e_n}满足e_n=2n的性质，并给出前5项。解：数列{e_n}满足e_n=2n的性质是每一项等于2乘以项数，即e_1=2，e_2=4，e_3=6，e_4=8，e_5=10，前5项为2,4,6,8,10。7.请解释数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)的性质，并给出前5项。解：数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)的性质是每一项比前一项多log_2(n+1)，即f_2=f_1+log_2(2)，f_3=f_2+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)，f_5=f_4+log_2(5)，前5项为3,4+log_2(2),8+log_2(3)+log_2(2),14+log_2(4)+log_2(3)+log_2(2),22+log_2(5)+log_2(4)+log_2(3)+log_2(2)。8.请解释数列{g_n}满足g_{n+1}=2g_n的性质，并给出前5项。解：数列{g_n}满足g_{n+1}=2g_n的性质是每一项等于前一项的2倍，即g_2=2g_1，g_3=2g_2，g_4=2g_3，g_5=2g_4，前5项为1,2,4,8,16。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1，S_10=10×(a_1+a_{10})/2=10×(2+29)/2=155。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_6=729，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=3，b_6=729可得729=3q^5，解得q=3，S_5=3×(1-3^5)/(1-3)=364。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的第4项c_4。解：由数列前n项和与通项关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时c_1=S_1=2，当n≥2时c_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故c_4=8。4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=20，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故2a_5=20，a_5=10，又a_5=a_1+4d=10，故d=5/4。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第3项e_3。解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=1，当n≥2时e_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^{n-1}，故e_3=4。6.若数列{f_n}满足f_1=5，f_{n+1}=f_n+3n，求该数列的前6项和S_6。解：由递推关系f_2=f_1+3=8，f_3=f_2+6=14，f_4=f_3+9=23，f_5=f_4+12=35，f_6=f_5+15=50，S_6=5+8+14+23+35+50=135。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=6，g_4=g_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，求该数列的第5项h_5。解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故h_5=48。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.A4.A5.B6.A7.B8.D9.A10.A二、填空题1.32.153.±34.225.66.6+log_2(3)+27.188.69.4.28310.126三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×四、简答题1.等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1表示数列的首项，d表示数列的公差，即相邻两项的差。2.等比数列的通项公式为b_n=b_1q^{n-1}，其中b_1表示数列的首项，q表示数列的公比，即相邻两项的比值。3.数列前n项和S_n与通项a_n之间的关系为a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），其中S_n表示数列前n项的和，S_{n-1}表示数列前n-1项的和。4.数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2）的性质是斐波那契数列，即每一项等于前两项之和。例如：1,1,2,3,5,8,...。5.数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+2n的性质是每一项比前一项多2n，即d_2=d_1+2，d_3=d_2+4，d_4=d_3+6，d_5=d_4+8，前5项为2,4,8,14,22。6.数列{e_n}满足e_n=2n的性质是每一项等于2乘以项数，即e_1=2，e_2=4，e_3=6，e_4=8，e_5=10，前5项为2,4,6,8,10。7.数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)的性质是每一项比前一项多log_2(n+1)，即f_2=f_1+log_2(2)，f_3=f_2+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)，f_5=f_4+log_2(5)，前5项为3,4+log_2(2),8+log_2(3)+log_2(2),14+log_2(4)+log_2(3)+log_2(2),