人教版数学八年级下册 21.3.2菱形（第2课时） 教案

21.3.2菱形（第2课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在学习菱形概念及性质的基础上，通过类比平行四边形和矩形的判定定理的探究过程，探索和证明菱形的两个判定定理。2.

内容分析菱形的判定是在学习菱形性质、平行四边形和矩形判定的基础上展开的，是特殊平行四边形判定体系的重要组成部分，承接“性质到判定”的几何研究逻辑，也为后续研究正方形的判定奠定基础。本节课以类比平行四边形、矩形的判定探究思路为核心，从菱形性质的逆命题出发，探索并证明菱形的判定定理，体现“性质与判定互逆”的几何研究规律，整个过程贯穿类比、推理的数学思想，能让学生进一步掌握几何图形判定的一般方法。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：菱形判定的探索、证明和应用。二、目标和目标解析1.

目标（1）经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路，发展推理能力。（2）掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算，发展应用意识。2.

目标解析（1）学生能主动类比平行四边形和矩形的判定探究过程，从菱形性质的逆命题出发提出判定猜想，通过逻辑推理完成猜想证明，理解几何图形“性质→逆命题→判定定理”的研究思路，渗透类比思想，发展合情推理与演绎推理能力。（2）学生能熟练掌握菱形的三种判定方法，能准确书写各判定定理的符号语言，能根据不同已知条件选择恰当的判定方法进行推理、证明和计算，提升几何知识的综合应用意识。三、教学问题诊断分析学生可能出现的问题：1.无法准确区分菱形判定的适用条件，易混淆“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”和“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”，忽略判定定理的前提条件。2.解题时不能根据已知条件合理选择判定方法，如已知四边形四边关系时误用对角线相关判定，增加解题复杂度。应对策略：1.采用表格梳理菱形三种判定方法的条件、符号语言和适用场景，对比“对角线互相垂直的平行四边形”与“对角线互相垂直且平分的四边形”的差异，通过即时提问强化条件记忆。2.设计分层例题和练习，针对“已知平行四边形+邻边相等/对角线垂直”“已知四边形四边相等”等不同条件，引导学生分析条件特征，选择对应判定方法，总结解题思路。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能选择适当的判定定理进行推理和计算。四、教学过程设计（一）复习引入问题1满足什么条件的四边形是菱形？有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.（定义既是性质，又是判定.）问题2还有其他判定菱形的方法吗？你能说说菱形的性质定理的逆命题吗？四条边相等的四边形是菱形.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.→对角线互相垂直的平行四边形是菱形.设计意图：通过复习菱形的定义，唤醒学生已有知识；引导学生思考菱形性质的逆命题，建立性质与判定的思维关联；同时类比平行四边形、矩形的判定研究思路，让学生明确本节课的探究方向，激发探究兴趣。（二）合作探究猜想1四条边相等的四边形是菱形.已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.菱形的判定定理1四条边相等的四边形是菱形.符号语言∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形.猜想2对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：在▱ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC平分BD，又∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.追问你还有其他证明方法吗？证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠AOD=90°，又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOD，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形.符号语言∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.设计意图：从菱形性质的逆命题出发提出猜想，符合几何判定的研究逻辑；通过严格的几何证明推导判定定理，培养学生的演绎推理能力；追问多种证明方法，鼓励学生发散思维；规范书写判定定理的符号语言，培养学生的几何表达能力；让学生经历完整的探究过程，掌握几何判定定理的研究方法。（三）典例分析例4如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CF.∴∠1=∠2.又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF.∴EO=FO.∴四边形AFCE是平行四边形.又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.追问你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗?证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CF，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，AF=CF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.由“等角的余角相等”得：∠AEO=AFO，∴AE=AF，∴AE=CE=AF=CF，∴四边形AFCE是菱形.设计意图：以平行四边形为背景的典例，综合考查平行四边形的性质和菱形的判定，让学生掌握“先证平行四边形，再利用对角线垂直判定菱形”的核心思路；追问用“四条边相等的四边形是菱形”证明，让学生体会不同判定方法的应用，培养一题多解的能力。巩固练习1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵对角线AC，BD互相垂直，∴四边形ABCD是菱形.2.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？解：四边形ABCD是菱形，理由如下：∵纸条的对边平行，∴四边形ABCD是平行四边形.作AB边上的高h1，作AD边上的高h2，∵两张纸条等宽，∴h1=h2.∵S▱ABCD=AB·h1=AD·h2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.3.一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角，和点A相对的顶点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由.作法：1.作∠BAC的平分线，交BC于点D；2.作AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F；3.将△ABC沿直线EF折叠即可得到菱形AEDF.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AD，∴∠3=∠4=90°，AE=DE，AF=DF.又∵AO=AO，∴△AOE≌△AOF.∴AE=AF，∴AE=DE=AF=DF，∴四边形AEDF是菱形.追问你还有其他证明方法吗？证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AF//DE.同理可证：AE//DF.∴四边形AEDF是平行四边形.又∵AE=DE，∴四边形AEDF是菱形.设计意图：三道练习题层层递进，基础证明题巩固对角线相关判定的应用，实际情境题让学生感受菱形判定的实际应用，动手操作题融合角平分线、垂直平分线知识与菱形判定，培养学生的动手能力和知识综合运用能力；追问其他证明方法，进一步拓展学生的思维，同时通过练习及时反馈学生的学习效果，便于教师针对性点拨突破难点。归纳总结

（六）感受中考1．（2024年四川攀枝花）如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形A．① B．② C．③ D．④2．（2025年湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（

C

A．6 B．9 C．12 D．183．（2024年湖北武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（A．64° B．66° C．68° D．70°4．（2022年湖南郴州）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，求证：四边形DEBF是菱形．解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=又∵AE=∴OA−AE=∴四边形DEBF是平行四边形．又∵BD⊥AC，即∴四边形DEBF是菱形．5．（2025年西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，且(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)已知AB=3，AE=2，求线段（1）证明：∵点E是BC的中点，∴BC=2∵BC=2AD，∴∵AD∥BC，∴四边形∵AD∥BC，∴∵AC平分∠DAE，∴∠∴∠ACE=∠EAC∴平行四边形AECD为菱形；（2）解：∵AE=2根据（1）可得CE=BE=∴∠ACE=∠EAC∵∠ACE∴∠BAC∵AB=3∴AC=设计意图：选取近年中考真题，涵盖判定方法辨析、基础计算、综合证明、几何计算等题型