人教版数学八年级下册 22.1函数的概念（第2课时） 教案

22.1函数的概念（第2课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在上一节课学习变量与常量的基础上，进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念。2.

内容分析函数是初中代数的核心内容，是刻画变量之间对应关系的重要数学模型，本节课是在学生掌握常量与变量概念的基础上，从具体实例出发探究两个变量的对应关系，进而抽象出函数的定义，是从“认识变量”到“研究变量间关系”的关键跨越。本节课的学习内容承接了上一节课的常量与变量知识，又为后续学习函数的表示方法、一次函数和反比例函数的性质奠定基础，同时让学生初步形成“单值对应”的函数核心思想，实现从具体到抽象、从感性到理性的认知提升。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：从典型实例中抽象概括出函数的概念。二、目标和目标解析1.

目标（1）从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念，发展抽象能力。（2）能举出函数的实例，进一步体会运动变化过程中的数量变化。2.

目标解析（1）学生能通过分析行驶路程与时间、票房收入与售出票数等具体实例的变量对应关系，归纳出“一个变量取定一个值，另一个变量有唯一确定的值与之对应”的共性特征，进而抽象出函数、自变量的定义，理解函数概念的核心是单值对应关系，能准确表述函数的定义，发展数学抽象能力和归纳概括能力。（2）学生能结合关系式、图象、表格三种形式的实例，判断两个变量之间是否为函数关系，能准确指出自变量和函数，能根据自变量的值求对应的函数值；能结合生活实际举出函数的实例，描述其中的变量对应关系，进一步体会函数在刻画现实世界运动变化中的作用，增强数学建模意识。三、教学问题诊断分析存在问题：1.

学生对函数概念中“单值对应”的核心内涵理解困难，容易忽略“对于自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应”的要求，对一对多的非函数关系识别不清。2.

部分学生混淆“自变量”和“函数”的概念，无法根据实际问题准确判断哪个变量是自变量，对两个变量的依存关系理解不到位。应对策略：设计对比性问题，呈现“单值对应”和“一对多”的两种变量关系实例，让学生通过对比分析，明确函数的单值对应特征，突破教学难点。2.结合实际问题引导学生分析变量间的依存关系，明确“主动变化的量为自变量，随自变量变化而变化的量为函数”，通过简单实例反复强化，帮助学生厘清概念。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解函数概念中的单值对应关系。四、教学过程设计（一）复习引入在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经常会引进一些量，通过研究不同量之间的关系，来认识事物变化的规律.常量：在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.设计意图：通过回顾常量与变量的定义，唤醒学生上一节课的知识储备，为本节课研究变量之间的对应关系做好铺垫；同时以“研究变量间的关系认识变化规律”为切入点，自然引出本节课的研究主题——函数，让学生明确本节课的学习是上一节课知识的延伸和深化，形成知识的连贯性。（二）合作探究思考第90页“思考”的问题（1）～（4）中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系?(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多少?s的值随t的值的变化而变化吗?关系式：s=60t.(2)电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗?关系式：y=40x.(3)你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?关系式：S=πr2.(4)长方体的体积为1000cm3，当长方体的底面积S分别为50cm2，100cm2，125cm2时，高h分别为多少?h的值随S的值的变化而变化吗?关系式：h=1000S归纳上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.思考（1）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h.这两个变量之间有什么关系？关系：当变量t取定一个值时，变量h就有唯一确定的值与其对应.思考（2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y.这两个变量之间有什么关系？存款期限与年利率关系：当变量x取定一个值时，变量y就有唯一确定的值与其对应.归纳函数及其相关概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.设计意图：先选取上一节课的四个经典实例，通过表格梳理变量的对应值并写出关系式，让学生在熟悉的情境中感知变量间的依存关系；再补充图象、表格形式的实例，丰富变量对应关系的呈现方式。通过层层递进的思考，引导学生归纳出所有实例的共性——单值对应，进而抽象出函数的概念，突出教学重点，同时让学生体会函数的三种常见表现形式。（三）典例分析问题（1）：函数关系式：s=60t，其中t是自变量，s是t的函数；当t=1时，函数值s=60，当t=2时，函数值s=120.思考（1）：结合图象可得：t是自变量，h是t的函数；当t=18时，函数值h=158.思考（2）：结合表格可得：x是自变量，y是x的函数；当x=12时，函数值y=1.45%.设计意图：结合探究环节的实例进行典例分析，紧扣函数概念的定义，分别对关系式、图象、表格三种形式的函数进行解读，明确自变量、函数的判断方法和函数值的求解方式。（四）巩固练习1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化；（2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化；（3）某天不同时刻的气温如图所示.气温T随时间t的变化而变化；（4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化.解：（1）是函数关系，正方形的边长x是自变量，面积S是x的函数.（2）是函数关系，时间t是自变量，游客离地面的高度h是t的函数.（3）是函数关系，时间t是自变量，气温T是t的函数.（4）是函数关系，月份x是自变量，降水量y是x的函数，2.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数.例如：一个人的体重随着年龄的变化而变化，年龄是自变量，体重是年龄的函数.（答案不唯一）3.下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？答：蚂蚁离地高度h不是离起点的水平距离t的函数.设计意图：设计分层、多形式的练习，既有基础的函数关系判断，又有开放性的举例题，还有易混淆的非函数关系辨析题，兼顾不同层次学生的学习需求。通过练习，让学生熟练掌握函数关系的判断标准，突破“单值对应”这一教学难点，同时强化对函数三种表现形式的认知，能准确指出自变量和函数。归纳总结

（六）感受中考

1．（2025年贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（

B

）A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化2．（2025年江苏盐城）博物馆到小明家的路程为8km，小明回家所需时间th随平均速度vkmh的变化而变化，则t与v的函数表达式是（

A．t=8v B．t=18v3．（2024年海南）设直角三角形中一个锐角为x度（0<x<90），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（

DA．y=180+x B．y=180−x C．4．（2024年甘肃白银）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（B）A．y=3x B．y=4x C．5．（2022年湖南郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻RΩ三者之间的关系：IR100200220400I2.21.110.55那么，当电阻R=55Ω时，电流I=4设计意图：选取近年中考真题，涵盖