人教版数学八年级下册 专题21.6 菱形的性质 同步练习 含答案

专题21.6菱形的性质教学目标熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练地应用性质。教学重难点重点菱形的性质。2.难点（1）利用菱形的性质求线段的长度与角的度数；（2）菱形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标；（3）注意区分菱形的性质与矩形的性质。知识点01菱形的定义与性质菱形的概念：有一组邻边的平行四边形是菱形。菱形的性质：（1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。特殊性：（2）边的特殊性：四条边都。即：ABBCCDAD（3）对角线的特殊性：对角线相互且每一组对角。即：ACBD，且∠DAC∠BAC∠DCA∠BCA，∠ADB∠CDB∠ABD∠CBD。面积计算：等于对角线乘积的一半。即。对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。【即学即练1】1．下列性质中菱形一定具有的是（）A．对角线相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．四个角相等【即学即练2】2．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分【即学即练3】3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点．若AC＝6，BD＝8，则OE的长是（）A．3 B．4 C．2.4 D．2.5【即学即练4】4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则∠BFC的度数为（）A．90° B．80° C．70° D．60°【即学即练5】5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为(22，3)，则A．（0，﹣1） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）【即学即练6】6．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝6，求BE的值．题型01利用菱形的性质求线段【典例1】如图，在周长为20的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝6，则BD的长为（）A．4 B．3 C．8 D．14【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，BD＝4，则该菱形的周长是（）A．43 B．8 C．45 D．16【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH＝（）A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是DE上一点且满足BF⊥CF，则EFEDA．33 B．12 C．77题型02利用菱形的性质求角度【典例1】如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF∥BC交CD边于点F，如果∠ABC＝50°，那么∠DEF的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°【变式1】如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE、CE，DE＝AD，若∠A＝72°，则∠DEC的度数（）A．54° B．72° C．50° D．48°【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数为．【变式3】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF．若∠BAD＝α，则∠CDF为（）A．α B．32α C．180°−3题型03利用菱形的性质求坐标【典例1】如图，已知点A的坐标为(−23，2)，点B的坐标为(−1，−3)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则A．(23，2)，(1，3)C．(−23，−2)，(−1，3【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，点D在y轴上，则点A的坐标为（）A．(−4，22) B．(22，22)【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，连接AC，交x轴于点D，若OB＝8，AD＝3，则点C的坐标为（）A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（5，3），线段AB平移后得到线段A′B′，点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上，则点B′的坐标为（）A．（5，0） B．（8，0） C．（9，0） D．(5+1．菱形不具有的性质是（）A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相垂直 D．有一个角是直角3．菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（）A．12cm B．41cm C．441cm D．244．在菱形ABCD中如图，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（）A．75° B．70° C．40° D．30°5．如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、D在坐标轴上，A（2，0），AB＝3，则菱形ABCD的面积等于（）A．25 B．45 C．86．如图，在菱形ABCD中，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，若∠BDE＝35°，则∠ADC的度数为（）A．95° B．100° C．110° D．120°7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，OE=33，则菱形ABCDA．93 B．183 C．368．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．12 B．32 C．1 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（）A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=3OA；③∠MPN＝60°；④PM+PN=1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC=83，则对角线BD的长12．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是（4，2），则点B的坐标是．13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，OH＝5，则S菱形ABCD＝．14．如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为．15．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，过点P作PH⊥AB于点H，且DP＝BH，连接CP，若∠ABC＝120°，BC＝3，则CP的长为．16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长AC、CA至点F、E，连接DE、DF，DE＝DF．求证：AE＝CF．17．如图，已知点A的坐标为(−23，2)，点B的坐标为(−1，−3)，菱形（1）求C，D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积．18．如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接AF、CD．（1）试判断四边形ACDF的形状，并说明理由；（2）已知BC＝2，若四边形ACDF是菱形，求AD的长．19．图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知AB＝36cm．（1）当∠ADC＝60°时，求千斤顶高AC的长度；（2）当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？20．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）若AB＝6，BC＝10，若四边形ADCF是菱形，求DG的值．

专题21.6菱形的性质教学目标熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练地应用性质。教学重难点重点菱形的性质。2.难点（1）利用菱形的性质求线段的长度与角的度数；（2）菱形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标；（3）注意区分菱形的性质与矩形的性质。知识点01菱形的定义与性质菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形的性质：（1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。特殊性：（2）边的特殊性：四条边都相等。即：AB=BC=CD=AD（3）对角线的特殊性：对角线相互垂直且平分每一组对角。即：AC⊥BD，且∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD。面积计算：等于对角线乘积的一半。即。对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。【即学即练1】1．下列性质中菱形一定具有的是（）A．对角线相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．四个角相等【答案】C【解答】解：∵菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，∴菱形具有而矩形不一定具有的是两条对角线互相垂直．故选：C．【即学即练2】2．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分【答案】C【解答】解：A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意；B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意；C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意；D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意；故选：C．【即学即练3】3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点．若AC＝6，BD＝8，则OE的长是（）A．3 B．4 C．2.4 D．2.5【答案】D【解答】解：由菱形的性质可得，OA=12AC＝3，OB=12∴AB=O∵O是AC的中点，E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12故选：D．【即学即练4】4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则∠BFC的度数为（）A．90° B．80° C．70° D．60°【答案】B【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，∴∠BAF=12∠BAD=40°，AF∴∠BAF＝∠FBA＝40°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠BFA＝100°，∴∠BFC＝180°﹣∠AFB＝80°，故选：B．【即学即练5】5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为(22，3)，则A．（0，﹣1） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AD⊥OD，∵A(22∴OD=22，AD∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC=C∴C（0，﹣1），故选：C．【即学即练6】6．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝6，求BE的值．【答案】（1）见解析；（2）33【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠A＝∠CBF，∵BE⊥AD、CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，在△AEB和△BFC中，∠AEB=∠BFC∠A=∠CBF∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE＝BF；（2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线，∴AB＝BD＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，∴△ABD是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，∴AE=1∴BE=A题型01利用菱形的性质求线段【典例1】如图，在周长为20的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝6，则BD的长为（）A．4 B．3 C．8 D．14【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的周长为20，∴AC⊥BD，AD＝DC＝CB＝BA＝5，∵AC＝6，∴AO＝3，∴DO=A∴BD＝8．故选：C．【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，BD＝4，则该菱形的周长是（）A．43 B．8 C．45 D．16【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC＝2，BD＝4，∴OA=12AC＝1，OB=12BD＝2，∴△OAB是直角三角形，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB=O∴该菱形的周长为：4AB=45故选：C．【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH＝（）A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，∴OA＝OC=12AC＝8，OB＝OD，AC⊥∴∠AOB＝90°，∴OB=A∴BD＝2OB＝12，∵DH⊥AB，∴∠DHB＝90°，∴OH=12故选：D．【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是DE上一点且满足BF⊥CF，则EFEDA．33 B．12 C．77【答案】C【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图所示：∴∠H＝90°，∴△DCH和△DEH都是直角三角形，∵E是BC的中点，∴设BE＝CE＝a，∴BC＝BE+CE＝2a，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC＝2a，AB∥CD，∵∠ABC＝60°，∴∠DCH＝∠ABC＝60°，在Rt△DCH中，∠CDH＝90°﹣∠DCH＝30°，∴CH=12CD＝由勾股定理得：DH=C在Rt△DEH中，EH＝CE+CH＝2a，由勾股定理得：DE=D∵BF⊥CF，∴∠BFC＝90°，∴△BFC是直角三角形，∵E是BC的中点，∴EF是Rt△BFC的斜边BC上的中线，∴EF=12BC＝∴EFED故选：C．题型02利用菱形的性质求角度【典例1】如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF∥BC交CD边于点F，如果∠ABC＝50°，那么∠DEF的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DBC=12∠∵∠ABC＝50°，∴∠DBC=1∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠DBC＝25°．故选：A．【变式1】如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE、CE，DE＝AD，若∠A＝72°，则∠DEC的度数（）A．54° B．72° C．50° D．48°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，CD∥AB，∵DE＝AD，∠A＝72°，∴DE＝CD，∠A＝∠DEA＝72°，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠DEA＝72°，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE=1故选：A．【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数为70°．【答案】70°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD判定平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝70°．故答案为：70°．【变式3】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF．若∠BAD＝α，则∠CDF为（）A．α B．32α C．180°−3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCF＝∠BCF，CD＝CB，∠BAF=12∠BAD=12在△BCF和△DCF中，CB=CD∠BCF=∠DCF∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF＝∠CDF，∵FE垂直平分AB，∠BAF=1∴∠ABF=∠BAF=1∵∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣α，∴∠CBF=∠ABC−∠ABE=180°−α−1∴∠CDF=180°−3故选：C．题型03利用菱形的性质求坐标【典例1】如图，已知点A的坐标为(−23，2)，点B的坐标为(−1，−3)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则A．(23，2)，(1，3)C．(−23，−2)，(−1，3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，又∵点O为坐标原点，∴点B和点D关于原点对称，点A和点C关于原点对称，∵点B的坐标为(−1，−3)，点A的坐标为∴D点坐标为(1，3)．C点坐标为故选：B．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，点D在y轴上，则点A的坐标为（）A．(−4，22) B．(22，22)【答案】A【解答】解：∵菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，∴AB∥CD，AB＝CD＝AD＝4（菱形的性质），∴∠DCO＝∠ABC＝45°（两直线平行，同位角相等），又∵∠DOC＝90°，∴OD=22DC=2∴A(−4，22故选：A．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，连接AC，交x轴于点D，若OB＝8，AD＝3，则点C的坐标为（）A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）【答案】C【解答】解：∵菱形OABC的顶点B在x轴上，AC交x轴于点D，OB＝8，AD＝3，∴OD=12OB=4，DC∴点C的坐标为（4，﹣3），故选：C．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（5，3），线段AB平移后得到线段A′B′，点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上，则点B′的坐标为（）A．（5，0） B．（8，0） C．（9，0） D．(5+【答案】C【解答】解：根据题意，画出图形如下：∵A（0，3），B（5，3），∴AB∥x轴，OA＝3，AB＝5，由平移的性质得：A′B′∥AB，A′B′＝AB＝5，∵四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上，∴点B′也在x轴正半轴上，AA′＝AB＝5，在Rt△AOA′中，由勾股定理得：OA′=AA∴OB′＝OA′+A′B′＝4+5＝9，∴点B′的坐标为（9，0），故选：C．1．菱形不具有的性质是（）A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等【答案】D【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，∴选项D符合题意，故选：D．2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相垂直 D．有一个角是直角【答案】C【解答】解：根据菱形的性质、平行四边形的性质分别判定：A、菱形、平行四边形的两组对边都相等，不符合题意；B、菱形、平行四边形的两组对边都平行，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，一般平行四边形对角线不互相垂直，符合题意；D、菱形、平行四边形不一定都有一个角是直角，不符合题意；故选：C．3．菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（）A．12cm B．41cm C．441cm D．24【答案】C【解答】解：如图，∵菱形的两条对角线长分别为10cm，8cm，∴AO＝4cm，BO＝5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理，AB=AO所以，周长=41×4＝441（故选：C．4．在菱形ABCD中如图，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（）A．75° B．70° C．40° D．30°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠CBD=1∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，在△ABE中，∴∠BAE=∠BEA=1故选：B．5．如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、D在坐标轴上，A（2，0），AB＝3，则菱形ABCD的面积等于（）A．25 B．45 C．8【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO=12BD，AO=CO=∵A（2，0），∴AO＝2，AC＝4，∵AB＝3，∴BO=A∴BD=2BO=25∴菱形ABCD的面积为：12故选：B．6．如图，在菱形ABCD中，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，若∠BDE＝35°，则∠ADC的度数为（）A．95° B．100° C．110° D．120°【答案】C【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∵∠BDE＝35°，∴∠ABD＝90°﹣∠BDE＝90°﹣35°＝55°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC，∠ABD=∠CBD=1∴∠ABC＝2∠ABD＝2×55°＝110°，∴∠ADC＝∠ABC＝110°．故选：C．7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，OE=33，则菱形ABCDA．93 B．183 C．36【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝3，OE=33∴BD＝2OB＝6，AO＝CO，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴AC=2OE=63∴菱形ABCD的面积=1故选：B．8．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．12 B．32 C．1 【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA=12∠∴A'D＝1，A'C=3DA'=∴菱形ABCD的面积＝4×12×A'D×A'C如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C=12∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的14∴阴影部分的面积=2故选：B．9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（）A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒【答案】A【解答】解：由题意CD＝4t，AE＝2t，∵DF⊥BC于F，∴∠DFC＝90°在Rt△DFC中，∵∠C＝30°，∴DF=12CD＝2∴DF＝AE，∵∠CFD＝∠B＝90°，∴DF∥AE，∴四边形DFEA是平行四边形，∴当DF＝AD时，四边形DFEA是菱形．∴120﹣4t＝2t，∴t＝20s，∴t＝20s时，四边形DFEA是菱形．故选：A．10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=3OA；③∠MPN＝60°；④PM+PN=1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，故①正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OB=3OA，故②∵PM⊥AB，PN⊥AD，∴∠AMP＝∠ANP＝90°，∵AD∥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，∴∠MPN＝60°，故③正确；如图，延长NP交BC于点G，∵AD∥BC，PN⊥AD，∴PG⊥BC，∵PM⊥AB，BP平分∠ABC，∴PM＝PG，∴PM+PN＝PG+PN＝NG，∵∠PBG＝∠PDN＝30°，∴PB＝2PG，PD＝2PN，∴PM+PN＝PG+PN=12PB+12PD=12（PB∴PM+PN=12BD，故综上所述：正确的有4个．故选：D．11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC=83，则对角线BD的长8【答案】8．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线AC=83，∠BAD∴OA=12AC=43，OD＝OB，AC⊥BD，∠OAB=∴△OAB是直角三角形，在Rt△OAB中，tan∠OAB=OB∴OB＝OA•tan∠OAB=43∴OD＝OB＝4，∴BD＝OD+OB＝8．故答案为：8．12．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是（4，2），则点B的坐标是（4，﹣2）．【答案】（4，﹣2）．【解答】解：如图，四边形OACB是菱形，连接AB，交OC于点D，∴AB⊥OC，AD＝BD，∵点A的坐标是（4，2），∴OD＝4，AD＝2，∴BD＝AD＝2，∵点B在第四象限，∴点B（4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）．13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，OH＝5，则S菱形ABCD＝120．【答案】120．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴点O为BD的中点，AC＝2OA＝24，∵DH⊥AB，∴BD＝2OH＝10，∴S菱形ABCD故答案为：120．14．如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为655【答案】65【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC=12×6＝3，OB＝∴∠AOB＝90°，∴AB=OA2∵12AB•OH=12OA•OD＝S∴12×35OH解得OH=6∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥6∴EF的最小值为65故答案为：6515．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，过点P作PH⊥AB于点H，且DP＝BH，连接CP，若∠ABC＝120°，BC＝3，则CP的长为7．【答案】7．【解答】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝3，则∠ABD=1∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝3，设BH＝x，则DP＝BH＝x，∵过点P作PH⊥AB于点H，∴∠PHB＝90°，在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，∠PHB＝90°，∴BP＝2BH＝2x，由BD＝BP+DP，得3＝2x+x，解得x＝1，故BP＝2，DP＝1，过P作PM⊥DC于点M，∵CD∥AB，∴∠CDP＝∠DBA＝60°，在Rt△PMD中，∠DPM＝30°，∠PMD＝90°，∴DM=1在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，由勾股定理可得：PM=DCM=CD−DM=3−1在Rt△PMC中，∠PMC＝90°，由勾股定理可得：∴若∠ABC＝120°，BC＝3，则PC=P故答案为：7．16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长AC、CA至点F、E，连接DE、DF，DE＝DF．求证：AE＝CF．【答案】见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝AD，∴∠ACD＝∠CAD，∴180°﹣∠CAD＝180°﹣∠ACD，即∠EAD＝∠FCD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F，在△AED和△CFD中，DF=DE∠F=∠E∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝CF．17．如图，已知点A的坐标为(−23，2)，点B的坐标为(−1，−3)，菱形（1）求C，D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积．【答案】（1）C(23，−2)，（2）16．【解答】