人教版数学八年级下册 专题21.9 正方形的判定 同步练习 含答案

专题21.9正方形的判定教学目标掌握正方形的判定方法，能够熟练地选择合适的判定方法判定正方形。掌握中点四边形的定义，能够熟练地根据四边形的性质判断中点四边形的形状。教学重难点重点正方形的判定；四边形的中点四边形。2.难点（1）对正方形的判定方法的灵活应用，结合正方形的性质综合应用；（2）判断特殊四边形的中点四边形的形状。知识点01正方形的判定正方形的判定：判定方法文字语言数学语言图形直接判定四条边都且四个角也的四边形是正方形∵ABBCCDAD∠ABC∠BCD∠CDA∠DAB∴四边形ABCD是正方形矩形加特殊性邻边的矩形是正方形∵在矩形ABCD中，ABAD∴四边形ABCD是正方形对角线的矩形是正方形∵在矩形ABCD中，ACBD∴四边形ABCD是正方形菱形加特殊性有一个角是的菱形是正方形∵在菱形ABCD中，∠ABC＝∴四边形ABCD是正方形对角线的菱形是正方形∵在菱形ABCD中，ACBD∴四边形ABCD是正方形【即学即练1】1．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（）A．AB＝BC＝CD＝DA B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA【即学即练2】2．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形（填一个即可）．【即学即练3】3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（）A．OA＝BD B．AB⊥BD C．AD＝BD D．AC＝BD【即学即练4】4．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE∥AB，DF⊥AB，求证：四边形BEDF是正方形．【即学即练5】5．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．求证：矩形ABCD是正方形．【即学即练6】6．如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接AE、CE、AF、CF，得四边形AECF．求证：四边形AECF是正方形．【即学即练7】7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）若AB=13，OB＝3，求AE知识点03中点四边形中点四边形的定义：连接四边形各边的得到的四边形叫做中点四边形。中点四边形的形状：①任意四边形的中点四边形是。②对角线相等的四边形的中点四边形是。③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是。【即学即练1】8．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（）A．AD∥BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝AB【即学即练2】9．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（）①矩形；②对角线相等的四边形；③菱形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．②④ D．③④题型01熟悉正方形的判定条件【典例1】能判定一个四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．对角线相等且平分【变式1】四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝CO，AB＝BC【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型02添加正方形的判定条件【典例1】如图，在▱ABCD中，AC＝BD，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝AC D．∠ABD＝∠CBD【变式1】数学活动课上，小彤用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．小彤想要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（）A．∠ABC＝90° B．AB＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠D【变式2】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（）A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D题型03正方形的判定证明【典例1】如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，BE＝DE，求证：四边形EBFD是正方形．【变式1】如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形DECF是正方形．【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．题型04正方形的判定与性质【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝90°，点E在CD边上，点F是AD边的中点，且AB∥CF，FE⊥CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连接BF．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）若BF＝4，求BG的长．【变式1】【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F．【猜想证明】（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．【变式2】综合与实践问题情境：如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．猜想证明：（1）求证：四边形DEFG是正方形．解决问题：（2）求∠DCG的度数．（3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．题型05中点四边形【典例1】顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形【变式1】顺次连接某个四边形各边中点得到一个矩形，则原四边形是（）A．正方形 B．菱形 C．直角梯形 D．对角线互相垂直的四边形【变式2】如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准确的是（）A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．对角线相等的四边形1．下列条件不能判定▱ABCD是正方形的是（）A．∠ABC＝90°且AB＝AD B．AC⊥BD且AB＝AD C．AC⊥BD且AC＝BD D．AB＝BC且AC＝BD2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC3．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC4．顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形5．如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 B．若AO＝CO，则▱ABCD是菱形 C．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 D．若∠ABC＝90°，则▱ABCD是正方形6．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（）A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等7．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫作三角形的内心，如图，在Rt△ABC中，点P是△ABC内心，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12．PD⊥BC于点D，则AP的长是（）A．17 B．13 C．4 D．28．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则四边形ABDF的面积是（）A．a2+b24 B．a2+b22 C．（a+9．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方形依次划分下去，则第n次划分后，图中共有（）个正方形A．4n+3 B．4n﹣1 C．4n+1 D．4n﹣310．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG=2AD；③CG平分∠DCF；④CEA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④11．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是．12．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是．13．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是．14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为cm．15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝17，CD＝7，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）求四边形ABCD的面积．17．在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求CD的长．18．D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的关系？若四边形DGFE是矩形，则OA与BC应满足怎样的关系？（直接写出答案，不需要说明理由）19．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）∠EAF＝°（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的长．20．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝32，求正方形DEFG的边长．

专题21.9正方形的判定教学目标掌握正方形的判定方法，能够熟练地选择合适的判定方法判定正方形。掌握中点四边形的定义，能够熟练地根据四边形的性质判断中点四边形的形状。教学重难点重点正方形的判定；四边形的中点四边形。2.难点（1）对正方形的判定方法的灵活应用，结合正方形的性质综合应用；（2）判断特殊四边形的中点四边形的形状。知识点01正方形的判定正方形的判定：判定方法文字语言数学语言图形直接判定四条边都相等且四个角也相等的四边形是正方形∵AB=BC=CD=AD∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB∴四边形ABCD是正方形矩形加特殊性邻边相等的矩形是正方形∵在矩形ABCD中，AB=AD∴四边形ABCD是正方形对角线垂直的矩形是正方形∵在矩形ABCD中，AC⊥BD∴四边形ABCD是正方形菱形加特殊性有一个角是直角的菱形是正方形∵在菱形ABCD中，∠ABC＝90°∴四边形ABCD是正方形对角线相等的菱形是正方形∵在菱形ABCD中，AC＝BD∴四边形ABCD是正方形【即学即练1】1．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（）A．AB＝BC＝CD＝DA B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA【答案】B【解答】解：A、由AB＝BC＝CD＝DA只能判定四边形ABCD为菱形，故A不符合题意；B、AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC＝BD判定为正方形，故B符合题意；C、由AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD不能判定为正方形，故C不符合题意；D、根据AB＝BC，CD⊥DA不能判定为正方形，故D不符合题意；故选：B．【即学即练2】2．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加一个条件AB＝BC（答案不唯一），使矩形ABCD成为正方形（填一个即可）．【答案】AB＝BC（答案不唯一）．【解答】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，可添加：AB＝BC；根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，可添加：AC⊥BD；故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．【即学即练3】3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（）A．OA＝BD B．AB⊥BD C．AD＝BD D．AC＝BD【答案】D【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件AC＝BD．故选：D．【即学即练4】4．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE∥AB，DF⊥AB，求证：四边形BEDF是正方形．【答案】见解析．【解答】证明：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠DBF＝∠DBE＝45°，ED＝DF，又∵DE∥AB，DF⊥AB，∴∠DEB＝∠EBF＝90°，∠BDE＝∠DBE＝45°，∠DFB＝90°，∴∠FDB＝∠FBD＝45°，BE＝ED，∴DF＝FB，∴BE＝ED＝DF＝FB，且∠DFB＝∠DEB＝∠EBF＝∠FDE＝90°，∴四边形BEDF是正方形．【即学即练5】5．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．求证：矩形ABCD是正方形．【答案】见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，∠ABE=∠DAE∠BAF=∠ADE=90°∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【即学即练6】6．如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接AE、CE、AF、CF，得四边形AECF．求证：四边形AECF是正方形．【答案】见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥BD，AO＝CO，∵BE＝DF，∴BE+OB＝DF+DO，∴FO＝EO，∴EF与AC互相垂直平分，∴四边形AECF是菱形，∴∠AEF＝∠CEF，又∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形．【即学即练7】7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）若AB=13，OB＝3，求AE【答案】（1）见解析；（2）AE=22【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形，又∵AC＝EF，∴四边形AECF是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形．由勾股定理得：AO=A又∵四边形AECF是正方形，AC＝EF，且AC、EF互相平分，∴OE＝OA＝2，在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE=OA2知识点03中点四边形中点四边形的定义：连接四边形各边的中点得到的四边形叫做中点四边形。中点四边形的形状：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。②对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。【即学即练1】8．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（）A．AD∥BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝AB【答案】B【解答】解：添加AC＝BD．如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线，∴EH＝FG=12BD，EF＝HG=∴当AC＝BD时，EH＝FG＝FG＝EF成立，则四边形EFGH是菱形．故选：B．【即学即练2】9．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（）①矩形；②对角线相等的四边形；③菱形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】D【解答】解：如图1，连接AC、BD，∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，GH=12∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，故①不符合题意；∵矩形的对角线相等，∴顺次连接对角线相等的四边形的中点，所得图形为菱形，故②不符合题意；如图2，E，F，G，H分别是四边形AB，BC，CD，DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴四边形EFGH是矩形，故④符合题意；∵菱形的对角线互相垂直，∴顺次连接菱形的各边中点，所得图形为矩形，故③符合题意；故选：D．题型01熟悉正方形的判定条件【典例1】能判定一个四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．对角线相等且平分【答案】C【解答】解：A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但菱形对角线不一定相等，无法确定是正方形，所以此选项错误，不符合题意；B．对角线互相垂直且相等的四边形，未强调“平分”，无法保证四边相等或四角为直角，不一定是正方形，所以此选项错误，不符合题意；C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此选项正确，符合题意；D．对角线相等且平分的四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，所以此选项错误，不符合题意；故选：C．【变式1】四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝CO，AB＝BC【答案】C【解答】解：A．∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形故A不符合题意；B．∵AD∥BC，∴四边形ABCD可能为平行四边形．∵∠A＝∠C，∴四边形ABCD为平行四边形性质，故B不符合题意；C．∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AC＝BD且O为对角线中点．∴四边形ABCD为矩形，∵AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形，故C符合题意；D．∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB＝BC，∴四边形ABCD为菱形，故D不符合题意；故选：C．【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，当AB＝DC时，无法证明平行四边形ABCD是菱形，故①结论错误；当AC⊥BD时，即平行四边形ABCD是菱形，故②结论正确；当∠ABC＝90°时，即平行四边形ABCD是矩形，故③结论正确；当AC＝BD时，即平行四边形ABCD是矩形，故④结论错误；故选：C．题型02添加正方形的判定条件【典例1】如图，在▱ABCD中，AC＝BD，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝AC D．∠ABD＝∠CBD【答案】C【解答】解：在▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．A、添加AB＝BC，矩形ABCD是正方形，故不符合题意；B、添加AC⊥BD，矩形ABCD是正方形，故不符合题意；C、添加AB＝AC，无法确定矩形ABCD就是正方形，故符合题意；D、添加∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠BAC＝45°，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故不符合题意．故选：C．【变式1】数学活动课上，小彤用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．小彤想要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（）A．∠ABC＝90° B．AB＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠D【答案】A【解答】解：菱形ABCD中，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是正方形．故选：A．【变式2】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（）A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D【答案】D【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意；D、有一个角是直角的菱形是正方形，∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意；故选：D．题型03正方形的判定证明【典例1】如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，BE＝DE，求证：四边形EBFD是正方形．【答案】见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，∵DF⊥BC，BE⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，BE∥FD，在△AEB和△CFD中，∠AEB=∠CFD∠A=∠C∴△AEB≌△CFD（AAS），∴BE＝FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠CFD＝90°，∴平行四边形EBFD是矩形，∵BE＝DE，∴四边形EBFD是正方形．【变式1】如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形DECF是正方形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示：∵DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，∴∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，DE⊥BC，DF⊥AC，DH⊥AB，∴DE＝DH，DH＝DF，∴DE＝DF，∴矩形DECF是正方形．【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵AC⊥BD，∴BC＝CD，∵BC＝CE，∴BC＝CE＝CD，∴BE＝2CD；（2）∵AC⊥BC，如图，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝CE，∴AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝2OA＝2CO，∵CE＝2CO，∴AC＝CE，∠ACE＝90°，∴四边形ACED是正方形．题型04正方形的判定与性质【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝90°，点E在CD边上，点F是AD边的中点，且AB∥CF，FE⊥CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连接BF．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）若BF＝4，求BG的长．【答案】（1）见解析；（2）42．【解答】（1）证明：∵AB∥CF，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）解：∵四边形ABC分式正方形，∴BC＝AF，∠FBC＝45°，∵点F是AD的中点，∴AF＝DF＝BC，∵BC∥DF，∴四边形BCDF是平行四边形，∴BF∥CD，∵EF⊥CD，∴BF⊥EF，∴△BFC是等腰直角三角形，∴BG=2BF＝42【变式1】【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F．【猜想证明】（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．【答案】见解析．【解答】解：（1）四边形BE′FE是正方形，理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE′B＝∠EBE′＝90°，BE＝BE′．又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE′FE是矩形．又∵BE＝BE′，∴四边形BE′FE是正方形．（2）CF＝E'F；理由如下：如图，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∵∠ADH+∠DAH＝90°，AH=1∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AD＝AB，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB．又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH=BE=1∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE′，∵四边形BE′FE是正方形，∴BE＝E′F，∴E′F=1∴CF＝E'F．【变式2】综合与实践问题情境：如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．猜想证明：（1）求证：四边形DEFG是正方形．解决问题：（2）求∠DCG的度数．（3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．【答案】（1）见解析；（2）∠DCG＝45°（3）2或32．【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FMEEN=EM∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）解：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DAE＝∠DCG＝45°，（3）解：①当F在BC上时，∵正方形EMCN，正方形ABCD，∴BC＝DC，MC＝NC，∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN，∵△DEN≌△FEM，∴FM＝DN，∴BM=FM=BC−FC∴MC＝MF+FC＝1+2＝3，∴EC=2MC=32∵△ADE≌△CDG，∴AE=CG=AC−EC=42②当F在BC延长线上时，如图：同理可得，△EFM≌△EDN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG，∴BM＝FM=12（BC+∴CM＝1，∴CE=2∴AE＝42−2=∴CG＝32；综上所述，AE=2或32题型05中点四边形【典例1】顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形【答案】D【解答】解：连接BD，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．在△ABD中，E、H是AB、AD中点，所以EH∥BD，EH=12在△BCD中，G、F是DC、BC中点，所以GF∥BD，GF=12所以EH＝GF，EH∥DF，所以四边形EFGH为平行四边形．故选：D．【变式1】顺次连接某个四边形各边中点得到一个矩形，则原四边形是（）A．正方形 B．菱形 C．直角梯形 D．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解答】解：∵E，F，G，H为各边的中点，∴EH∥FG，EF∥HG，∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．所以对角线互相垂直的四边形的中点的连线是矩形．故选：D．【变式2】如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准确的是（）A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．对角线相等的四边形【答案】D【解答】解：矩形，等腰梯形均能得到菱形但不够全面，菱形无法得到菱形，即只要对角线相等不管是什么形状均可，故选D．1．下列条件不能判定▱ABCD是正方形的是（）A．∠ABC＝90°且AB＝AD B．AC⊥BD且AB＝AD C．AC⊥BD且AC＝BD D．AB＝BC且AC＝BD【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD为正方形；故A不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD；不能判断平行四边形ABCD是正方形，故B符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD为菱形，∵AC＝BD∴平行四边形ABCD为正方形；故C不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD为正方形；故D不符合题意；故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【答案】B【解答】解：A、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；B、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；C、正确．∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OB，OC＝OA，∵AC⊥BD∴AD＝AB，∴矩形ABCD为正方形，故不符合题意；D、正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，OB＝OD，∴AC⊥BD，AD＝AB∴矩形ABCD是正方形，故不符合题意．故选：B．3．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=A、AB＝AD时，不能判定菱形ABCD是正方形，故选项A符合题意；B、∵OA＝OB，∴AC＝BD∴菱形ABCD是正方形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形，故选项C不符合题意；D、∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴菱形ABCD是正方形，故选项D不符合题意；故选：A．4．顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形【答案】D【解答】解：顺次连接下列各图形的中点，构成的四边形的两组对边分别平行于原图形的对角线，且每组边等于相对的对角线的一半，可判定为平行四边形，当原图形的对角线互相垂直时，又可判定为菱形，而等腰梯形的对角线相等，所以可判定为正方形，故选D．5．如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 B．若AO＝CO，则▱ABCD是菱形 C．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 D．若∠ABC＝90°，则▱ABCD是正方形【答案】A【解答】解：A、∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，原说法正确，符合题意；B、若AO＝CO，得不到▱ABCD是菱形，原说法错误，不符合题意；C、若AC⊥BD，得不到▱ABCD是正方形，原说法错误，不符合题意；D、若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，原说法错误，不符合题意．故选：A．6．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（）A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等【答案】A【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，∴此选项填写错误，故A符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴此选项填写正确，故B不符合题意；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，∴此选项填写正确，故C不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，∴此选项填写正确，故D不符合题意．故选：A．7．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫作三角形的内心，如图，在Rt△ABC中，点P是△ABC内心，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12．PD⊥BC于点D，则AP的长是（）A．17 B．13 C．4 D．2【答案】B【解答】解：如图，过P作PE⊥AB于E，过P作PF⊥AC于F，∵P为三个内角平分线的交点，PD⊥BC，∴PD＝PE＝PF，∵∠ABC＝∠PDB＝∠PEB＝90°，∴四边形PEBD为正方形，∴PE＝BE＝BD＝PD，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，由勾股定理得：AC=5∵12∴5×12＝（5+12+13）×PE，解得：PE＝2，∴PE＝BE＝BD＝PD＝2，∴AE＝3，在直角三角形AEP中，由勾股定理得：AP=2故选：B．8．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则四边形ABDF的面积是（）A．a2+b24 B．a2+b22 C．（a+【答案】B【解答】解：根据题意，AB＝BD＝DE＝AF，AH＝CD＝EF＝FG，AG＝BH＝BC＝DE，∵CE＝a，HG＝b，∴设CD＝m，DE＝n，∴m+n=an−m=b∴m=a−b在Rt△BCD中，CD=a−b2，BC∴BD2＝BC2+CD2=(a+b∴四边形ABDF的面积是a2故选：B．9．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方形依次划分下去，则第n次划分后，图中共有（）个正方形A．4n+3 B．4n﹣1 C．4n+1 D．4n﹣3【答案】C【解答】解：第1次划分后，分别连接正方形ABCD对边的中点，图中有1+4＝5个正方形，第2次划分后，将图2左上角正方形AEMH再划分，图中有1+4×2＝9个正方形，第3次划分后，图中有1+4×3＝13个正方形，…，第n次划分后，图中共有（1+4n）个正方形，故选：C．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG=2AD；③CG平分∠DCF；④CEA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【解答】解：已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC如图，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FME=90°EN=EM∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，故①正确；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠DCF＝90°，∴CG平分∠DCF，故③正确；∴AC=AE+CE=CE+CG=2AD，故当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误．故选：A．11．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．【答案】AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．12．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是∠BAD＝90°（添加邻边相等亦可）．【答案】∠BAD＝90°（添加邻边相等亦可）．【解答】解：因为有一个角是直角的菱形是正方形，所以添加的条件可以为∠BAD＝90°．故答案为：∠BAD＝90°（添加邻边相等亦可）．13．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是24cm2．【答案】24cm2【解答】解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB＝6cm，AD＝8cm，∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点，∴HF＝6cm，EG＝8cm，AC＝BD，EH＝FG=12BD，EF＝HG=∴四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH=12×FH×EG=1故答案为24cm2．14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为22acm【答案】22a【解答】解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝a，∴AB＝BC=22在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC=22故答案为：22a15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是①②③④【答案】①②③④．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，在△COE和△DOF中，∠OCE=∠ODFOC=OD∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，故②正确；③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14，故③④在Rt△EOF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得OE2+OF2＝EF2，∵OE＝OF，∴2OE2＝EF2，∴DF2+CF2＝CE2+CF2＝EF2＝2OE2，∵BE＝CF，∴DF2+BE2＝2OE2．故④正确；综上所述，正确的是①②③④，故答案为：①②③④．16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝17，CD＝7，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）144．【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABE+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABE＝∠ADF，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠F＝90°，在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠F∠ABE=∠ADF∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∴∠BAE+∠DAE＝∠DAF+∠DAE，即∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠AEC＝∠F＝∠EAF＝90°，∴四边形AECF是矩形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是正方形；（2）解：设DF＝x，则AE＝CF＝7+x，由（1）知△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x，S△ABE＝S△ADF，∴S四边形ABCD＝S正方形AECF，∵BC＝17，∴EC＝BC﹣BE＝17﹣x．由（1）知四边形AECF是正方形，∴AE＝EC，∴7+x＝17﹣x，解得x＝5，∴CE＝17﹣5＝12，∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝CE2＝144，∴四边形ABCD的面积为144．17．在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠