2026 年人教版高二数学期中基础测试卷

2026年人教版高二数学期中基础测试卷班级：____姓名：____得分：____一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.32B.33C.34D.35答案：____2.直线$2x-y+1=0$的斜率为（）A.2B.-2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$答案：____3.空间直角坐标系中，点$P(2,-3,1)$关于x轴对称的点的坐标为（）A.$(-2,3,-1)$B.$(2,3,-1)$C.$(-2,-3,1)$D.$(2,-3,-1)$答案：____4.圆$x^2+y^2=9$的圆心和半径分别为（）A.圆心$(0,0)$，半径9B.圆心$(0,0)$，半径3C.圆心$(1,0)$，半径9D.圆心$(1,0)$，半径3答案：____5.已知直线$l_1:y=kx+1$与直线$l_2:y=x-1$平行，则k的值为（）A.-1B.0C.1D.2答案：____6.在棱长为1的正方体中，向量$\vec{AB}$与$\vec{AD}$的夹角为（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$答案：____7.已知点$A(1,2)$在直线$ax+3y-5=0$上，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2答案：____8.某小区将一个圆形花坛改造为圆上的弦状景观，已知花坛半径为5m，弦AB长为6m，则圆心到弦AB的距离为（）A.3mB.4mC.5mD.6m答案：____二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）1.下列命题正确的是（）A.若直线的斜率为0，则直线平行于x轴B.所有直线都有倾斜角C.若两条直线斜率相等，则它们平行D.若直线的倾斜角为$90^\circ$，则直线垂直于x轴答案：____2.关于空间向量，下列说法正确的是（）A.零向量与任意向量共线B.若$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则$\vec{a}\perp\vec{b}$C.单位向量的模长为1D.空间任意两个向量都共面答案：____3.圆$x^2+y^2-2x+4y=0$的性质正确的是（）A.圆心为$(1,-2)$B.半径为$\sqrt{5}$C.过原点D.与x轴相切答案：____4.已知异面直线a和b所成的角为$50^\circ$，过空间一点P作直线l，使l与a、b都成$65^\circ$角，则这样的直线l有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：____三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）1.过点$(0,1)$且与直线$x+2y-1=0$垂直的直线方程为______答案：____2.空间两点$A(1,1,1)$和$B(3,3,3)$之间的距离为______答案：____3.已知圆$C:x^2+y^2=4$，直线$l:y=x+m$，若直线l与圆C相交，则m的取值范围是______答案：____四、解答题（本大题共3小题，共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.（本题8分）已知圆C的圆心为$(2,-1)$，半径为2，求：（1）圆C的标准方程；（4分）（2）判断直线$l:x-y-2=0$与圆C的位置关系，并说明理由。（4分）解答：2.（本题8分）已知空间三点$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，求：（1）向量$\vec{AB}$与$\vec{BC}$的坐标；（4分）（2）求向量$\vec{AB}$与$\vec{BC}$的夹角的余弦值。（4分）解答：3.（本题9分）已知直线$y=kx+1$与椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=1$，（1）当k为何值时，直线与椭圆相切？（4分）（2）若直线与椭圆交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。（5分）解答：附加题（本大题共2小题，共10分。请任选一题作答，若两题都做，按第一题计分）附加题1（本题5分）：在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，E是棱$DD_1$的中点，求异面直线AE与$BC_1$所成角的余弦值。解答：附加题2（本题5分）：已知圆$x^2+y^2-6x-8y=0$，求过原点的弦的中点的轨迹方程。解答：【参考答案+详细解析】一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.A解析：向量点积为对应坐标乘积之和，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=1×4+2×5+3×6=4+10+18=32$。2.A解析：将直线方程化为斜截式$y=2x+1$，斜率为2。3.B解析：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变号，故为$(2,3,-1)$。4.B解析：圆的标准方程为$x^2+y^2=r^2$，圆心为$(0,0)$，半径$r=3$。5.C解析：平行直线斜率相等，$l_2$斜率为1，故$k=1$。6.D解析：正方体相邻棱互相垂直，向量$\vec{AB}$与$\vec{AD}$垂直，夹角为$90^\circ$。7.A解析：将$A(1,2)$代入直线方程，得$a×1+3×2-5=0$，解得$a=-1$。8.B解析：圆心到弦的距离公式$d=\sqrt{r^2-(\frac{弦长}{2})^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。二、多项选择题（每小题5分，共20分）1.ABD解析：斜率相等的直线可能重合，故C错误，ABD均正确。2.ACD解析：若$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，可能是其中一个为零向量，不一定垂直，故B错误，ACD均正确。3.ABC解析：圆方程化为标准式$(x-1)^2+(y+2)^2=5$，圆心$(1,-2)$，半径$\sqrt{5}$，代入原点$(0,0)$满足方程，故过原点；令$y=0$得$x=0$或2，与x轴相交，非相切，故D错误，ABC正确。4.B解析：异面直线成角$50^\circ$，过点P作与两直线成$65^\circ$的直线，有2条（分别在角的内部和外部各1条）。三、填空题（每小题5分，共15分）1.$2x-y+1=0$解析：原直线斜率为$-\frac{1}{2}$，垂直直线斜率为2，过$(0,1)$，由斜截式得$y=2x+1$，整理为$2x-y+1=0$。2.$2\sqrt{3}$解析：空间两点距离公式$d=\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。3.$(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$解析：直线与圆相交，圆心到直线距离小于半径，$d=\frac{|m|}{\sqrt{2}}<2$，解得$|m|<2\sqrt{2}$，故m的范围为$(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$。四、解答题（共25分）1.（1）圆C的标准方程为$(x-2)^2+(y+1)^2=4$（4分）；（2）直线与圆相交（2分）。理由：圆心$(2,-1)$到直线$l$的距离$d=\frac{|2-(-1)-2|}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}<2$，故直线与圆相交（2分）。2.（1）$\vec{AB}=(1,0,0)$，$\vec{BC}=(-1,1,0)$（4分）；（2）$\cos\theta=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{BC}}{|\vec{AB}||\vec{BC}|}=\frac{1×(-1)+0×1+0×0}{1×\sqrt{(-1)^2+1^2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$（4分）。3.（1）联立直线与椭圆方程，代入得$\frac{x^2}{4}+(kx+1)^2=1$，整理为$(\frac{1}{4}+k^2)x^2+2kx=0$，相切时判别式$\Delta=(2k)^2-0=4k^2=0$，解得$k=0$（4分）；（2）设A、B中点为$M(x,y)$，由点差法：$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$，$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$，两式相减得$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0$，斜率$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{x}{-4y}$，又$y=kx+1$，代入化简得轨迹方程$x^2+y^2-3x-4y=0$（5分）。附加题1：建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，各点坐标：$A(0,0,0)$，$E(0,2,1)$，$B(2,0,0)$，$C_1(2,2,2)$，则$\vec{AE}=(0,2,1)$，$\vec{BC_1}=(0,2,2)$。异面直线所成角余弦值为$|\cos\theta|=\frac{|\vec{AE}\cdot\vec{BC_1}|}{|\vec{AE}||\vec{BC_1}|}=\frac{|0×0+2×2+1×2|}{\sqrt{0^2+2^2+1^2}×\sqrt{0^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{5