2027届湖南省长沙市芙蓉区第十六中学九上数学期末预测试题含解析

2027届湖南省长沙市芙蓉区第十六中学九上数学期末预测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图所示，线段与交于点，下列条件中能判定的是（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）A．： B．2：3 C．4：9 D．16：814．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（）A．的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到5．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b的值是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．20206．按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形

②△ABC与△DEF是相似图形③△ABC与△DEF的周长比为1：2

④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．1 B．2 C．3 D．47．已知正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y＝ax2+k在坐系中的大致图象是（）A． B．C． D．8．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（）A． B． C．2 D．9．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55° B．70° C．125° D．145°10．关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是1，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．311．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x212．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针旋转90°，点的对应点恰好落在直线上，则的值为（）A．2 B．1 C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知函数是反比例函数，则的值为__________．14．在一个不透明的盒子中装有6个白球，x个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为，则x=_______．15．已知正六边形的边长为10，那么它的外接圆的半径为_____．16．如图，在中，，点D、E分别在边、上，且，如果，，那么________．17．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为________．18．如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，为固定一棵珍贵的古树，在树干处向地面引钢管，与地面夹角为，向高的建筑物引钢管，与水平面夹角为，建筑物离古树的距离为，求钢管的长．(结果保留整数，参考数据：)20．（8分）在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角形为“智慧三角形”．（1）如图1，已知、是⊙上两点，请在圆上画出满足条件的点，使为“智慧三角形”，并说明理由；（2）如图2，是等边三角形，，以点为圆心，的半径为1画圆，为边上的一动点，过点作的一条切线，切点为，求的最小值；（3）如图3，在平面直角坐标系中，⊙的半径为1，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点的坐标．21．（8分）某公司2017年产值2500万元，2019年产值3025万元（1）求2017年至2019年该公司产值的年平均增长率；（2）由（1）所得结果，预计2020年该公司产值将达多少万元？22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．23．（10分）如图，要建一个底面积为130平方米的鸡场，鸡场一边靠墙(墙长16米)，并在与墙平行的一边开道1米宽的门，现有能围成32米长的木板．求鸡场的长和宽各是多少米？24．（10分）已知抛物线y＝ax2+2x﹣（a≠0）与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B．（1）①请直接写出点A的坐标；②当抛物线的对称轴为直线x＝﹣4时，请直接写出a＝；（2）若点B为（3，0），当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣，求m的值；（3）已知点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），若抛物线与线段CD有两个不同的交点，求a的取值范围．25．（12分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是．（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．26．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=6x1x2﹣15，求k的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】根据平行线分线段成比例的推论：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，逐项判断即可得答案.【详解】A.∵∴不能判定，故本选项不符合题意；B.无法判断，则不能判定，故本选项不符合题意；C.∵，，，∴∴故本选项符合题意；D.∵∴不能判定，故本选项不符合题意；故选C.本题考查平行线分线段成比例的推论，熟练掌握此推论判定平行是解题的关键.2、B【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正确；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正确．故选：B．本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．3、B【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果.【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，∴它们的周长比为：=.故选B.本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方.4、C【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：二次函数，，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；故选项D的说法正确，故选C．本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、D【分析】根据x=-1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，可以得到a+b的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，∴a+b﹣2019＝0，∴a+b＝2019，∴1+a+b＝1+2019＝2020，故选：D．本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．6、C【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．故选C．此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．7、B【解析】根据正比例函数y=ax与反比例函数y＝的函数图象可知：a＜0，k＞0，然后根据二次函数图象的性质即可得出答案．【详解】正比例函数y=ax与反比例函数y＝的函数图象可知：a＜0，k＞0，

则二次函数y=ax2+k的图象开口向下，且与y轴的交点在y轴的正半轴，

所以大致图象为B图象．

故选B．本题考查了二次函数及正比例函数与反比例函数的图象，属于基础题，关键是注意数形结合的思想解题．8、D【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DEB=tan∠DAB=，故选D．本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．9、C【解析】试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．∴旋转角等于125°．故选C．10、D【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可解得实数a的值；【详解】解：由题可知，一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是1，将x=1代入方程得，，解得a=3；故选D.本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键.11、D【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．【详解】y=1（x﹣1）1+3中，a=1．故选D．本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单．12、D【分析】根据已知条件可求出m的值，再根据“段绕点顺时针旋转90°”求出点B坐标，代入即可求出b的值．【详解】解：∵点在直线上，∴，∴又∵点B为点A绕原点顺时针旋转90°所得，∴点B坐标为，又∵点B在直线，代入得∴故答案为D．本题考查了一次函数与旋转的相关知识，解题的关键是能够根据已知条件得出点B的坐标．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可．【详解】解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0，整理得，n2＝1且n+1≠0，解得n＝1．故答案为：1．本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．14、1【分析】直接以概率求法得出关于x的等式进而得出答案．【详解】解：由题意得：，解得，故答案为：1．本题考查了概率的意义，正确把握概率的求解公式是解题的关键．15、1【分析】利用正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质进而计算．【详解】边长为1的正六边形可以分成六个边长为1的正三角形，∴外接圆半径是1，故答案为：1．本题考查了正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质，掌握正六边形的外接圆的半径等于其边长是解题的关键．16、【分析】根据，，得出，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，故答案为本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．17、6.【解析】分析:设扇形的半径为r，根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.详解:设扇形的半径为r，根据题意得：60πr解得：r=6故答案为6.点睛:此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答.18、1【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），∴a=1，k=1．故答案为1．三、解答题（共78分）19、钢管AB的长约为6m【分析】过点C作CF⊥AD于点F，于是得到CF=DE=6，AF=CFtan30°．在Rt△ABD中，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】过点C作CF⊥AD于点F，则CF=DE=6，AF=CFtan30°=62，∴AD=AF+DF=21.5，在Rt△ABD中，AB(21.5)46(m)．答：钢管AB的长约为6m．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．20、（1）见解析；（2）；（1）或【分析】（1）连接AO并且延长交圆于，连接AO并且延长交圆于，即可求解；

（2）根据MN为⊙的切线，应用勾股定理得，所以OM最小时，MN最小；根据垂线段最短，得到当M和BC中点重合时，OM最小为，此时根据勾股定理求解DE，DE和MN重合，即为所求；

（1）根据“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当写斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为1，根据勾股定理可求得另一条直角边，再根据三角形面积可求得斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【详解】（1）如图1，点和均为所求理由：连接、并延长，分别交于点、，连接、，∵是的直径，∴，∴是“智慧三角形”同理可得，也是“智慧三角形”（2）∵是的切线，∴，∴，∴当最小时，最小，即当时，取得最小值，如图2，作于点，过点作的一条切线，切点为，连接，∵是等边三角形，，∴，，∴，∵是的一条切线，∴，，∴，当点与重合时，与重合，此时．（1）由“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，根据题意，得一条直角边.∴当最小时，的面积最小，即最小时．如图1，由垂线段最短，可得的最小值为1．∴.过作轴，∵，∴．在中，，故符合要求的点坐标为或．本题考查了圆与勾股定理的综合应用，掌握圆的相关知识，熟练应用勾股定理，明确“智慧三角形”的定义是解题的关键．21、（1）这两年产值的平均增长率为；（2）预计2020年该公产值将达到3327.5万元.【分析】（1）先设出增长率，再根据2019年的产值列出方程，解方程即可得出答案；（2）根据（1）中求出的增长率乘以2019年的产值，再加上2019年的产值，即可得出答案.【详解】解：设增长率为，则2018年万元，2019年万元.则，解得，或（不合题意舍去）.答：这两年产值的平均增长率为.（2）（万元）.故由（1）所得结果，预计2020年该公产值将达到3327.5万元.本题考查的是一元二次方程的应用——增长率问题，解题关键是根据题意列出方程.22、（2）；（2）t=2或2；（3）（）．【分析】（2）由等边三角形OAB得出∠ABC=92°，进而得出CO=OB=AB=OA=3，AC=6，求出BC即可；（2）需要分类讨论：△PHQ∽△ABC和△QHP∽△ABC两种情况；（3）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，得出△AQN为等边三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及，表示出OE的长，利用m=BE=OB﹣OE求出即可．【详解】（2）如图l，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC=∠AOB=62，∵BC⊥AB，∴∠ABC=92°，∴∠ACB=32°，∠OBC=32°，∴∠ACB=∠OBC，∴CO=OB=AB=OA=3，∴AC=6，∴BC=AC=；（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH=AQ•sin62°=．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，，即：，解得，t=2．同理，当△QHP∽△ABC时，t=2．综上所述，t=2或t=2；（3）如图2，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，∴∠QNA=∠BOA=62°=∠QAN，∴QN=QA，∴△AQN为等边三角形，∴NQ=NA=AQ=3﹣t，∴ON=3﹣（3﹣t）=t，∴PN=t+t=2t，∴OE∥QN，∴△POE∽△PNQ，∴，∴，∴，∵EF∥x轴，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=32°，∴EF=BE，∴m=BE=OB﹣OE=（2＜t＜3）．考点：相似形综合题．23、鸡场的长和宽分别为13m，10m．【分析】设鸡场的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为（32-2x+1），而鸡场的面积为130m2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．【详解】解：设鸡场的垂直于墙的一边长为x，

依题意得（32-2x+1）x=130，

2x2-33x+130=0，

（x-10）（2x-13）=0，

∴x1=10或x2=6.5，

当x1=10时，32-2x+1=13＜16；

当x2=6.5时，32-2x+1=20＞16，不合题意舍去．

答：鸡场的长和宽分别为13m，10m．本题考查一元二次方程的应用，解题关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．24、（1）①；②；（2）；（1）a＞或a＜﹣1．【分析】（1）①令x＝0，由抛物线的解析式求出y的值，便可得A点坐标；②根据抛物线的对称轴公式列出a的方程，便可求出a的值；（2）把B点坐标代入抛物线的解析式，便可求得a的值，再结合已知条件am＜0，得m的取值范围，再根据二次函数的性质结合条件当m2+2m+1≤x≤m2+2m+5时，抛物线最低点的纵坐标为,列出m的方程，求得m的值，进而得出m的准确值；（1）用待定系数法求出CD的解析式，再求出抛物线的对称轴，进而分两种情况：当a＞0时，抛物线的顶点在y轴左边，要使抛物线与线段CD有两个不同的交点，则C、D两必须在抛物线上方，顶点在CD下方，根据这一条件列出a不等式组，进行解答；当a＜0时，抛物线的顶点在y轴的右边，要使抛物线与线段CD有两个不同的交点，则C、D两必须在抛物线下方，抛物线的顶点必须在CD上方，据此列出a的不等式组进行解答．【详解】（1）①令x＝0，得，∴,故答案为：；②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，∴，∴a＝，故答案为：；（2）∵点B为（1，0），∴9a+6﹣＝0，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：，∴对称轴为x＝﹣2，∵am＜0，∴m＞0，∴m2+2m+1＞1＞﹣2，∵当m2+2m+1≤x≤m2+2m+5时，y随x的增大而减小，∵当m2+2m+1≤x≤m2+2m+