2027届江苏省常州市教育会业水平监测九年级数学第一学期期末检测模拟试题含解析

2027届江苏省常州市教育会业水平监测九年级数学第一学期期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，点、、在上，，，则的度数为（）A． B． C． D．2．如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点，交于点，，则的长为（）A． B． C． D．3．如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝2，点N在对角线BD上（不与点B，D重合），EF，GH过点N，GH∥BC交AB于点G，交DC于点H，EF∥AB交AD于点E，交BC于点F，AH交EF于点M．设BF＝x，MN＝y，则y关于x的函数图象是（）A． B．C． D．4．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝15．如图，点，为直线上的两点，过，两点分别作轴的平行线交双曲线（）于、两点.若，则的值为（）A．12 B．7 C．6 D．46．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.永州市2016年底大约有贫困人口13万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（）A． B． C． D．7．已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解之和恰好为10，则符合条件的所有m的和为（）A． B． C． D．8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．9．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x和的图象大致是（）A． B． C． D．10．下列图形中是中心对称图形的有()个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为_____．12．如图，将一张正方形纸片，依次沿着折痕，（其中）向上翻折两次，形成“小船”的图样．若，四边形与的周长差为，则正方形的周长为______．13．如图，在中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，则__________.14．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点之间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，若等边三角形的边长为2，则“勒洛三角形”的面积为_________．15．已知，．且，设，则的取值范围是______．16．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点交于点轴于点交于点，则四边形的面积为_______________________．17．将抛物线向左平移个单位，得到新的解析式为________.18．再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.三、解答题(共66分)19．（10分）某型号飞机的机翼形状如图所示，已知所在直线互相平行且都与所在直线垂直，．，，，．求的长度（参考数，，，，，）20．（6分）△ABC在平面直角坐标系中如图：（1)画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的,并写出点的坐标.（2）画出将△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标.（3）求在旋转过程中线段OA扫过的图形的面积.21．（6分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（3）若抛物线与直线相交于，两点，写出抛物线在直线下方时的取值范围．22．（8分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，若AD＝4，则四边形BEGF的面积为_____．23．（8分）在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；（2）若M为CP的中点，AC＝2，①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．24．（8分）如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．25．（10分）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．(2)如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．26．（10分）某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同.（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接待第四个月的进馆人次，并说明理由.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据平行线的性质及圆周角定理即可求解.【详解】∵，∴，∵，∴，故选：C.本题主要考查了圆周角定理及平行线的性质，熟练运用相关知识点是解决本题的关键.2、B【分析】延长，交于，由，，即可得出答案.【详解】如图所示，延长CB交FG与点H∵四边形ABCD为平行四边形∴BC=AD=DF+AF=6cm，BC∥AD∴∠FAE=∠HBE又∵E是AB的中点∴AE=BE在△AEF和△BEH中∴△AEF≌△BEH(ASA)∴BH=AF=2cm∴CH=8cm∵BC∥CD∴∠FAG=∠HCG又∠FGA=∠CGH∴△AGF∽△CGH∴∴CG=4AG=12cm∴AC=AG+CG=15cm故答案选择B.本题考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键.3、B【分析】求出，，y＝EF−EM−NF＝2−BFtan∠DBC−AEtan∠DAH，即可求解．【详解】解：，y＝EF﹣EM﹣NF＝2﹣BFtan∠DBC﹣AEtan∠DAH＝2﹣x×﹣x（）＝x2﹣x+2，故选：B．本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数，此类问题关键是确定函数的表达式，进而求解．4、C【分析】利用抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2＋bx＋c＝0的解．【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝1．故选：C．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．5、C【分析】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是(a，a)，B的坐标是(b，b)．则AE=OE=a，BF=OF=b．根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．【详解】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b．∵点A、B为直线y=x上的两点，∴A的坐标是(a，a)，B的坐标是(b，b)．则AE=OE=a，BF=OF=b．∵C、D两点在交双曲线(x＞0)上，则CE，DF，∴BD=BF﹣DF=b，AC=a．又∵BD=2AC，∴b2(a)，两边平方得：b22=4(a22)，即b24(a2)﹣1．在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2=a2，同理OD2=b2，∴4OC2﹣OD2=4(a2)﹣(b2)=1．故选：C．本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD=2AC得到a，b的关系是关键．6、B【分析】根据等量关系：2016年贫困人口×(1-下降率=2018年贫困人口，把相关数值代入即可．【详解】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：，故选：B．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．7、C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出m的值，不等式组整理后表示出解集，由整数解之和恰好为10确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．【详解】解：，分式方程去分母得：mx+2x-12=3x-9，移项合并得：（m-1）x=3，当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0，即m≠1时，解得：x=，由分式方程无解，得到：或，解得：m=2或m=，不等式组整理得：，即0≤x＜，由整数解之和恰好为10，得到整数解为0，1，2，3，4，可得4＜≤5，即，则符合题意m的值为1和，之和为．故选：C．此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8、B【分析】将A、B、C三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出的值比较其大小即可【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上，∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，，∴故选B本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．9、D【解析】试题分析：：∵k1＜0＜k2，∴直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限．故选D．考点：1.反比例函数的图象；2.正比例函数的图象．10、B【解析】∵正三角形是轴对称能图形；平行四边形是中心对称图形；正五边形是轴对称图形；正六边形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴中心对称图形的有2个．故选B.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【解析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．【详解】如图：长方形AEFM，连接AC，∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，即∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°∴tan∠ABC=1本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键.12、1【分析】由正方形的性质得出△ABD是等腰直角三角形，由EF∥BD，得出△AEF是等腰直角三角形，由折叠的性质得△AHG是等腰直角三角形，△BEH与△DFG是全等的等腰直角三角形，则GF=DF=BE=EH=1，设AB=x，则BD=x，EF=（x-1），AH=AG=x-2，HG=（x-2），由四边形BEFD与△AHG的周长差为5-2列出方程解得x=4，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∵EF∥BD，∴△AEF是等腰直角三角形，由折叠的性质得：△AHG是等腰直角三角形，△BEH与△DFG是全等的等腰直角三角形，∴GF=DF=BE=EH=1，设AB=x，则BD=x，EF=（x-1），AH=AG=x-2，HG=（x-2），∵四边形BEFD与△AHG的周长差为5-2，∴x+（x-1）+2-[2（x-2）+（x-2）]=5-2，解得：x=4，∴正方形ABCD的周长为：4×4=1，故答案为：1．本题考查了折叠的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠与正方形的性质以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．13、【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，进而证明，得出线段的比例，即可得出答案【详解】在中，∴AD∥BC，∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，∴△ADE∽△FCE∵DE=2EC，∴AD=2CF，在中，∵AD=BC，等量代换得：BC=2CF∴2：1本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，数形结合是解题的关键.14、【分析】图中勒洛三角形是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】解：过作于，∵是等边三角形，，，，，，的面积为，，勒洛三角形的面积，故答案为：．本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出勒洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．15、【分析】先根据已知得出n=1-m，将其代入y中，得出y关于m的二次函数即可得出y的范围【详解】解：∵∴n=1-m，∴∵，∴，∴当m=时，y有最小值，当m=0时，y=1当m=1时，y=1∴故答案为：本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键16、【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=，S矩形PCOD=3，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．【详解】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC=S△BOD=×=，S矩形PCOD=3，∴四边形PAOB的面积=3－－=1故答案为：1．本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．17、【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣3），所以，平移后的抛物线的解析式为．故答案为：．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．18、【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值．【详解】依题意得s=×t=t2，把s=18代入，得18=t2，解得t=，或t=-（舍去）．故答案为本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．三、解答题(共66分)19、【分析】在Rt△DEB和Rt△ACP中利用锐角三角函数来求出DE、AP的长，根据题意可知CE=BP，从而求出AB．【详解】解：如图，延长交过点平行于的直线于点，在中，在中，.则..答:的长度为.本题考查的是利用锐角三角函数值求线段长．20、(1)(-3,2)；(2)(2,-3)；(3)S=【分析】（1）根据题意利用旋转作图的方法画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的以及写出点的坐标即可；（2）根据题意利用作轴对称图形的方法画出将△ABC关于x轴对称的并写出点的坐标即可；（3）由题意可知OA扫过的图形是一个以OA长为半径的四分之一的圆，求出这个四分之一的圆即可求出线段OA扫过的图形的面积.【详解】解：（1）如图：由图像可得的坐标为(-3,2)；（2）如图：由图像可得的坐标为(2,-3)；（3）由题意可知OA扫过的图形是一个以OA长为半径的四分之一的圆，已知A（2，3），利用勾股定理求得OA=，所以线段OA扫过的图形的面积为：=.本题考查旋转作图和作轴对称图形，熟练掌握并利用旋转作图和作轴对称图形的方法和技巧是解题的关键.21、（1），；（2）；（3）或【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；（2）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围；（3）根据题意作图，由图象即可得到抛物线在直线下方时的取值范围．【详解】（1）∵函数图象与轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)，∴方程的两个根为，；（2）∵二次函数的顶点坐标为(2，2)，∴若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为．（3）∵抛物线与直线相交于，两点，由图象可知，抛物线在直线下方时的取值范围为：或．本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．22、【分析】设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，由勾股定理得出，解得a＝，证明△EDG∽△GCF，得出比例线段，求出CF．则可求出EF．由四边形面积公式可求出答案．【详解】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，，∴，∴a＝，∴DG＝CG＝，∴BG＝OB+OG＝2＝3，由折叠可得∠EGD＝∠EGO，∠OGF＝∠FGC，∴∠EGF＝90°，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∵∠EGD+∠DEG＝90°，∴∠FGC＝∠DEG，∵∠EDG＝∠GCF＝90°，∴△EDG∽△GCF，∴，∴．∴CF＝1，∴FO＝1，∴EF＝3，由折叠可得，∴∠BOE=∠A＝90°，∵点B，O，G在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上，∴EF⊥BG，∴S四边形EBFG＝×BG×EF＝×3＝．故答案为：．本题考查了矩形折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键23、（1）证明见解析；（2）①BP＝；②BP＝．【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证△ACP∽△ABC，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x，易证△APC∽△ACQ，所以AC2＝AP·AQ，由此列方程，解方程即可求得BP的长；②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，再证△AP0C∽△MPB，（2）的方法求得AP0的长，即可得BP的长．试题解析：（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝即BP＝；②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝，设AP0=x，P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴，∴MP∙P0C＝AP0∙BP＝x（－1＋x），解得x＝∴BP＝－1＋＝．考点：三角形综合题.24、（1）80，8；（2）DC＝8【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADB＝∠OAC＝80°，即可证明△BOD∽△COA，可得，求出AD的长度，再根据角的和差关系得∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，即可得出AB＝AD＝8．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，通过证明△AOD∽△EOB，可得，根据线段的比例关系，可得AB＝2BE，根据勾股定理求出BE的长度，再根据勾股定理求出DC的长度即可．【详解】解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝80°，∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴∵AO＝6，∴OD＝AO＝2，∴AD＝AO+OD＝6+2＝8，∵∠BAD＝20°，∠ADB＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，∴AB＝AD＝8，故答案为：80，8；（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图3所示：∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°，∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴∵BO：OD＝1：3，∴∵AO＝6，∴EO＝AO＝2，∴AE＝AO+EO＝6+2＝8，∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE，在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（8）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝8，∴AB＝AC＝16，AD＝3BE＝24，在Rt△CAD中，AC2+AD2＝DC2，即162+242＝DC2，解得：DC＝8．本题考查了三角形的综合问题，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．25、(1)见解析；(2)①AE=2，DE=4；②tan∠DBC=．【分析】（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；③由自相似菱形的性质即可得出结论；（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出，求出AE＝2，DE＝4即可；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°