2025~2026学年北京市第四中学第二学期期末高二数学试卷

2025~2026学年北京市第四中学第二学期期末高二数学试卷一、单选题1.下列函数中，存在极值点的函数是（）

A．B．C．D．2.两个实习生每人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率是（）

A．B．C．D．3.甲、乙两人投篮的命中率分别为和，现甲、乙各投篮一次，记为甲命中的次数，为乙命中的次数，若，则的取值范围是（）

A．B．C．D．4.某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（）

A．B．C．D．5.已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（）

A．B．C．D．7.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．8.若函数的值域为，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．二、填空题9.已知函数，的导函数为，则__________.10.已知等差数列的公差不为零，且，则__________.11.某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二种、第三种产品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

0123则__________；__________.12.中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________.13.已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：①对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列；②对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列；③对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等；④不存在实数和，使得数列为等比数列（公比），其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题14.已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足__________，求数列的前项的和.从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15.智能手机的普及推动了人们对电池续航与寿命的更高要求.电池健康度作为衡量电池实际性能与剩余寿命的核心指标，通常以百分比呈现.为评估市场上甲、乙、丙三种型号手机的电池耐用性，某评测机构对这三种型号手机各随机选取8台设备，每台均执行完全相同的1000次充放电循环测试.随后，使用专业设备检测并记录每台手机的当前电池健康度.下表为三种型号手机在完成1000次充放电循环后的具体电池健康度数据：

型号电池健康度（%）甲85.286.584.879.185.986.283.979.4乙82.181.379.779.577.483.083.677.2丙76.982.878.179.082.079.677.282.7假设忽略其余因素对电池健康度的影响，用频率估计概率.(1)根据上述数据，若随机选择一台全新的甲型号手机，试估计其在完成1000次充放电循环后，电池健康度低于80%的概率；(2)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各一台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这3台手机中，电池健康度低于80%的手机数目为，求的分布列和数学期望；(3)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各100台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这三种型号手机电池健康度低于80%的手机数目分别为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明）16.盒子里有大小相同的12个球，其中有个红球，其余为白球，从中任取3个球，记为恰好取到2个红球的概率.(1)求的值；(2)当为何值时，取得最大值.17.已知函数，．(1)若为函数的极值点，求的值；(2)当时，求函数的单调区间；(3)若函数的图象恒在轴的下方，求的取值范围．18.给定正奇数，设为首项为，公差为()，项数为的等差数列，将中各项按如下规则排成一个有行，列的数阵．(1)若，，写出数阵，并计算；(2)求证：数阵中每一行所有数的和为同一定值；(3)设，从数阵的第1列开始，在每一列中，分别取出第行，第行，，第行，第1行，第2行，，第行的数，将取出的个数相加，记得到的和为．求证：对给定的数阵，的取值有且只有两种可能．四、单选题19.已知，