2025~2026学年山西大同市北京师范大学大同附属中学校高一第二学期期中考试数学试卷

2025~2026学年山西大同市北京师范大学大同附属中学校高一第二学期期中考试数学试卷一、单选题1.若复数满足，则的虚部为（）

A．B．C．D．12.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（）

A．B．C．D．3.若数据，，，，的方差为9，则数据，，，，的方差为（）

A．2007B．1989C．36D．184.在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（）

A．B．C．或D．或5.已知向量，则向量在上的投影向量为（）

A．B．C．D．6.如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（）

A．B．C．D．7.如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（）

A．B．C．D．408.在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（）

A．2B．C．4D．二、多选题9.将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（）

A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是10.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（）

A．若，则一定有B．若是锐角三角形，则一定有成立C．若，则一定是直角三角形D．若，则一定是锐角三角形11.如图，在等腰梯形中，，E为的中点，点在菱形的内部及边界上运动．设，其中（）

A．若B，P，D三点共线，则B．x，y的约束条件为C．若，则的取值范围是D．若，则的取值范围是三、填空题12.小胡同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：13，12，14，13，13，15，11，16，15，17，则这组数据的第60百分位数为________.13.中，，D在上，，，则______.14.数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为________．四、解答题15.已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.(1)设复数，求；(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.16.已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且．(1)求与夹角的大小；(2)设，求；(3)设，求的取值范围．17.统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内．(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？(2)估计该地居民的月收入的中位数；(3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数．18.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)求的取值范围；(3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内