山东省威海市文登新一中2026-2027学年高三（上）第一次阶段性测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山东省威海市文登新一中高三（上）第一次阶段性测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=x−2},B={x|x2A.(−2,3) B.[2,3) C.[2,6] D.(2,+∞)2.复数1−i1+5i的虚部是(

)A.−133 B.133 C.−3.已知sin(π3+α)=1A.49 B.−49 C.104.下列各式中，值为32的是(

)A.sin81°cos21°−cos261°sin21° B.cos275°−cos215°

5.已知曲线y=x2−3lnx的一条切线方程为y=−x+m，则实数m=A.−2 B.−1 C.1 D.26.早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾a股b弦c”指的是直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c.如图，已知在长方形ABCD中，△ABD满足“勾3股4弦5”，AD=3，P为CD上一点，且AP⋅DB=0，则向量AD可用向量AP，BD表示为(

)A.AD=916AP+516BD 7.已知函数f(x)=3cosx−sinx，先将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π12个单位长度，得到函数y=g(x)的图象.若x1≠xA.π B.π2 C.π3 8.已知函数f(x)满足对于任意的x，y∈R，都有f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，且f(1)=12，则以下结论不正确的是(

)A.f(0)=1

B.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)=0

C.f(x)是偶函数

D.f(x)关于(−3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于平面向量的说法中，正确的有(

)A.若平面向量a，b，c满足a⋅b=a⋅c，则b=c

B.若向量a，b满足|a|=|b|=1，|a+b|=3，则〈a−b,b〉=2π3

C.已知向量a，b10.已知函数f(x)=sinxcosx−3cos2A.f(x)在区间(0,π2)上单调递增

B.f(x)的最大值是1

C.f(x)的一条对称轴为x=5π12

D.f(x)11.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asin2A+B2A.角C一定为锐角 B.a2+2b2−c2=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，A=π4，则B=

13.已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)+cos2ωx(ω>0)在区间[π214.已知△ABC内一点O是其外心，sinA=223(0<A<π2)，且AO=m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

把正弦曲线(函数y=sinx的图象)向左平移π6个单位长度，再把曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，最后把曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数f(x)的图象．

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的值；

(3)若16.(本小题15分)

记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=π3，D、E为BC边上的点．

(1)若AD为∠A的角平分线，AD=2，a=3105，求△ABC的面积；

(2)若△ABC为锐角三角形，AE为17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f

(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)在区间[1,e)上的最小值为−2，求18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=(sinC,sinB)，n=(cosB,cosC)，且m⋅n=sin2A．

(1)求∠BAC；

(2)若AC的长为3，求AB−BC的取值范围．

(3)若D为线段BC延长线上一点，且∠CAD=19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−bx−e2(b∈R)，g(x)=ex−alnx(a>0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当b=1时，若f(x)≤g(x)恒成立，求a取值范围；

(3)若1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】BC

12.【答案】π613.【答案】(0,114.【答案】3415.【答案】解：(1)把正弦曲线向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象，

再把曲线上各点的横坐标变为原来的12得到y=sin(2x+π6)的图象，

最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到f(x)=2sin(2x+π6)的图象，

可得函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6)；

(2)当x∈[0,π2]时，可得2x+π6∈[π6,7π6]，

所以当2x+π6=7π6，即16.【答案】解：(1)因为AD是∠A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=12∠BAC=π6，

因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，

所以12bcsin∠BAC=12b⋅AD⋅sin∠BAD+12c⋅AD⋅sin∠CAD，

所以12bcsinπ3=22bsinπ6+22csinπ6，化简得b+c=62bc①，

在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccos∠BAC，

所以(3105)2=b2+c2−2bccosπ3，

整理得(b+c)2−3bc=185②，

联立①②解得bc=1+855，

所以17.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−3x+lnx，

导数为f′(x)=2x−3+1x，

曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=0，

切点为(1,−2)，

则切线方程为y=−2；

(2)当a>0时，f′(x)=2ax−(a+2)+1x=(2x−1)(ax−1)x，

当1a≤12即a≥2时，在[1,e]上，f′(x)>0，f(x)递增，

f(1)最小，且为−2，则a−a−2+ln1=−2，成立；

当12<1a≤1，即为1≤a<2时，在[1,e]上，f′(x)>0，f(x)递增，

f(1)最小，且为−2，则a−a−2+ln1=−2，成立；

当1<1a≤e即为1e≤a<1时，f(x)在[1,1a]递减，[1a,e]递增，则x=1a取得最小值，且为1a−1−2a+ln18.【答案】解：(1)依题意，sinCcosB+cosCsinB=sin2A，即sin(B+C)=sin2A，

又在△ABC中，sin(B+C)=sinA，

则sinA=sin2A=2sinAcosA，

又sinA≠0，

则cosA=12，

又A为△ABC的内角，

则∠BAC=π3；

(2)依题意，BC=32sinB，AB=3sinCsinB，

所以AB−BC=3sinCsinB−32sinB=23sin(2π3−B)−32sinB=3(cosB−1)2sinB+32=32−32tanB219.【答案】当b≤0时，f(x)在R上单调递增；当b>0时，f(x)在(−∞,lnb)上单调递减，在(lnb,+∞)上单调递增

(0,e2]

证明：已知g(x)=ex−alnx(a>2e2)，对其求导得g′(x)=ex−ax=xex−ax，

令m(x)=xex−a(x>1)，对其求导得m′(x)=(x+1)ex>0，

所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，

则m(x)>m