2026 年人教版高三数学阶段过关测试卷

2026年人教版高三数学阶段过关测试卷班级：________姓名：________得分：________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数$f(x)=\ln(2-x)$的定义域是（）A.$(-\infty,2)$B.$(-\infty,2]$C.$(2,+\infty)$D.$[2,+\infty)$2.已知$f(x)=x^3$，则$f'(2)=$（）A.$6$B.$8$C.$12$D.$24$3.函数$f(x)=x^2-2x$的单调递增区间是（）A.$(-\infty,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-\infty,2)$D.$(2,+\infty)$4.曲线$y=e^x$在$x=0$处的切线方程是（）A.$y=x$B.$y=2x$C.$y=x+1$D.$y=2x+1$5.下列函数中，是偶函数的是（）A.$y=x$B.$y=x^3$C.$y=x^2$D.$y=\sqrt{x}$6.函数$f(x)=x^3-3x$的极值点个数是（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$7.已知函数$f(x)=\log_2x$，若$f(a)=3$，则$a=$（）A.$2$B.$4$C.$8$D.$16$8.函数$f(x)=x^2-4x+3$在区间$[0,3]$上的最大值是（）A.$0$B.$1$C.$3$D.$-1$9.曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率为（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$10.函数$f(x)=e^x-x$的最小值是（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$e-1$二、多项选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分。）1.下列关于函数$f(x)=x^2-2|x|$的说法正确的是（）A.偶函数B.奇函数C.最大值为$0$D.最小值为$-1$2.若函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2$在$x=1$处有极值$10$，则$a,b$的值可能是（）A.$a=4,b=-11$B.$a=-3,b=3$C.$a=4,b=-11$或$a=-3,b=3$D.以上都不对3.函数$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$的零点所在区间是（）A.$(0,1)$B.$(1,2)$C.$(2,3)$D.$(3,4)$4.下列导数计算正确的是（）A.$(\sinx)'=-\cosx$B.$(\cosx)'=\sinx$C.$(e^x)'=e^x$D.$(\lnx)'=\frac{1}{x}$5.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的单调性说法正确的是（）A.在$(-\infty,0)$上单调递增B.在$(0,2)$上单调递减C.在$(2,+\infty)$上单调递增D.在$\mathbb{R}$上单调递减三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）1.函数$f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}$的定义域是__________。2.曲线$y=\lnx$在$x=1$处的切线方程是__________。3.函数$f(x)=x^3-3x$在区间$[-2,2]$上的最大值是__________。四、解答题（本大题共3小题，共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（本小题满分8分）已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求：（1）曲线$y=f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线方程；（2）函数$f(x)$的单调递增区间。2.（本小题满分8分）某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量$x$（吨）与每吨产品的价格$p$（元/吨）之间的关系为$p=24200-\frac{1}{5}x^2$，且生产$x$吨产品的成本为$C=50000+200x$（元）。问该工厂每月生产多少吨产品时，利润最大？最大利润是多少？3.（本小题满分9分）已知函数$f(x)=\lnx-\frac{1}{2}ax^2-x$，$a\in\mathbb{R}$。（1）当$a=1$时，求函数$f(x)$的单调区间；（2）若函数$f(x)$在定义域内单调递减，求$a$的取值范围。五、附加题（本大题共2小题，共10分。选做，不计入总分但作为提优评价。）1.（本小题满分5分）已知函数$f(x)=e^x-ax-1$，其中$a>0$，若$f(x)\geq0$对任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求实数$a$的取值范围。2.（本小题满分5分）证明：当$x>1$时，$\lnx>\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$。【参考答案+详细解析】一、单项选择题1.A解析：对数函数真数大于0，故$2-x>0\Rightarrowx<2$，定义域为$(-\infty,2)$。2.C解析：求导得$f'(x)=3x^2$，代入$x=2$得$f'(2)=3\times2^2=12$。3.B解析：求导得$f'(x)=2x-2$，令$f'(x)>0$，解得$x>1$，故递增区间为$(1,+\infty)$。4.C解析：$f'(x)=e^x$，切线斜率$k=e^0=1$，切点为$(0,e^0)=(0,1)$，切线方程为$y-1=1\times(x-0)$，即$y=x+1$。5.C解析：偶函数满足$f(-x)=f(x)$，$f(x)=x^2$满足$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，其余选项均不满足。6.C解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$，两个不同解，故极值点个数为2。7.C解析：由$\log_2a=3$，根据对数定义得$a=2^3=8$。8.C解析：二次函数开口向上，对称轴为$x=2$，区间$[0,3]$上最大值在左端点$x=0$处，$f(0)=0^2-4\times0+3=3$。9.C解析：求导得$f'(x)=3x^2$，代入$x=1$得$f'(1)=3\times1^2=3$。10.B解析：求导得$f'(x)=e^x-1$，令$f'(x)=0$得$x=0$，代入得$f(0)=e^0-0=1$，为函数最小值。二、多项选择题1.AD解析：$f(-x)=(-x)^2-2|-x|=x^2-2|x|=f(x)$，故为偶函数；当$x\geq0$时，$f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1$，最大值在$x=0$处为0，最小值在$x=1$处为$-1$，由对称性知整个函数最大值为0，最小值为$-1$。2.AB解析：$f'(x)=3x^2+2ax+b$，由极值条件得$\begin{cases}f(1)=1+a+b+a^2=10\\f'(1)=3+2a+b=0\end{cases}$，联立解得$a=4,b=-11$或$a=-3,b=3$，均符合题意。3.B解析：$f(1)=\ln1-1=-1<0$，$f(2)=\ln2-\frac{1}{2}\approx0.693-0.5=0.193>0$，由零点存在定理知零点在$(1,2)$内。4.CD解析：$(\sinx)'=\cosx$，$(\cosx)'=-\sinx$，故A、B错误；C、D符合导数公式。5.ABC解析：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)>0$得$x<0$或$x>2$，递增区间为$(-\infty,0),(2,+\infty)$；令$f'(x)<0$得$0<x<2$，递减区间为$(0,2)$，故A、B、C正确。三、填空题1.$[1,2)\cup(2,+\infty)$解析：定义域满足$\begin{cases}x-1\geq0\\x-2\neq0\end{cases}$，即$x\geq1$且$x\neq2$。2.$y=x-1$解析：$f'(x)=\frac{1}{x}$，切线斜率$k=f'(1)=1$，切点为$(1,0)$，切线方程为$y-0=1\times(x-1)$，即$y=x-1$。3.$2$解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，计算区间内函数值：$f(-2)=(-2)^3-3\times(-2)=-8+6=-2$，$f(-1)=-1+3=2$，$f(1)=1-3=-2$，$f(2)=8-6=2$，故最大值为2。四、解答题1.（1）$f(0)=0^3-3\times0+1=1$，$f'(x)=3x^2-3$，切线斜率$k=f'(0)=-3$，切线方程为$y-1=-3(x-0)$，即$y=-3x+1$。（4分）（2）令$f'(x)=3x^2-3>0$，解得$x>1$或$x<-1$，故单调递增区间为$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$。（4分）2.利润$L=xp-C=x\left(24200-\frac{1}{5}x^2\right)-(50000+200x)=-\frac{1}{5}x^3+24000x-50000$，求导得$L'=-\frac{3}{5}x^2+24000$，令$L'=0$，解得$x^2=40000\Rightarrowx=200$（$x>0$）；当$0<x<200$时，$L'>0$，函数递增；当$x>200$时，$L'<0$，函数递减，故$x=200$时利润最大，最大利润$L=-\frac{1}{5}\times200^3+24000\times200-50000=3150000$元。（8分）3.（1）$a=1$时，$f(x)=\lnx-\frac{1}{2}x^2-x$，定义域$x>0$，求导得$f'(x)=\frac{1}{x}-x-1=\frac{-x^2-x+1}{x}$，令$f'(x)>0$，即$-x^2-x+1>0\Rightarrowx^2+x-1<0$，解得$0<x<\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$；令$f'(x)<0$，得$x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，故单调递增区间为$\left(0,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$，递减区间为$\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$。（5分）（2）函数$f(x)$在定义域内单调递减等价于$f'(x)\leq0$对$x>0$恒成立，$f'(x)=\frac{1}{x}-ax-1\leq0\Rightarrowax\geq\frac{1}{x}-1\Rightarrowa\geq\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$对$x>0$恒成立；令$t=\frac{1}{x}(t>0)$，则$a\geqt^2-t=(t-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$，当$t=\frac{1}{2}$时，右侧最小值为$-\frac{1}{4}$，故$a\geq-\frac{1}{4}$。（4分）五、附加题1.$f'(x)=e^x-a$，$a>0$，令$f'(x)=0$得$x=\lna$；当$x<\lna$时，$f'(x)<0$，函数递减；当$x>\lna$时，$f'(x)>0$，函数递增，故最小值为$f(\lna)=a-a\lna-1$；要$f(x)\geq0$恒成立，需$a-a\lna-1\geq0$，令$g(a)=a-a\lna-1$，$g'(a)=-\lna$，当$0<a<1$时$g'(a)>0$，$g(a)$递增；当$a>1$时$g'(a)<0$，$g(a)$递减，故$g(a)$最大值为$g(1)=0$，仅当$a=1$时满足$g(a)\geq0$