1.3.1矩形的性质 课件 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

#北师大版九年级上册1.3.1矩形的性质专项练习##知识点梳理**矩形定义**：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)矩形是特殊的平行四边形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)具备平行四边形的全部性质\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)同时拥有专属性质。1.**边**：对边平行且相等。2.**角**：四个角都是直角（90°）。3.**对角线（重难点）**：对角线互相平分**且相等**。矩形两条对角线分成两对全等的等腰三角形。>推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（考试高频考点）4.**对称性**：既是中心对称图形（对角线交点为对称中心）\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)又是轴对称图形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)有2条对称轴\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)为经过对边中点的直线。5.**面积公式**：$\(S=\)$长$\times$宽。>易错提醒：矩形对角线**相等但不一定垂直**；只有当矩形邻边相等时（即正方形）\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线才互相垂直。##一\(AC、BD\)选择题（每题4分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)共20分）1.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（）A.对边平行B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分2.在矩形$ABCD$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线$AC\(AC、BD\)BD$交于点$O$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)下列说法错误的是（）A.$\(AB=CD\)$B.$\angleABC=90^\circ$C.$\(AC=BD\)$D.$AC\perpBD$3.矩形的一条对角线长为10\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则两条对角线的交点到矩形顶点的距离为（）A.10B.5C.20D.2.54.直角三角形斜边上的中线长为4\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则斜边长为（）A.2B.4C.8D.165.矩形是轴对称图形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对称轴的条数是（）A.1条B.2条C.3条D.4条##二\(AC、BD\)填空题（每题4分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)共20分）1.矩形的四个角都是________\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线互相平分且________。2.矩形$ABCD$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\angleA=90^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则$\angleC=$________$^\circ$。3.在$Rt\triangleABC$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)斜边$\(AB=12\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则斜边中线长为________。4.矩形长为6\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)宽为4\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则矩形面积是________。5.矩形对角线相交形成的角中有一个为60°\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)较短边长为3\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则对角线长为________。##三\(AC、BD\)解答题（共60分）1.（18分）已知矩形$ABCD$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线$AC\(AC、BD\)BD$交于点$O$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(AB=6\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(BC=8\)$。（1）求矩形对角线$AC$的长；（2）求$AO$的长度；（3）求矩形面积。2.（20分）如图\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)在矩形$ABCD$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线$AC\(AC、BD\)BD$交于点$O$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\angleAOB=60^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(AB=4\)$。求证：$\triangleAOB$是等边三角形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)并求对角线$AC$的长。3.（22分）已知：在$Rt\triangleABC$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\angleACB=90^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$CD$是斜边$AB$上的中线\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(AB=10\)$。（1）求$CD$的长；（2）若$\(AC=6\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)求$BC$的长度。##参考答案与解析###选择题1.C解析：对角线相等是矩形特有性质\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)普通平行四边形对角线只互相平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)不一定相等。2.D解析：矩形对角线相等平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)不一定垂直\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)菱形对角线才互相垂直。3.B解析：矩形对角线互相平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)交点把对角线分成两段\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$10\div2=5$。4.C解析：直角三角形斜边上中线等于斜边一半\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)斜边$=4\times2=8$。5.B解析：两条过对边中点的直线为矩形对称轴。###填空题1.直角；相等2.903.64.245.6>第5题解析：矩形对角线相等且平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(OA=OB\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)夹角60°\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)\(\triangleAOB\)等边\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(OA=AB=3\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线$\(AC=2OA=6\)$。###解答题1.解：∵四边形$ABCD$是矩形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\angleABC=90^\circ$（1）在$Rt\triangleABC$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$（2）矩形对角线互相平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$AO=\dfrac12AC=\dfrac12\times10=5$（3）面积$\(S=\)AB\timesBC=6\times8=48$2.证明：∵四边形$ABCD$是矩形∴$\(AC=BD\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$OA=\dfrac12AC\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)OB=\dfrac12BD$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)∴$\(OA=OB\)$又∵$\angleAOB=60^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)∴$\triangleAOB$是等边三角形。∴$OA=\(AB=4\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(AC=2OA=8\)$。3.解：（1）∵$CD$是$Rt\triangleABC$斜边中线\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)∴$CD=\dfrac12AB=\dfrac12\times10=5$（2）$\angleACB=90^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)由勾股定理：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$##易错点总结1.矩形核心特征：四角直角\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线相等平分；区分矩形（对角线相等）\(AC、BD\)菱形（对角线垂直）。2.**直角三角形斜边上中线定理**是矩形性质推导出来的\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)选择填空经常单独考查。3.矩形对角线相交\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)出现60°或120°角\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)一般会形成等边三角形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)这是典型模型。要不要我继续写**1.3.2矩形的判定**专项练习？或者生成空白无答案版本？北师大版（新教材）数学九年级上册1.3.1矩形的性质授课教师：.

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2026/10/8

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第一章特殊平行四边形1.会证明矩形的性质定理，会用矩形的性质解决简单的问题；（重点）2.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（难点）1.矩形的定义：有一个角是

的

叫作矩形.2.矩形的对称性：矩形是

图形，有

条对称轴。矩形还是

图形，对称中心是

.直角平行四边形轴对称两中心对称对角线的交点3.矩形的一般性质：矩形具有

的一切性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形02新知导入矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题?怎样研究呢?需要研究矩形的角的关系、对角线的关系。可以从矩形的定义出发，先研究矩形的性质，再研究矩形的判定。03新知探究边角对角线对称性矩形对边平行且相等对角相等互相平分中心对称矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？03新知探究尝试·思考你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？可以发现：矩形的四个角都是直角，对角线相等。03新知探究已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O。求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=DB。ABCDO证明：（1）∵四边形ABCD是矩形。

∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，

AB∥DC(矩形的对边平行)。∴∠ABC+∠BCD=180°。

又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°。

∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。03新知讲解

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC(矩形的对边相等)。

在△ABC和△DCB中，

∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB。

∴AC=DB。知识点1矩形的边、角性质（第1题）

B

返回（第2题）

C

返回03新知讲解提炼概念

定理：矩形的四个角都是直角。几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。定理：矩形的对角线相等。几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD。ABDC