2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课件 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

#北师大版九年级上册2.3一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）专项练习##知识点梳理对于一元二次方程$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0\(a≠0)}$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)当$\Delta=b^2-4ac\ge0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)方程两根记为$x_1,x_2$$$\boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}},\qquad\boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$$特殊情况：当二次项系数$\(a=1\)$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)方程$x^2+px+q=0$$$x_1+x_2=-p,\quadx_1x_2=q$$>重要前提：**方程必须有实数根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)即$\boldsymbol{\Delta\ge0}$**\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)才能使用韦达定理。常用变形（考试高频）1.$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$2.$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$3.$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$>易错提醒1.两根之和是$\boldsymbol{-\dfrac{b}{a}}$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)负号极易漏掉\(\dfrac23；-\dfrac53\)2.使用前先确认$\Delta\ge0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)无根时不能用韦达\(\dfrac23；-\dfrac53\)3.方程要先整理成一般形式\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)找准$\(a,b,c\)$并带上符号。##一、选择题（每题4分\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)共20分）1.方程$x^2-5x+6=0$的两根$x_1,x_2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$x_1+x_2=$（）A.$5$B.$-5$C.$6$D.$-6$2.一元二次方程$2x^2+3x-4=0$两根$x_1,x_2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$x_1x_2=$（）A.$2$B.$3$C.$-2$D.$-\dfrac32$3.已知方程两根之和为$3$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)两根之积为$-2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则这个方程是（）A.$x^2+3x-2=0$B.$x^2-3x-2=0$C.$x^2+3x+2=0$D.$x^2-3x+2=0$4.若$x_1,x_2$是方程$x^2-4x+1=0$两根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$x_1^2+x_2^2=$（）A.$14$B.$15$C.$16$D.$17$5.已知方程$x^2+mx-6=0$的一个根是$2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则另一根是（）A.$-3$B.$3$C.$-2$D.$6$##二、填空题（每题4分\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)共20分）1.方程$3x^2-2x-5=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)两根之和$x_1+x_2=$________\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)两根之积$x_1x_2=$________。2.若方程$x^2+kx+4=0$两根相等\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$\(k=\)$________。3.已知$x_1,x_2$是$x^2-2x-1=0$两根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=$________。4.方程$2x^2-6x=0$两根之和是________。5.若一元二次方程两根为$2$和$-5$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则这个方程为________________。##三、解答题（共60分）1.（18分）已知$x_1,x_2$是方程$x^2-4x-5=0$的两个实数根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)求：（1）$x_1+x_2$\(\dfrac23；-\dfrac53\)（2）$x_1x_2$\(\dfrac23；-\dfrac53\)（3）$x_1^2+x_2^2$。2.（20分）已知$x_1,x_2$是方程$2x^2+5x-1=0$的两根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)求$(x_1-x_2)^2$的值。3.（22分）已知一元二次方程$x^2-(m-3)x-3m=0$的一个根为$4$。（1）求$m$的值\(\dfrac23；-\dfrac53\)（2）求方程的另一个根。##参考答案与解析###选择题1.A解析：$\(a=1\),b=-5$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5$。2.C解析：$a=2,c=-4$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{2}=-2$。3.B解析：$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)即$x^2-3x-2=0$。4.A解析：$x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)x_1x_2=1$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2=14$。5.A解析：设另一根为$x_2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$2\cdotx_2=-6$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)得$x_2=-3$。###填空题1.$\dfrac23\(\dfrac23；-\dfrac53\)-\dfrac53$2.$\pm4$3.$-2$4.$3$5.$x^2+3x-10=0$###解答题1.解：$x^2-4x-5=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$\(a=1\),b=-4,c=-5$$x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)\x_1x_2=-5$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times(-5)=16+10=26$答：(1)$4$\(\dfrac23；-\dfrac53\)(2)$-5$\(\dfrac23；-\dfrac53\)(3)$26$。2.解：$2x^2+5x-1=0$$x_1+x_2=-\dfrac52\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)\x_1x_2=-\dfrac12$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$=\left(-\dfrac52\right)^2-4\times\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{25}{4}+2=\boldsymbol{\dfrac{33}{4}}$3.解：（1）把$\(x=4\)$代入方程：$4^2-(m-3)\times4-3m=0$$16-4m+12-3m=0$$28-7m=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)解得$\boldsymbol{\(\boldsymbol{m=4}\)}$。（2）方程为$x^2-x-12=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)设另一根$x_2$两根之积：$4\cdotx_2=-12$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)得$\boldsymbol{x_2=-3}$。##易错点总结1.两根之和公式**负号**是高频丢分点\(\dfrac23；-\dfrac53\)2.所有代数式变形\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)都要先换成$x_1+x_2$与$x_1x_2$\(\dfrac23；-\dfrac53\)3.题目没有说明有实数根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)要先算判别式检验\(\dfrac23；-\dfrac53\)4.已知一根求另一根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)优先用韦达定理\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)比解方程更快。下一节：**2.4用一元二次方程解决实际问题**\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\x_1x_2=-\dfrac12\)\x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)继续写专项练习吗？北师大版（新教材）数学九年级上册2.3一元二次方程的根与系数的关系授课教师：.

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9年级（

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2026/10/8

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二章一元二次方程1.探索一元二次方程的根与系数的关系；（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）一元二次方程的不同解法:方法理论依据适用范围关键步骤直接开平方法配方法公式法因式分解法所有一元二次方程(x+m)2＝n（n≥0）一边是0,另一边是易于分解成两个一次因式的乘积的方程所有一元二次方程平方根的意义完全平方公式配方如果两个因式乘积为0，那么这两个因式至少有一个为0开平方配方代入求根公式分解因式03新知探究

03新知讲解（2）

你认为ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）是否一定成立？与同伴进行交流。不一定成立，当方程ax2+bx+c=0有实数根时，该等式才成立。如果，是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。03新知讲解思考·交流

如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。事实上，因为ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），而a（x-x1）（x-x2）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2，所以ax2+bx+c=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2，所以

于是03新知讲解提炼概念

试一试：你能举一些例子说明一元二次方程的根与系数的关系吗？新课探究例1例1

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2

+

7x+

6=0；解：这里a=1，b=7，

c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=49–24=25＞0所以方程有两个实数根。设方程的两个实数根是x1，

x2，那么x1+x2=–7，

x1x2=6新课探究例1(2)2x2

-

3x

-

2=0

x1

+x2

=，

x1x2

=-1解：这里a=2，b=–3，

c=-2.Δ

=b2

−4ac=(−3)2

–4×2×(−2)=9+16=25＞0，所以方程有两个实数根。设方程的两个实数根是x1，x2，那么知识点1

利用根与系数的关系求两根之和与两根之积

B

返回

D

返回

返回1.已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1+x2的值是()A．0B．2C．－2D．42.已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A．x2－7x＋12＝0