2026年北师大版高中数学上册第4章函数性质同步练习题及答案

2026年北师大版高中数学上册第4章函数性质同步练习题及答案第1页共1页2026年北师大版高中数学上册第4章函数性质同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是A.3B.2C.1D.0参考答案：A2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于A.原点对称B.x轴对称C.y轴对称D.直线x=1对称参考答案：C3.若函数h(x)=sin(x)+acos(x)在x=π/4处取得最大值√2，则实数a的值为A.1B.-1C.√2D.-√2参考答案：A4.函数p(x)=x^2-2ax+3在x=1时取得最小值，则a的值为A.1B.-1C.2D.-2参考答案：A5.函数q(x)=e^x-x在定义域R上的单调性是A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增参考答案：A6.函数r(x)=log_2(x^2-2x+3)的定义域是A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,3]D.[1,+∞)参考答案：C7.函数s(x)=tan(x)在(0,π/2)上的图像A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位参考答案：D8.函数t(x)=x^3-3x在(-2,2)上的零点个数为A.0B.1C.2D.3参考答案：C9.函数u(x)=2^x-x^2在(0,2)上的图像A.有两个交点B.有一个交点C.没有交点D.无法确定参考答案：A10.函数v(x)=sin(x)cos(x)在(0,π)上的最大值是A.1/2B.1C.√2/2D.√3/2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的最大值是______.参考答案：22.若函数g(x)=1/x在x=2处的切线方程为y=-1/4x+2,则该函数在x=-2处的切线斜率是______.参考答案：-1/43.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______.参考答案：34.函数m(x)=2sin(x)+cos(2x)的最小正周期是______.参考答案：2π5.若函数n(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0),(2,3),且对称轴为x=-1/2,则a的值是______.参考答案：-36.函数p(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性是______.参考答案：单调递增7.函数q(x)=log_a(x)在x=2处的导数q'(2)=1/2,则a的值是______.参考答案：√28.函数r(x)=x/(x^2-1)的不连续点是______.参考答案：x=1,x=-19.函数s(x)=sin(x)cos(x)的图像关于直线x=π/4对称,则其最小正周期是______.参考答案：π10.若函数t(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值,且该极值为0,则a+b的值是______.参考答案：4三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3在定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)是奇函数，则其图像一定关于原点对称。参考答案：√3.函数f(x)=1/x在(0,+∞)上单调递减。参考答案：√4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。参考答案：√5.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数也在该区间上单调递增。参考答案：√6.函数f(x)=|x|在定义域内处处可导。参考答案：×7.若函数f(x)在x=c处取得极值，则其导数f'(c)必等于0。参考答案：×8.函数f(x)=e^x+1在定义域内无界。参考答案：√9.若函数f(x)与g(x)在区间(a,b)上单调性相同，则其复合函数f(g(x))也在该区间上单调性相同。参考答案：×10.函数f(x)=log_a(x)在底数a1时单调递增。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数（或减函数）。2.说明函数奇偶性的判断方法。参考答案：判断函数奇偶性的方法：①根据定义判断，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数；如果这两个等式都不成立，那么函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。②利用函数图像的对称性判断，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。③利用函数解析式判断，如果函数解析式可以化简为f(x)=g(-x)的形式，那么函数是偶函数；如果可以化简为f(x)=-g(-x)的形式，那么函数是奇函数。3.列举三个常见的具有周期性的函数。参考答案：三个常见的具有周期性的函数：①正弦函数f(x)=sinx；②余弦函数f(x)=cosx；③正切函数f(x)=tanx。4.分析函数f(x)=x^3-3x的极值点。参考答案：函数f(x)=x^3-3x的极值点为x=±1。5.简述函数图像平移变换的规律。参考答案：函数图像平移变换的规律：①函数y=f(x)的图像向左平移a个单位，得到函数y=f(x+a)的图像；②函数y=f(x)的图像向右平移a个单位，得到函数y=f(x-a)的图像；③函数y=f(x)的图像向上平移b个单位，得到函数y=f(x)+b的图像；④函数y=f(x)的图像向下平移b个单位，得到函数y=f(x)-b的图像。6.列举两个函数不具有连续性的例子。参考答案：两个函数不具有连续性的例子：①分段函数f(x)={x,x0;1/x,x0}；②函数f(x)=1/x在x=0处无定义。7.说明函数f(x)=1/x在定义域内的渐近线。参考答案：函数f(x)=1/x在定义域内的渐近线为x=0和y=0。8.分析函数f(x)=e^x与g(x)=lnx图象之间的关系。参考答案：函数f(x)=e^x与g(x)=lnx图象之间的关系：①f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数；②f(x)=e^x的图像与g(x)=lnx的图像关于直线y=x对称；③f(x)=e^x在(0,+∞)上单调递增，g(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增；④f(x)=e^x在(0,+∞)上无界，g(x)=lnx在(0,+∞)上无界。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数的极值点。参考答案：极值点为x=0和x=22.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？请说明理由。参考答案：最小值为33.判断函数h(x)=e^x-x在(-∞,+∞)上的单调性。参考答案：单调递增4.求函数y=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为√2，最小值为-15.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，求a+b+c的值。参考答案：a+b+c=06.函数g(x)=x^3-3x+1的图像与x轴交于三个点，求这三个交点的横坐标之和。参考答案：横坐标之和为07.判断函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1在(1,2)上是否存在零点，并说明理由。参考答案：存在零点8.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为-2，求a和b的值。参考答案：a=4，b=5标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。最大值为3。2.参考答案：C解析：|x-1|+|x+1|=|x-1|+|-(x+1)|，图像关于y轴对称。3.参考答案：A解析：h(x)=√(1+a^2)sin(x+φ)，最大值为√(1+a^2)。√(1+a^2)=√2，a=1。4.参考答案：A解析：p(x)=(x-a)^2+3-a^2，最小值在x=a处取得。x=1时取得最小值，a=1。5.参考答案：A解析：q'(x)=e^x-1，令q'(x)=0得x=0。在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。6.参考答案：C解析：x^2-2x+30恒成立，定义域为(-∞,3]。7.参考答案：D解析：tan(x)图像向右平移1个单位得到s(x)图像。8.参考答案：C解析：t'(x)=3x^2-3，令t'(x)=0得x=±1。t(-1)=2，t(1)=-2，存在两个零点。9.参考答案：A解析：令2^x=x^2，在(0,2)上有两个交点。10.参考答案：B解析：v(x)=sin(2x)/2，在(0,π)上最大值为1/2，但v(π/4)=1/2，v(π/2)=0，v(3π/4)=1/2，最大值为1/2。二、填空题1.参考答案：2解析：f'(x)=3x^2-3,令f'(x)=0得x=±1.f(-2)=-10,f(1)=-2,f(2)=2.最大值为2.2.参考答案：-1/4解析：g'(x)=-1/x^2,g'(2)=-1/4.g'(-2)=-1/4.3.参考答案：3解析：h(x)在x=-2时取最小值,h(-2)=3.4.参考答案：2π解析：m(x)=2sin(x)+1-sin^2(x)=-sin^2(x)+2sin(x)+1.T=2π/|ω|=2π/1=2π.5.参考答案：-3解析：对称轴x=-1/2,b=1.n(1)=a+b+c=0,n(2)=4a+2b+c=3.解得a=-3,b=1,c=2.6.参考答案：单调递增解析：p'(x)=e^x-10对x0恒成立.7.参考答案：√2解析：q'(x)=1/xln(a),q'(2)=1/(2ln(a))=1/2.ln(a)=1,a=e.8.参考答案：x=1,x=-1解析：r(x)在x=±1处无定义.9.参考答案：π解析：s(x)=1/2sin(2x).对称轴x=π/4+kπ/2,令k=0得x=π/4.最小正周期T=2π/2=π.10.参考答案：4解析：t'(x)=3x^2-2ax+b,t'(1)=3-2a+b=0,t(1)=1-a+b=0.解得a=2,b=-1.a+b=1.三、判断题1.参考答案：√解析：对于函数f(x)=x^3，其导数f'(x)=3x^2。由于3x^2≥0对所有实数x都成立，且仅当x=0时取等号，因此f'(x)在定义域R上恒非负，根据导数与单调性的关系可知f(x)在R上单调递增。2.参考答案：√解析：根据奇函数的定义，若f(x)是奇函数，则对任意x∈定义域有f(-x)=-f(x)。这意味着函数图像关于原点对称，因为点(x,f(x))在图像上当且仅当点(-x,-f(x))也在图像上，这正符合中心对称的定义。3.参考答案：√解析：函数f(x)=1/x的导数为f'(x)=-1/x^2。在区间(0,+∞)上，x^20，因此-1/x^20，即f'(x)0。根据导数与单调性的关系可知，f(x)在(0,+∞)上单调递减。4.参考答案：√解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为f(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函数sin(x)的最小正周期是2π，因此f(x)的最小正周期也是2π。这可以通过周期函数的定义证明：设T是最小正周期，则f(x+T)=√2sin((x+T)+π/4)=√2sin(x+π/4+2πk)=√2sin(x+π/4)=f(x)，解得T=2π。5.参考答案：√解析：根据反函数的性质，若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)在对应区间(b,a)上单调递增。由于单调递增函数的反函数仍保持单调递增的性质，因此f^(-1)(x)在区间(a,b)上单调递增。6.参考答案：×解析：函数f(x)=|x|在x=0处不可导。虽然f(x)在x=0处连续，但其左右导数不相等：左导数f'_-(0)=lim(h→0-)-h/h=-1，右导数f'_+(0)=lim(h→0+)h/h=1。由于左右导数不相等，f(x)在x=0处不可导。此外，在x≠0处，f(x)的导数为f'(x)=sign(x)={1,x0;-1,x0}，这也是不可导的。7.参考答案：×解析：函数在x=c处取得极值仅是极值存在的必要条件而非充分条件。根据费马定理，可导函数在极值点处的导数必为0，但反命题不成立。例如函数f(x)=x^3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点。只有当导数在该点两侧变号时，该点才是极值点。8.参考答案：√解析：函数f(x)=e^x+1是指数函数e^x的平移，其定义域为(-∞,+∞)。由于e^x在(-∞,+∞)上无界，且平移不改变无界性，因此f(x)在定义域内也无界。具体来说，当x→+∞时，f(x)→+∞；当x→-∞时，f(x)→1。9.参考答案：×解析：复合函数f(g(x))的单调性与外函数f和内函数g的单调性关系比较复杂。例如，设f(x)=-x在(-∞,+∞)上单调递减，g(x)=x在(-∞,+∞)上单调递增，则复合函数f(g(x))=-x在(-∞,+∞)上单调递减。但若g(x)=-x在(-∞,+∞)上单调递减，则f(g(x))=-(-x)=x在(-∞,+∞)上单调递增。因此，外函数与内函数单调性相同时，复合函数不一定保持相同单调性。10.参考答案：√解析：根据对数函数的性质，当底数a1时，对数函数y=log_a(x)在定义域(0,+∞)上单调递增。这可以通过导数证明：设a1，则y=log_a(x)的导数为y'=1/(xln(a))。由于x0且ln(a)0，因此y'0对所有x0成立，根据导数与单调性的关系可知y=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数（或减函数）。解析：本题考查函数单调性的定义。函数单调性是函数的重要性质之一，定义中需要注意三点：①任意两个自变量x1，x2；②x1x2；③f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）。只有满足这三个条件，才能说函数在该区间上是增函数或减函数。例如，函数f(x)=x^2在(-∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数，但在(-∞,+∞)上不是单调函数。2.参考答案：判断函数奇偶性的方法：①根据定义判断，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数；如果这两个等式都不成立，那么函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。②利用函数图像的对称性判断，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。③利用函数解析式判断，如果函数解析式可以化简为f(x)=g(-x)的形式，那么函数是偶函数；如果可以化简为f(x)=-g(-x)的形式，那么函数是奇函数。解析：本题考查函数奇偶性的判断方法。判断函数奇偶性需要根据函数的定义域和解析式进行分析。例如，函数f(x)=x^3是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)；函数f(x)=x^2是偶函数，因为对于任意x，都有f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。3.参考答案：三个常见的具有周期性的函数：①正弦函数f(x)=sinx；②余弦函数f(x)=cosx；③正切函数f(x)=tanx。解析：本题考查函数的周期性。周期函数是指函数值在某个固定的区间内重复出现的函数。正弦函数、余弦函数和正切函数都是常见的周期函数，它们的周期分别为2π，2π和π。例如，sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx。4.参考答案：函数f(x)=x^3-3x的极值点为x=±1。解析：本题考查函数的极值点。首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。然后判断导数的符号变化，当x-1时，f'(x)0；当-1x1时，f'(x)0；当x1时，f'(x)0。因此，x=-1是极大值点，x=1是极小值点。5.参考答案：函数图像平移变换的规律：①函数y=f(x)的图像向左平移a个单位，得到函数y=f(x+a)的图像；②函数y=f(x)的图像向右平移a个单位，得到函数y=f(x-a)的图像；③函数y=f(x)的图像向上平移b个单位，得到函数y=f(x)+b的图像；④函数y=f(x)的图像向下平移b个单位，得到函数y=f(x)-b的图像。解析：本题考查函数图像的平移变换。函数图像的平移变换是函数性质的重要应用之一，需要掌握平移的方向和距离与函数解析式的关系。例如，函数f(x)=sinx的图像向右平移π/2个单位，得到函数g(x)=sin(x-π/2)的图像，即g(x)=-cosx。6.参考答案：两个函数不具有连续性的例子：①分段函数f(x)={x,x0;1/x,x0}；②函数f(x)=1/x在x=0处无定义。解析：本题考查函数的连续性。函数在某点连续需要满足三个条件：①函数在该点有定义；②函数在该点的极限存在；③函数在该点的极限值等于函数值。如果这三个条件中有任何一个不满足，那么函数在该点不连续。例如，分段函数f(x)={x,x0;1/x,x0}在x=0处不连续，因为函数在x=0处无定义；函数f(x)=1/x在x=0处不连续，因为函数在x=0处的极限不存在。7.参考答案：函数f(x)=1/x在定义域内的渐近线为x=0和y=0。解析：本题考查函数的渐近线。渐近线是函数图像在无限远处逐渐接近的直线。函数f(x)=1/x的图像在x轴和y轴两侧无限延伸，但永远不会与x轴和y轴相交，因此x=0和y=0是函数的渐近线。例如，当x趋近于0时，f(x)趋近于无穷大或无穷小；当x趋近于无穷大或无穷小时，f(x)趋近于0。8.参考答案：函数f(x)=e^x与g(x)=lnx图象之间的