初三数学-第07讲-反比例函数（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲-----反比例函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标理解反比例函数的定义，熟练利用待定系数法求解表达式；熟练掌握反比例函数的图像与性质；掌握反比例函数与一次函数的相关应用，学会利用函数图像解决问题；掌握系数K的几何意义并解决问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识梳理知识概念（一）反比例与反比例函数1、成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。2、反比例函数（1）定义（2）反比例函数解析式的特征=1\*GB3①等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.=2\*GB3②比例系数=3\*GB3③自变量的取值为一切非零实数。=4\*GB3④函数的取值是一切非零实数。（3）待定系数法反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。（二）反比例函数的图像与性质1、图像的画法：描点法（列表、描点、连线）2、图像特征：（1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形。（3）系数的几何意义：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。（三）反比例函数与直线相交问题1、解决直线与双曲线的交点问题时，就是将反比例函数与直线联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；2、判断直线与双曲线有无公共点，可用△=b2-4ac来确定；3、交点个数可以通过△的正负判断：1）△＞0，有两个交点；2）△=0，只有一个交点；3）△＜0，没有交点。（四）用反比例函数图解不等式1、比较反比例函数的大小1）利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图形比较大小；2）根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号。2、利用函数图像解不等式模型建立：如图，一次函数y=kx+b的图像与反比函数y=EQ\F(k,x)的图像相交于M,N两点。利用图中图像求反比例和一次函数的解析式；根据图像写出关于的方程kx+b=EQ\F(k,x)的解；根据图像写出关于x的不等式：kx+b＜EQ\F(k,x)的解集。3、求线段的最值1）给出x与y的取值范围，求线段最短或最长距离转换成求两点之间的距离，并结合反比例图像的对称性质计算；2）求反比例函数外的点到反比例函数上点通过对称性质，转换到同一线段求解。4、系数“K”的几何意义：求图形的面积或已知面积求K值1）反比例函数上的任意一个点的面积(向x轴、y轴作垂线形成的矩形，或者与原点形成的三角形面积分别为∣k∣、EQ\F(∣k∣,2)；2）技巧：求解析式或面积都必须转换成反比例函数上的点计算。考点一：反比例函数的定义与表达式例1、下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】A．例2、函数是反比例函数，则m的值是（）A．m=±1 B．m=1 C．m=± D．m=﹣1【解析】D．考点二：反比例函数的图像及性质例1、对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于直线y=﹣x对称 D．关于x轴对称【解析】D．例2、如图，在同一直角坐标系中，函数y=与y=kx+k2的大致图象是（）A． B． C． D．【解析】∴当k＞0时，直线经过一二三象限，双曲线分布在一三象限，与各选项不符；当k＜0时，直线经过一二四象限，双曲线分布在二四象限，与C选项符合，故选C．例3、已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（）A．﹣2＜y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣4＜y＜0 D．0＜y＜1【解析】C．考点三：系数K的几何意义例1、如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A．﹕1 B．2﹕ C．2﹕1 D．29﹕14【解析】∵B、C反比例函数y2=的图象上，∴S△ODB=S△OAC=×3=，∵P在反比例函数y1=的图象上，∴S矩形PDOC=k1=6++=9，∴图象C1的函数关系式为y=，∵E点在图象C1上，∴S△EOF=×9=，∴==3，∵AC⊥x轴，EF⊥x轴，∴AC∥EF，∴△EOF∽△AOC，∴=，故选：A．例2、如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A． B． C． D．12【解析】∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD=3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣﹣•（b﹣）=9，∴k=，故选C．考点四：反比例函数与一次函数例1、正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【解析】B．例2、如图，反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．（1）求这两个函数解析式；（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求m的值．【解析】（1）∵A（2，2）在反比例函数的图象上，∴k=4．∴反比例函数的解析式为．又∵点B（，n）在反比例函数的图象上，∴，解得：n=8，即点B的坐标为（，8）．由A（2，2）、B（，8）在一次函数y=ax+b的图象上，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣4x+10．（2）将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y=﹣4x+10﹣m，∵直线y=﹣4x+10﹣m与双曲线有且只有一个交点，令，得4x2+（m﹣10）x+4=0，∴△=（m﹣10）2﹣64=0，解得：m=2或m=18．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（）A．匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系B．体积一定时，物体的质量与密度的关系C．质量一定时，物体的体积与密度的关系D．长方形的长一定时，它的周长与宽的关系【解析】C．2、函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（）A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或2【解析】C．3、当k＞0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是（）A． B． C． D．【解析】C．4、已知点P（x，y）满足，则经过点P的反比例函数y=的图象经过（）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限【解析】C．5、在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解析】A．6、若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y37、如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为（）A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6【解析】C．8、如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小【解析】AC=m﹣1，CQ=n，则S四边形ACQE=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，∴mn=k=4（常数）．∴S四边形ACQE=AC•CQ=4﹣n，∵当m＞1时，n随m的增大而减小，∴S四边形ACQE=4﹣n随m的增大而增大．故选B．9、如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C（1，3），过点C的直线y=kx+b〔k＜0〕与x轴交于点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求△COD的面积．【解析】（1）∵点C（1，3）在反比例函数图象上，∴k=1×3=3，∴；（2）当x=3时，y==1，∴D（3，1）．∵C（1，3）、D（3，1）在直线y=k2x+b上，∴，∴．∴y=﹣x+4．令y=0，则x=4，∴A（4，0），∴S△COA=×4×3=6，S△DOA=×4×1=2，∴△COD的面积=S△COA﹣S△DOA=6﹣2=4．10、已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：（3）根据函数图象，求不等式＞2x﹣1的解集；（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，∴b=2a﹣1①，2a+2k﹣1=b+k+2②，∴整理②得：b=2a﹣1+k﹣2，∴由①②得：2a﹣1=2a﹣1+k﹣2，∴k﹣2=0，∴k=2，∴反比例函数的解析式为：y==；（2）解方程组，解得：，，∴A（1，1），B（，﹣2）；（3）根据函数图象，可得出不等式＞2x﹣1的解集；即0＜x＜1或x；（4）当AP1⊥x轴，AP1=OP1，∴P1（1，0），当AO=OP2，∴P2（，0），当AO=AP3，∴P3（2，0），当AO=P4O，∴P4（﹣，0）．∴存在P点P1（1，0），P2（，0），P3（2，0），P4（﹣，0）．课后反击1、下列函数中，y是x的反比例函数有（）（1）y=3x；（2）y=﹣；（3）；（4）﹣xy=3；（5）；（6）y=2x﹣2；（7）．A．（2）（4） B．（2）（3）（5） C．（2）（7） D．（1）（3）（4）（6）【解析】A．2、已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣【解析】B．3、函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解析】D．4、已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2） B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则0＞y＞﹣2【解析】B．5、如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1=S2＞S3 D．S1=S2＜S3【解析】∵点A在y=上，∴S△AOC=k，∵点P在双曲线的上方，∴S△POE＞k，∵点B在y=上，∴S△BOD=k，∴S1=S2＜S3．故选D．6、如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数（x＜0）上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大 B．先减后增 C．逐渐减小 D．先增后减【解析】设点P的坐标为（x，﹣），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）•BO=（﹣x+AO）•﹣=2﹣，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个增函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐增大．故选A．7、若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【解析】D．8、如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD=5：3，则k=（）A．6 B．12 C．24 D．36【解析】由题意，设点D的坐标为（xD，yD），则点B的坐标为（xD，yD），矩形OABC的面积=|xD×yD|=，∵图象在第一象限，∴k=xD•yD=12．故选B．9、如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D．（1）①求反比例函数的解析式与点D的坐标；②直接写出△ODE的面积；（2）若P是OA上的动点，求使得“PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式．【解析】（1）①连接OB，则O、E、B三点共线．∵B的坐标是（6，4），E是矩形对角线的交点，∴E的坐标是（3，2），∴k=3×2=6，则函数的解析式是y=．当y=4时，x=1.5，即D的坐标是（1.5，4）；②S△OBC=BC•OC=×6×4=12，S△OCD=OC•CD=×4×1.5=3，S△BDE=×（6﹣1.5）×2=4.5，则S△ODE=S△OBC﹣S△OCD﹣S△BDE=12﹣3﹣3﹣4.5=4.5；（2）作E关于OA轴的对称点E'，则E'的坐标是（3，﹣2）．连接E'D，与x轴交点是P，此时PO+PE最小．设y=mx+n，把E'和D的坐标代入得：，解得：，则直线PE的解析式是y=﹣4x+10．直击中考直击中考1、【2009•深圳】如图，反比例函数y=﹣EQ\F(4,x)的图象与直线y=﹣EQ\F(1,3)x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．2【解析】A．2、【2011•鞍山】在同一个直角坐标系中，函数y=kx和的图象的大致位置是（）A．B． C．D．【解析】B．3、【2016•深圳】如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经