2026年线性代数自考试题及答案

2026年线性代数自考试题及答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.行列式12A.2B.−C.5D.−2.设A=120A.2B.4C.2D.43.设A为3阶方阵，且|A|A.−B.−C.4D.164.向量组α1=(1,A.1B.2C.3D.05.设齐次线性方程组Ax=0，其中A为4A.2B.3C.4D.56.设A为n阶矩阵，下列条件中可判断A可逆的是A.|B.RC.存在B使AD.Ax7.矩阵A=A.0B.1C.1D.38.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A.A有n个不同的特征值B.A有n个线性无关的特征向量C.A是实对称矩阵D.A的行列式不为零9.二次型f(A.2B.2C.2D.210.设二次型f(A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.三阶行列式122.设A=123.设A=114.设A=(1,25.向量组α1=(1,6.设A为3×5矩阵，R(7.设λ=2是矩阵A=308.矩阵A=9.二次型f(10.设A为实对称矩阵，f=xT三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.计算行列式D=DD2.设A=1234，B$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$于是$$X=A^{-1}B

=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}3&5\\5&9\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&3\end{pmatrix}$$3.讨论λ取何值时，线性方程组$$\begin{cases}

\lambdax_1+x_2+x_3=1,\\

x_1+\lambdax_2+x_3=\lambda,\\

x_1+x_2+\lambdax_3=\lambda^2

\end{cases}$$有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。答案：当λ≠1且当λ=当λ=$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}

+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}

+t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}

\quad(s,t\in\mathbb{R})$$解析：系数行列式为$$|A|=

\begin{vmatrix}

\lambda&1&1\\

1&\lambda&1\\

1&1&\lambda

\end{vmatrix}

=(\lambda-1)^2(\lambda+2)$$当λ≠1且λ≠当λ=1时，方程组三个方程均为x1+x2+当λ=−2时，将三个方程左右分别相加，左边系数和为0，右边为14.求向量组$$\alpha_1=(1,0,1,0)^T,\quad

\alpha_2=(0,1,1,0)^T,\quad

\alpha_3=(1,1,2,0)^T,\quad

\alpha_4=(2,1,3,0)^T$$的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。答案：秩为2，一个极大线性无关组为α1$$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2,\quad

\alpha_4=2\alpha_1+\alpha_2$$解析：以α1$$A=

\begin{pmatrix}

1&0&1&2\\

0&1&1&1\\

1&1&2&3\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}$$对A作初等行变换：$$\begin{pmatrix}

1&0&1&2\\

0&1&1&1\\

1&1&2&3\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_3-r_1}

\begin{pmatrix}

1&0&1&2\\

0&1&1&1\\

0&1&1&1\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_3-r_2}

\begin{pmatrix}

1&0&1&2\\

0&1&1&1\\

0&0&0&0\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}$$非零行数为2，故秩为2。前两列对应向量α1$$\alpha_3=(1,1,2,0)^T=\alpha_1+\alpha_2,

\quad

\alpha_4=(2,1,3,0)^T=2\alpha_1+\alpha_2$$5.求矩阵A=k其中k1对应于λ=k其中k≠解析：特征多项式为$$|\lambdaE-A|=

\begin{vmatrix}

\lambda-1&-2&-2\\

-2&\lambda-1&-2\\

-2&-2&\lambda-1

\end{vmatrix}

=(\lambda+1)^2(\lambda-5)$$令其为0，得特征值λ1=λ当λ=−1x取两个线性无关的特征向量(−1,当λ=5时，解(5E−6.求一个正交变换x=f化为标准形，并写出该标准形。答案：取$$Q=

\begin{pmatrix}

\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\

\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\

\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}

\end{pmatrix}$$则经正交变换x=f解析：二次型对应的实对称矩阵为$$A=

\begin{pmatrix}

2&1&1\\

1&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}$$其特征值为λ1=4对应λ1=4q对应λ2=λ3=1的特征向量满足$$q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T,\quad

q_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$$令Q=(qQ故正交变换x=Qy四、证明题（本大题共1小题，共6分）1.设A为n阶矩阵，且A2=A。证明：A的特征值只能是0参考答案与解析一、单项选择题1.答案：B解析：1×2.答案：B解析：按矩阵乘法逐项计算，(AB)11=1×3.答案：A解析：|−4.答案：B解析：三个向量构成的行列式为零，故秩小于3；α15.答案：B解析：基础解系所含向量个数等于未知量个数减系数矩阵的秩，即5−6.答案：C解析：存在B使AB=E，则|A|7.答案：C解析：A为对角矩阵，其特征值为对角线元素1,8.答案：B解析：矩阵与对角矩阵相似的充要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量。有n个不同特征值和实对称矩阵均为充分条件。9.答案：C解析：二次型矩阵为实对称矩阵，交叉项系数4对应a1210.答案：D解析：三个变量平方项系数均为正，正惯性指数为3。二、填空题1.答案：22.答案：13.答案：14.答案：145.答