2027届山东省泰安市泰山区数学九年级第一学期期末监测试题含解析

2027届山东省泰安市泰山区数学九年级第一学期期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，为的直径，和分别是半圆上的三等分点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．2．如图，是二次函数图象的一部分，在下列结论中：①；②；③有两个相等的实数根；④；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知关于轴对称点为，则点的坐标为()A． B． C． D．4．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（）A． B． C． D．5．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（）A． B． C． D．6．如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．202.5cm2 B．320cm2 C．400cm2 D．405cm27．某地区在一次空气质量检测中，收集到5天的空气质量指数如下：81，70，56，61，81，这组数据的中位数和众数分别是（）A．70，81 B．81，81 C．70，70 D．61，818．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（）A． B． C． D．9．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了()A．50m B．100m C．120m D．130m10．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③二、填空题(每小题3分,共24分)11．方程2x2－6x－1＝0的负数根为___________.12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是_____．13．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为_____．14．若方程的解为，则的值为_____________．15．数学课上，老师在投影屏上出示了下列抢答题，需要回答横线上符号代表的内容◎代表__________________，@代表_________________。16．如图，矩形对角线交于点为线段上一点，以点为圆心，为半径画圆与相切于的中点交于点，若，则图中阴影部分面积为________________.17．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，则四边形的面积为______．18．将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：（1）如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；（2）如图2，再将纸片分别沿EC，BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O．那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．20．（6分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中，m=．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有个实数根.③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．21．（6分）在矩形中，，，是射线上的点，连接，将沿直线翻折得．（1）如图①，点恰好在上，求证：∽；（2）如图②，点在矩形内，连接，若，求的面积；（3）若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长为．22．（8分）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．（1）求直线AC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b（k≠0）与双曲线一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B两点．（1）求m的值；（2）求△ABO的面积；24．（8分）如图，在中，，，，P是BC上一动点，过P作AP的垂线交CD于E，将翻折得到，延长FP交AB于H，连结AE，PE交AC于G.（1）求证；（2）当时，求AE的长；（3）当时，求AG的长.25．（10分）如图，平面直角坐标中，把矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根（OA＞OC）．（1）求A、C的坐标．（2）直接写出点E的坐标，并求出过点A、E的直线函数关系式．（3）点F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以点O、B、P、F为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，已知是的外接圆，圆心在的外部，，，求的半径.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】阴影的面积等于半圆的面积减去△ABC和△ABD的面积再加上△ABE的面积，因为△ABE的面积是△ABC的面积和△ABD的面积重叠部分被减去两次，所以需要再加上△ABE的面积，然后分别计算出即可.【详解】设相交于点和分别是半圆上的三等分点，为⊙O的直径..，如图，连接，则，故选.此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE的面积是解题的关键.2、C【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断．【详解】解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，

与y轴的交点为在y轴的负半轴上可推出c=-1＜0，

对称轴为，a＞0，得b＜0，

故abc＞0，故①正确；

由对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点交于（2，0），（3，0）之间，则另一个交点在（0，0），（-1，0）之间，

所以当x=-1时，y＞0，

所以a-b+c＞0，故②正确；

抛物线与y轴的交点为（0，-1），由图象知二次函数y=ax2+bx+c图象与直线y=-1有两个交点，

故ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根，故③错误；

由对称轴为直线，由图象可知，所以-4a＜b＜-2a，故④正确．

所以正确的有3个，故选：C．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．3、D【分析】利用关于x轴对称的点坐标的特点即可解答.【详解】解：∵关于轴对称点为∴的坐标为（-3，-2）故答案为D.本题考查了关于x轴对称的点坐标的特点，即识记关于x轴对称的点坐标的特点是横坐标不变，纵坐标变为相反数.4、A【解析】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案．【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，，，点是线段的黄金分割点，，，．所以线段的长度是，故选：．本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个．5、B【解析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B=120°，得到阴影部分的面积=-，得到空白部分的面积=+，于是得到结论．【详解】解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，则O1O2垂直平分AB

∴AO1=AO2=O1O2=BO1=1，

∴△AO1O2是等边三角形，

∴∠AO1O2=60°，AB=2AO1sin60°=

∴∠AO1B=120°，∴阴影部分的面积=2×（）=-，

∴空白部分和阴影部分的面积和=2π-（-）=+，

∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为≈，

故选B．此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．6、C【分析】先根据正方形的性质、相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用勾股定理可求出x的值，然后根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【详解】∵四边形CDEF为正方形，∴，，∴，，∵，，设，则，∴，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），，则剩余部分的面积为，故选：C．本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，利用正方形的性质找出两个相似三角形是解题关键．7、A【分析】根据中位数的定义和众数的定义即可得出结论.【详解】解：将这5天的空气质量指数从小到大排列后为：56，61，70，81，81，故这组数据的中位数为：70根据众数的定义，出现次数最多的数据为81，故众数为81.故选：A.此题考查的是求一组数据的中位数和众数，掌握中位数的定义和众数的定义是解决此题的关键.8、A【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【详解】解：，，在中，，设半径为得：，解得：，这段弯路的半径为故选A．本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．9、A【分析】根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB的长度即可求得AC的值，即可解题．【详解】解：如图，根据题意知AB=130米，tanB==1：2.4，设AC=x，则BC=2.4x，则x2+（2.4x）2=1302，解得x=50（负值舍去），即他的高度上升了50m，故选A．本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题．10、D【详解】∵在▱ABCD中，AO=AC，∵点E是OA的中点，∴AE=CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∵AD=BC，∴AF=AD，∴；故①正确；∵S△AEF=4，=（）2=，∴S△BCE=36；故②正确；∵=，∴=，∴S△ABE=12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选D．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．【详解】△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，x==，所以x1=＞1，x2=＜1．即方程的负数根为x=．故答案为x=．本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．12、1【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝10°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．【详解】解：作直径CD，如图，连接BD，∵CD为⊙O直径，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝10°，∴BD＝BC＝×1＝1，∴CD＝2BD＝12，∴OC＝1，即⊙O的半径是1．故答案为1．本题主要考查圆周角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握圆周角的性质.13、4【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，根据勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2）2，解得：x=4，∴EC=4，则S△AEC=EC•AD=4．故答案为4．本题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．14、【分析】根据根与系数的关系可得出、，将其代入式中即可求出结果．【详解】解：∵方程的两根是，

∴、，

∴．

故答案为：．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记如果一元二次方程有两根，那么两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．15、∠EFC内错角【分析】根据图形，结合三角形外角的性质、等量代换、平行线的判定即可将解答补充完整.【详解】证明：延长BE交DC于点F，则（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）.又，得，故（内错角相等，两直线平行）.故答案为：∠EFC；内错角.本题考查了三角形外角的性质、平行线的判定，通过作辅助线，构造内错角证明平行，及有效地进行等量代换是证明的关键.16、【分析】连接BG，根据切线性质及G为中点可知BG垂直平分AO，再结合矩形性质可证明为等边三角形，从而得到∠ABD=60°，∠ADB=30°，再利用30°角直角三角形的三边关系求出AB，然后求出和扇形BEF的面积，两者相减即可得到阴影部分面积．【详解】连接BG，由题可知BG⊥OA，∵G为OA中点，∴BG垂直平分OA，∴AB=OB，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OB=OD=OC，∠BAD=90°，∴AB=OB=OA，即为等边三角形，∴∠ABO=∠BAO=60°，∴∠ADB=30°，∠ABG=30°，在中，∠ADB=30°，AD=，∴AB=OA=2，在中，∠ABG=30°，AB=2，∴AG=1，BG=，∴，又∵，∴．故答案为：．本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，含30°角的直角三角形的三边关系以及等边三角形的判定与性质，较为综合，需熟练掌握各知识点．17、3【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可分别求得△OBD、△OAC、矩形PDOC的面积，据此可求出四边形PAOB的面积.【详解】解：如图，

∵A、B是反比函数上的点，

∴S△OBD=S△OAC=，∵P是反比例函数上的点，

∴S矩形PDOC=4，

∴S四边形PAOB=S矩形PDOC-S△ODB--S△OAC=4--=3，故答案是：3.本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．18、【分析】根据折叠的性质得到BE＝AB，根据矩形的性质得到AB＝CD，△BOE∽△DOC，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：由折叠的性质得到BE＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，△BOE∽△DOC，∴△BOE与△DOC的相似比是，∴点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是．故答案为：．本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，还考查了操作、推理、探究等能力，是一道好题．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）30°.【解析】(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线；(2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数.【详解】解：(1)连结OC.∵平分，∴∠BAC=∠DAC.又OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∴∠OCA=∠DAC,∴OC∥AD.∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.(2)连结BC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADC=90°.又∠BAC=∠DAC,∴△ACB∽△ADC.∴,,,∴AC=.在Rt△ACB中,cos∠BAC=,∴∠BAC=30°.本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定及锐角三角函数的知识.连接半径是证明切线的一种常用辅助线的做法,求角的度数可以借助于三角函数.20、（1）1；（2）作图见解析；（3）①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（4）3，3，2，﹣1＜a＜1．【解析】（1）把x=-2代入y=x2-2|x|得y=1，

即m=1，

故答案为：1；

（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；

（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2-2|x|=1有3个实数根；

②如图，∵y=x2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，

∴x2-2|x|=2有2个实数根；

③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根，

∴a的取值范围是-1＜a＜1，

故答案为：3，3，2，-1＜a＜1．21、（1）见解析；（2）的面积为；（3）、5、1、【分析】（1）先说明∠CEF=∠AFB和，即可证明∽；（2）过点作交与点，交于点，则；再结合矩形的性质，证得△FGE∽△AHF，得到AH=5GF；然后运用勾股定理求得GF的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；（3）分点E在线段CD上和DC的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．【详解】（1）解：∵矩形中，∴由折叠可得∵∴∴在和中∵，∴∽（2）解：过点作交与点，交于点，则∵矩形中，∴由折叠可得：，，∵∴∴在和中∵∴∽∴∴∴在中，∵∴∴∴的面积为（3）设DE=x，以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则：①当点E在线段CD上时，∠DAE<45°，∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，∴∠CEF<90°，∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，a,当∠EFC=90°时，如图所示:由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFE+∠EFC=90°，∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=，由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，∴CF=AC-AF=-5，在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，∴x2+（-5）2=（3-x）2，解得x=即：DE=b,当∠ECF=90°时，如图所示:点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，∴CF=BC-BF=1，在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，（3-x）2+12=x2,解得x=,即：DE=；②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，∴∠CFE<90°，∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，a、当∠CEF=90°时，如图所示由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，∴四边形AFED是正方形，∴DE=AF=5；b、当∠ECF=90°时，如图所示:∵∠ABC=∠BCD=90°，∴点F在CB的延长线上，∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，∴CF=BC+BF=9，在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴（x-3）2+92=x2，解得x=1，即DE=1，故答案为、、5、1．本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．22、（1）直线的解析式为；（2）当的长度最大时，点的坐标为．【分析】（1）根据题意，先求出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出答案；（2）根据题意，利用m表示DE的长度，然后根据二次函数的性质，即可求出点D的坐标.【详解】解（1）当时，．，．点的坐标是．当时，．点的坐标是．设直线的解析式为,，解得：．直线的解析式为：．（2）如图：设点的横坐标为．则点的坐标为，点的坐标为．所以．∵，∴当时，线段长度最大．将代入，得．∴当的长度最大时，点的坐标为．本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，解答时，注意待定系数法的灵活运用．23、（1）m=4,（1）△ABO的面积为1．【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线即可求得m的值；（1）将点P代入直线，先求出直线的解析式，进而得出点A、B的坐标，从而得出△ABO的面积．【详解】（1）∵点P(1，m)在双曲线上∴m=解得：m=4（1）∴P(1，4)，代入直线得：4=1+b，解得：b=1，故直线解析式为y=x+1A，B两点时直线与坐标轴交点，图形如下：则A(－1，0)，B(0，1)∴．本题考查一次函数与反比例函数的综合，注意提干中告知点P是双曲线与直线的交点，即代表点P即在双曲线上，也在直线上．24、（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）先证明P、C、F共线，由余角的性质可证，根据等角对等边证明，再由余角的性质证明和等角对等边证明，结论可证；（2）过A作于M，由勾股定理可求BC=4，然后求出MP的长，再由勾股定理求出AP的长，由是等腰直角三角形可求出AE的长；（3）通过证明，可得，由外角的性质可求出∠PAF=F=22.5°，再根据角的和差和三角形内角和定理证明，然后求出，然后通过证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，，∴，∴，又∵，∴