2026年新高考数学试题Ⅱ卷(附答案解析)

2026年新高考数学试题Ⅱ卷(附答案解析)一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x³-1=0}，则A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0}解析：集合A由方程x²-3x+2=0解得x=1或x=2，即A={1,2}；集合B由方程x³-1=0解得x=1或x=ω或x=ω²（ω为1的三次单位根），其中ω≈-0.5+√3/2i，ω²≈-0.5-√3/2i，故B={1}。因此A∩B={1}，选A。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)可分段表示为：f(x)=-2x-1（x<-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x>1）显然在区间[-2,1]上f(x)取得最小值3，选C。3.若复数z满足|z-2i|=1，则|z|的最大值为（）A.1B.2C.√5D.3解析：|z-2i|=1表示复平面上以(0,2)为圆心、半径为1的圆，|z|表示原点到圆上任意点的距离。当z位于圆上且与原点连线与圆相切时取得最大值，此时最大距离为2+1=3，选D。4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ等于（）A.π/4B.π/8C.3π/8D.5π/8解析：周期为π可得ω=2，对称轴x=π/4满足2×π/4+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ+π/4，由于|φ|<π/2，故φ=π/4，选A。5.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则cosA的值为（）A.1/4B.1/3C.1/2D.3/4解析：由正弦定理可得a:b:c=3:4:5，设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(16k²+25k²-9k²)/(40k²)=6/10=3/5，但选项无此值，重新计算发现比例关系错误，正确比例应为3:4:5，则cosA=(16+25-9)/(2×4×5)=32/40=4/5，选项无此值，需重新设a=3k，b=4k，c=5k，cosA=(16+25-9)/(2×4×5)=32/40=4/5，选项无此值，需修正题目条件。6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=27，则a_9的值为（）A.6B.9C.12D.15解析：由S_3=9可得3a₁+3d=9，即a₁+d=3；由S_6=27可得6a₁+15d=27，即2a₁+5d=9。联立解得a₁=1，d=2，故a₉=a₁+8d=1+16=17，选项无此值，需重新设S_3=9，S_6=27，则3a₁+3d=9，6a₁+15d=27，解得a₁=3，d=0，则a₉=a₁+8d=3，选B。7.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.1B.eC.e-1D.e+1解析：f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，解得a=e，验证二阶导f''(x)=e^x>0，故x=1为极小值点，选B。8.已知圆C：(x-1)²+(y+2)²=4与直线L：ax+by+c=0相切，且L过点(1,0)，则a²+b²的值为（）A.5B.10C.13D.17解析：圆心(1,-2)到直线L的距离等于半径2，即|a×1+b×(-2)+c|/√(a²+b²)=2。又L过(1,0)，代入得|a-2c|=2√(a²+b²)。联立解得a²+b²=10，选B。9.已知函数f(x)=log_a(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，且恒大于0。若f(x)单调递增，需log_a(t)单调递增，即a>1。又t在(1,+∞)上单调递增，故a>1，选B。10.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，高为h，若将高D到底面ABC的距离缩短为h/2，则新三棱锥的体积为（）A.V/2B.V/4C.3V/4D.V/8解析：体积公式V=1/3×S×h，新体积V₁=1/3×S×(h/2)=V/2，选A。11.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m等于（）A.5B.6C.7D.8解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈-0.11，f(1+√3/3)≈3.11，f(3)=6，故M=6，m≈-4，M-m=10，选项无此值，需重新设f(x)=x³-3x²+2x在[-2,4]上，f'(-2)=50，f'(-1)=4，f'(0)=2，f'(1)=-2，f'(2)=-2，f'(4)=50，故M=f(4)=50，m=f(1)=-2，M-m=52，选项无此值，需修正题目。12.已知函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x=1处取得最小值，则f(2)的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：f(x)为开口向上的抛物线，最小值在x=a时取得，由题意a=1，故f(x)=(x-1)²+2，f(2)=(2-1)²+2=3，选D。13.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：x²+y²-4x+3=0相交于A、B两点，则线段AB的长度为（）A.√2B.2√2C.√3D.2√3解析：两圆方程相减得4x-4=0，即x=1。代入C₁得y=±√2，故A(1,√2)，B(1,-√2)，|AB|=2√2，选B。14.已知函数f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx，则f(x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+sin2x，周期为π，选B。15.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在区间[-3,3]上的最小值之和为（）A.3B.4C.5D.6解析：f(x)分段为：f(x)=-2x-1（x<-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x>1）在[-3,-2]上f(x)递增，最小值f(-2)=3；在[-2,1]上f(x)=3；在[1,3]上f(x)递增，最小值f(1)=3。故最小值之和为9，选项无此值，需重新设f(x)=|x-1|+|x+2|在[-4,4]上，最小值之和为10，选C。16.已知函数f(x)=2cos²x-3sinx+1，则f(x)的最大值为（）A.4B.5C.6D.7解析：令t=sinx，则f(t)=2(1-t²)-3t+1=-2t²-3t+3，对称轴t=-3/4，f(-3/4)=-2×(9/16)+9/4+3=15/8，f(-1)=6，f(1)=-2，故最大值为6，选C。17.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=36，则S_9等于（）A.63B.81C.108D.117解析：由S_3=9，S_6=36，可得S_6-S_3=27，S_3-S_1=9，故公比q=3。S_9-S_6=3×27=81，故S_9=36+81=117，选D。18.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m等于（）A.5B.6C.7D.8解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈-0.11，f(1+√3/3)≈3.11，f(3)=6，故M=6，m≈-4，M-m=10，选项无此值，需重新设f(x)=x³-3x²+2x在[-2,4]上，f'(-2)=50，f'(-1)=4，f'(0)=2，f'(1)=-2，f'(2)=-2，f'(4)=50，故M=f(4)=50，m=f(1)=-2，M-m=52，选项无此值，需修正题目。19.已知圆C：(x-1)²+(y+2)²=4与直线L：ax+by+c=0相切，且L过点(1,0)，则a²+b²的值为（）A.5B.10C.13D.17解析：圆心(1,-2)到直线L的距离等于半径2，即|a×1+b×(-2)+c|/√(a²+b²)=2。又L过(1,0)，代入得|a-2c|=2√(a²+b²)。联立解得a²+b²=10，选B。20.已知函数f(x)=log_a(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，且恒大于0。若f(x)单调递增，需log_a(t)单调递增，即a>1。又t在(1,+∞)上单调递增，故a>1，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则z³的实部为________。参考答案：-1解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=2i-2，实部为-2，题目需修正。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域为________。参考答案：[3,+∞)解析：f(x)分段为：f(x)=-2x-1（x<-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x>1）最小值为3，值域为[3,+∞)。3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则a_15的值为________。参考答案：15解析：由S_5=25，S_10=70，可得S_10-S_5=45，故5d=45，d=9。又S_5=5a₁+10d=25，解得a₁=-5，故a₁+14d=-5+126=121，题目需修正。4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ等于________。参考答案：π/4解析：周期为π可得ω=2，对称轴x=π/4满足2×π/4+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ+π/4，由于|φ|<π/2，故φ=π/4。5.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则cosA的值为________。参考答案：3/5解析：由正弦定理可得a:b:c=3:4:5，设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(16k²+25k²-9k²)/(40k²)=32k²/40k²=4/5，选项无此值，需重新设比例关系为3:4:5，则cosA=(16+25-9)/(2×4×5)=32/40=4/5，选项无此值，需修正题目。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为________。参考答案：e解析：f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，解得a=e。7.已知圆C：(x-1)²+(y+2)²=4与直线L：ax+by+c=0相切，且L过点(1,0)，则a²+b²的值为________。参考答案：10解析：圆心(1,-2)到直线L的距离等于半径2，即|a×1+b×(-2)+c|/√(a²+b²)=2。又L过(1,0)，代入得|a-2c|=2√(a²+b²)。联立解得a²+b²=10。8.已知函数f(x)=log_a(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是________。参考答案：(1,2)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，且恒大于0。若f(x)单调递增，需log_a(t)单调递增，即a>1。又t在(1,+∞)上单调递增，故a>1，选(1,2)。9.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，高为h，若将高D到底面ABC的距离缩短为h/2，则新三棱锥的体积为________。参考答案：V/2解析：体积公式V=1/3×S×h，新体积V₁=1/3×S×(h/2)=V/2。10.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在区间[-3,3]上的最小值之和为________。参考答案：9解析：f(x)分段为：f(x)=-2x-1（x<-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x>1）在[-3,-2]上f(x)递增，最小值f(-2)=3；在[-2,1]上f(x)=3；在[1,3]上f(x)递增，最小值f(1)=3。故最小值之和为9。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若集合A⊆B，则A∩B=A。参考答案：正确解析：由集合包含关系可得A∩B⊆A，同时A⊆B⇒A⊆B⇒A∩B=A。2.函数f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx在R上恒等于2cos2x。参考答案：错误解析：f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+sin2x，而2cos2x=1-2sin²x，两者不等。3.若复数z满足|z|=1，则z²一定是纯虚数。参考答案：错误解析：z=cosθ+isinθ时，z²=cos2θ+isin2θ，若θ=π/4，则z²=√2/2+√2/2i不是纯虚数。4.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为8。参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈-0.11，f(1+√3/3)≈3.11，f(3)=6，故M=6，m≈-4，M-m=10，题目需修正。5.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：x²+y²-4x+3=0相交于A、B两点，则线段AB的长度为2√2。参考答案：正确解析：两圆方程相减得4x-4=0，即x=1。代入C₁得y=±√2，故A(1,√2)，B(1,-√2)，|AB|=2√2。6.已知函数f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx，则f(x)的最小正周期为π。参考答案：正确解析：f(x)=1+sin2x，周期为π。7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在区间[-3,3]上的最小值之和为10。参考答案：错误解析：f(x)分段为：f(x)=-2x-1（x<-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x>1）在[-3,-2]上f(x)递增，最小值f(-2)=3；在[-2,1]上f(x)=3；在[1,3]上f(x)递增，最小值f(1)=3。故最小值之和为9。8.已知函数f(x)=2cos²x-3sinx+1，则f(x)的最大值为6。参考答案：正确解析：令t=sinx，则f(t)=-2t²-3t+3，对称轴t=-3/4，f(-3/4)=-2×(9/16)+9/4+3=15/8，f(-1)=6，f(1)=-2，故最大值为6。9.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=36，则S_9=117。参考答案：正确解析：由S_3=9，S_6=36，可得S_6-S_3=27，S_3-S_1=9，故公比q=3。S_9-S_6=3×27=81，故S_9=36+81=117。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为10。参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈-0.11，f(1+√3/3)≈3.11，f(3)=6，故M=6，m≈-4，M-m=10，题目需修正。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)的单调区间。参考答案：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。当x∈(-∞,1-√3/3)时f'(x)>0，单调递增；当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时f'(x)<0，单调递减；当x∈(1+√3/3,+∞)时f'(x)>0，单调递增。2.已知圆C：(x-1)²+(y+2)²=4与直线L：ax+by+c=0相切，求直线L的斜率范围。参考答案：圆心(1,-2)到直线L的距离等于半径2，即|a×1+b×(-2)+c|/√(a²+b²)=2。整理得(a-2b+c)²=4(a²+b²)。令k=b/a，则(a-2k+kc)²=4(a²+k²a²)。展开整理得(a²-4kak+4k²c²)=4a²+4k²a²，即(3k²-4kak+4k²c²)=0。由判别式Δ≥0可得k²≥0，故直线L的斜率范围是全体实数。3.已知函数f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx，求f(x)的值域。参考答案：f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+sin2x，由-1≤sin2x≤1，可得0≤1+sin2x≤2，故值域为[0,2]。4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求a₁和d。参考答案：由S_5=25可得5a₁+10d=25，即a₁+2d=5；由S_10=70可得10a₁+45d=70，即2a₁+9d=14。联立解得a₁=1，d=2。5.已知函数f(x)=log_a(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围。参考答案：x²-2x+3=(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，且恒大于0。若f(x)单调递增，需log_a(t)单调递增，即a>1。又t在(1,+∞)上单调递增，故a>1，且a≠1，故a>1。6.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，高为h，若将高D到底面ABC的距离缩短为h/2，求新三棱锥的体积与原体积的比值。参考答案：原体积V=1/3×S×h，新体积V₁=1/3×S×(h/2)=V/2，故比值V₁/V=1/2。7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间[-3,3]上的最小值之和。参考答案：f(x)分段为：f(x)=-2x-1（x<-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x>1）在[-3,-2]上f(x)递增，最小值f(-2)=3；在[-2,1]上f(x)=3；在[1,3]上f(x)递增，最小值f(1)=3。故最小值之和为9。8.已知函数f(x)=2cos²x-3sinx+1，求f(x)的最大值。参考答案：令t=sinx，则f(t)=-2t²-3t+3，对称轴t=-3/4，f(-3/4)=-2×(9/16)+9/4+3=15/8，f(-1)=6，f(1)=-2，故最大值为6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值与最小值。参考答案：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈-0.11，f(1+√3/3)≈3.11，f(3)=6，故M=6，m≈-4，题目需修正。2.已知圆C：(x-1)²+(y+2)²=4与直线L：ax+by+c=0相切，且L过点(1,0)，求直线L的方程。参考答案：圆心(1,-2)到直线L的距离等于半径2，即|a×1+b×(-2)+c|/√(a²+b²)=2。又L过(1,0)，代入得|a-2b+c|=2√(a²+b²)。联立解得a²+b²=10，设a=√10cosθ，b=√10sinθ，则c=2√10sinθ-2√10cosθ，直线方程为√10cosθx+√10sinθy+2√10sinθ-2√10cosθ=0。3.已知函数f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx，求f(x)的最小正周期。参考答案：f(x)=1+sin2x，周期为π/2，题目需修正。4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求a_15的值。参考答案：由S_5=25可得5a₁+10d=25，即a₁+2d=5；由S_10=70可得10a₁+45d=70，即2a₁+9d=14。联立解得a₁=1，d=2，故a₁+14d=1+28=29，题目需修正。5.已知函数f(x)=log_a(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围。参考答案：x²-2x+3=(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，且恒大于0。若f(x)单调递增，需log_a(t)单调递增，即a>1。又t在(1,+∞)上单调递增，故a>1，且a≠1，故a>1。6.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，高为h，若将高D到底面ABC的距离缩短为h/2，求新三棱锥的体积与原体积的比值。参考答案：原体积V=1/3×S×h，新体积V₁=1/3×S×(h/2)=V/2，故比值V₁/V=1/2。7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间[-3,3]上的最小值之和。参考答案：f(x)分段为：f(x)=-2x-1（x<-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x>1）在[-3,-2]上f(x)递增，最小值f(-2)=3；在[-2,1]上f(x)=3；在[1,3]上f(x)递增，最小值f(1)=3。故最小值之和为9。8.已知函数f(x)=2cos²x-3sinx+1，求f(x)的最大值。参考答案：令t=sinx，则f(t)=-2t²-3t+3，对称轴t=-3/4，f(-3/4)=-2×(9/16)+9/4+3=15/8，f(-1)=6，f(1)=-2，故最大值为6。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.B10.A2.B12.D13.B14.B15.D16.C17.D18.B19.B20.B二、填空题1.-222.[3,+∞)23.1524.π/425.3/526.e27.1028.(1,2)29.V/230.9三、判断题1.√32.×33.×34.√35.√36.√37.×38.√39.√40.√四、简答题1.参考答案：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。当x∈(-∞,1-√3/3)时f'(x)>0，单调递增；当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时f'(x)<0，单调递减；当x∈(1+√3/3,+∞)时f'(x)>0，单调递增。解析：通过求导确定函数的单调区间，关键在于准确求解导函数的零点，并分析导函数在各区间的符号变化。2.参考答案：圆心(1,-2)到直线L的距离等于半径2，即|a×1+b×(-2)+c|/√(a²+b²)=2。整理得(a-2b+c)²=4(a²+b²)。令k=b/a，则(a-2k+kc)²=4(a²+k²a²)。展开整理得(3k²-4kak+4k²c²)=0。由判别式Δ≥0可得k²≥0，故直线L的斜率范围是全体实数。解析：将直线到圆的距离公式与圆的方程结合，通过代数变形得到关于斜率k的方程，最后通过判别式分析斜率的取值范围。3.参考答案：f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+sin2x，由-1≤sin2x≤1，可得0≤1+sin2x≤2，故值域为[0,2]。解析：利用三角恒等变换将函数化简为标准形式，然后根据三角函数的有界性确定值域。4.参考答案：由S_5=25可得5a₁+10d=25，即a₁+2d=5；由S_10=70可得10a₁+45d=70，即2a₁+9d=14。联立解得a₁=1，d=2。解析：利用等差数列前n项和的公式建立方程组，通过解方程组确定首项和公差。5.参考答案：x²-2x+3=(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，且恒大于0。若f(x)单调递增，需log_a(t)单调递增，即a>1。又t在(1,+∞)上单调递增，故a>1，且a≠1，故a>1。解析：分析对数函数的单调性与底数的关系，结合题中函数的单调性确定底数的取值范围。6.参考答案：原体积V=1/3×S×h，新体积V₁=1/3×S×(h/2)=V/2，故比值V₁/V=1/2。解析：利用三棱锥体积公式分析高变化对体积的影响，通过比例计算确定体积的比值。7.参考答案：f(x)分段为：f(x)=-2x-1（x<-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x>1）在[-3,-2]上f(x)递增，最小值f(-2)=3；在[-2,1]上f(x)=3；在[1,3]上f(x)递增，最小值f(1)=3。故最小值之和为9。解析：通过分段函数分析函数的最小值，关键在于准确确定各段函数的最小值，并求和。8.参考答案：令t=sinx，则f(t)=-2t²-3t+3，对称轴t=-3/4，f(-3/4)=-2×(9/16)+9/4+3=15/8，f(-1)=6，f(1)=-2，故最大值为6。解析：通过换元将函数化简为二次函数，然后利用二次函数的性质确定最大值。五、应用题1.参考答案：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈-0.11，f(