2027届重庆市北岸区数学八上期末学业水平测试试题含解析

2027届重庆市北岸区数学八上期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数（）A．4 B．6 C．7 D．82．若，则的值是A． B． C． D．3．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A． B． C． D．4．如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．1 B．2 C．3 D．45．甲、乙、丙、丁4个人步行路程和花费时间如图所示，按平均值计算，则走得最慢的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．如图，若，BC=7，CF=5，则CE的长为（）A．1 B．2 C．2.5 D．37．下列实数中，是无理数的是（）A． B． C． D．8．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°9．如图，，，与相交于点.则图中的全等三角形共有()A．6对 B．2对 C．3对 D．4对10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40º，则底角是（）A．65º B．50º C．25º D．65º或25º11．下列各式中，是分式的是（）A． B． C． D．12．在实数0，﹣，π，|﹣3|中，最小的数是（）A．0 B．﹣ C．π D．|﹣3|二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x__y（用“＞”或“＜”填空）．1号2号14．某公司测试自动驾驶技术,发现移动中汽车“”通信中每个数据包传输的测量精度大约为0.0000018秒，请将数据0.0000018用科学计数法表示为__________．15．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，若点为轴上一点，且最小，则点的坐标为__________.16．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为____________，A与B的距离为____________17．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于_____．18．点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2﹣b），则ab=_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在中，，以为直角边作等腰，，斜边交于点．（1）如图1，若，，作于，求线段的长；（2）如图2，作，且，连接，且为中点，求证：．20．（8分）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．21．（8分）如图，点D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：AB=AC．22．（10分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批两种型号的一体机，经过市场调查发现，每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多万元，且用万元恰好能购买套型一体机和套型一体机.（1）列二元一次方程组解决问题：求每套型和型一体机的价格各是多少万元？（2）由于需要，决定再次采购型和型一体机共套，此时每套型体机的价格比原来上涨，每套型一体机的价格不变.设再次采购型一体机套，那么该市至少还需要投入多少万元？23．（10分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．24．（10分）规定一种新的运算“”，其中和是关于的多项式．当的次数小于的次数时，；当的次数等于的次数时，的值为、的最高次项的系数的商；当的次数大于的次数时，不存在．例如：，（1）求的值．（2）若，求：的值．25．（12分）（1）分解因式：①②（2）解方程：26．解分式方程:+=

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，根据等边对等角，即可求得∠ABC与∠ACB的度数，又由BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，即可求得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝∠A＝36°，然后利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，即可求得∠BEO＝∠BOE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CDO＝∠COD＝72°，由等角对等边，即可求得答案．【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝∠A＝36°，∴AE＝CE，AD＝BD，BO＝CO，∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC是等腰三角形，∵∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCE＝72°，∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝72°，∠EOB＝∠DOC＝∠CBD+∠BCE＝72°，∴∠BEO＝∠BOE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CDO＝∠COD＝72°，∴BE＝BO，CO＝CD，BC＝BD＝CE，∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有8个．故选：D．本题考查了等腰三角形的判定，灵活的利用等腰三角形的性质确定角的度数是解题的关键.2、C【解析】∵，∴b=a，c=2a，则原式.故选C.3、B【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：B．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4、B【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值．【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90，∴∠EBC＋∠BCE＝90．∵∠BCE＋∠ACD＝90，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝1．∴DE＝EC−CD＝1−1＝2故选B．本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．5、B【分析】根据图中提供的数据分别求出甲、乙、丙、丁4个人的速度，再比较大小即可．【详解】解：由图可知，甲的速度为：1÷20=0.05（千米/分），乙的速度为：1÷40=0.025（千米/分），丙的速度为：3÷30=0.1（千米/分），丁的速度为4÷30=（千米/分），∵，∴乙的速度最慢，故选B.本题主要是对时间路程图的考查，准确根据题意求出速度是解决本题的关键.6、B【分析】由全等三角形的性质可知，然后利用即可求解．【详解】∵BC=7，CF=5故选：B．本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．7、B【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数逐一判断即可得出答案．【详解】A.是有理数，不符合题意；B.是无理数，符合题意；C.是有理数，不符合题意；D.是有理数，不符合题意；故选：B．本题主要考查无理数，掌握无理数的概念及常见的类型是解题的关键．8、B【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．【详解】A、当∠1＝∠3时，a∥b，内错角相等，两直线平行，故正确；B、∠2与∠3不是同位角，也不是内错角，无法判断，故错误；C、当∠4＝∠5时，a∥b，同位角相等，两直线平行，故正确；D、当∠2+∠4＝180°时，a∥b，同旁内角互补，两直线平行，故正确．故选：B．本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键．9、D【解析】由题意根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：∵，，∴ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO（ASA），∵BD=BD，AC=AC，∴△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB（SAS），∴共有四对．故选：D．本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定方法等基本知识.10、D【分析】从锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．【详解】在三角形ABC中，设AB=ACBD⊥AC于D，

①若是锐角三角形，如图：∠A=90°-40°=50°，

底角=（180°-50°）÷2=65°；

②若三角形是钝角三角形，如图：∠A=40°+90°=130°，

此时底角=（180°-130°）÷2=25°，

所以等腰三角形底角的度数是65°或者25°．故选：D．本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．11、C【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】∵没有分母，、分母中不含字母，这三个代数式均为整式；分母中含有字母，是分式．∴选C故选：C本题考查了分式的定义，属基础题，正确熟练掌握分式定义是解此题的关键．12、B【分析】根据1大于一切负数；正数大于1解答即可．【详解】解：∵|﹣3|＝3，∴实数1，﹣，π，|﹣3|按照从小到大排列是：﹣＜1＜|﹣3|＜π，∴最小的数是﹣，故选：B．本题考查实数的大小比较；解答时注意用1大于一切负数；正数大于1．二、填空题（每题4分，共24分）13、＜【解析】如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，故答案为＜．14、【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】．

故答案为：．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15、【解析】可过点A作关于x轴的对称点A′，连接A′B与轴的交点即为所求．【详解】如图，作点A作关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴的交于点M，点M即为所求．∵点B的坐标（3，2）点A′的坐标（-1，-1），∴直线BA′的解析式为y=x-，令y=0，得到x=，∴点M（，0），故答案为：（，0）．此题考查轴对称问题，熟练掌握轴对称的性质，理解两点之间线段最短的涵义．16、【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解．【详解】∵（a，b）中，b表示目标与探测器的距离；a表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度，∴B可以表示为．∵A、B与雷达中心的连线间的夹角为150°-60°=90°，∴AB==故填：(1).(2)..本题考查了坐标确定位置，解题时由已知条件正确确定A、B的位置及勾股定理的应用是解决本题的关键．17、75【解析】根据两直线平行，内错角相等求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解.解：如图，∠1=30°，所以，∠=∠1+45°=30°+45°=75°.故答案为75°.“点睛”本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.18、．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（-4，2-b），

∴2+a=4，2-b=3，

解得a=2，b=-1，所以，ab=2-1=，故答案为本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）见解析【分析】（1）由直角三角形的性质可求，由等腰直角三角形的性质可得，即可求BC的长；（2）过点A作AM⊥BC，通过证明△CNM∽△CBD，可得，可得CD=2CN，AN=BD，由“SAS”可证△ACN≌△CFB，可得结论．【详解】（1），，，，，．，，，且，，，；（2）如图，过点作，，，，，，，，，，，，，且，，且，，．，．本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．20、28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，

∴DE=EF，

∵E是DC的中点，

∴DE=CE，

∴CE=EF，

又∵∠C=90°，

∴点E在∠ABC的平分线上，

∴BE平分∠ABC，

又∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∴∠AEB=90°，

∴∠BEC=90°-∠AED=62°，

∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，

∴∠ABE=28°．考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．21、证明见解析.【解析】欲证明AB=AC，只要证明∠ABC=∠ACB即可，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，由全等三角形的性质可证∠EBD=∠FCD，再由等腰三角形的性质∠DBC=∠DCB，从而可证∠ABC=∠ACB.【详解】∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠EBD=∠FCD，∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22、（1）型一体机的价格是万元，型一体机的价格是万元；（2）1800万元【分析】（1）直接利用今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答案；（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．【详解】解：（1）设每套型一体机的价格为万元，每套型一体机的价格为万元.由题意可得，解得，答：每套型一体机的价格是万元，型一体机的价格是万元；（2）设该市还需要投入万元，，，随的增大而减小.，当时，有最小值，，答：该市至少还需要投入万元.此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键．23、（1）证明见解析；（2）48.【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，BD是中线，可知∠DBC=30°，由CE=CD，∠ACD=60°可求得∠DCE=30°，即∠DBC=∠DCE，则DB=DE；（2）根据Rt△DCF中∠FCD=30°知CD=2CF=4，即可知AC=8，则可求出△ABC的周长.【详解】（1）解：证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=