2027届北京延庆县联考八年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2027届北京延庆县联考八年级数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在等边中，，将线段沿翻折，得到线段，连结交于点，连结、以下说法：①，②，③，④中，正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个2．如图，在等边三角形中，、分别为、上的点，且，、相交于点，，垂足为．则的值是（）．A．2 B． C． D．3．若m＜n＜0，那么下列结论错误的是（）A．m﹣9＜n﹣9 B．﹣m＞﹣n C． D．2m＜2n4．下列命题中为假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等C．两个锐角的和是钝角 D．如果是整数，那么是有理数5．下列运算中，正确的是（）A．（a2）3=a5 B．3a2÷2a=a C．a2•a4=a6 D．（2a）2=2a26．每天用微信计步是不少市民的习惯，小张老师记录了一周每天的步数并制作成折线统计图，则小张老师这一周一天的步数超过7000步的有（）A．1天 B．2天 C．3天 D．4天7．点都在直线上，则与的大小关系是（）A． B． C． D．不能比较8．关于一次函数，下列结论正确的是（）A．图象过点（3，-1） B．图象不经过第四象限C．y随x的增大而增大 D．函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积是69．等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是()A． B． C．或 D．或10．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（）A．①②③④ B．①④③② C．①④②③ D．②①④③11．到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点12．已知等边三角形ABC．如图，（1）分别以点A，B为圆心，大于的AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（2）作直线MN交AB于点D；（2）分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；（3）作直线HL交AC于点E；（4）直线MN与直线HL相交于点O；（5）连接OA，OB，OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB＝2OE；②AB＝2OA；③OA＝OB＝OC；④∠DOE＝120°，正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．③④二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=16，BC=12，△ABC的面积为70，则DE=_________14．比较大小_____2；-5_____．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(﹣1，3)，点A(﹣5，0)，点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为_____．16．函数中，自变量的取值范围是.17．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_______．（只需填一个即可）18．如图，AD是等边△ABC的中线，E是AC上一点，且AD=AE，则∠EDC=°三、解答题（共78分）19．（8分）计算20．（8分）已知，其中是一个含的代数式．（1）求化简后的结果；（2）当满足不等式组，且为整数时，求的值．21．（8分）（1）化简:（2）化简:（3）因式分解:（4）因式分解:22．（10分）一辆卡车装满货物后，高4m、宽2.4m，这辆卡车能通过截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？23．（10分）利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．（1）如图①，，，三点共线，于点，于点，，且．若，求的长．（2）如图②，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，直角顶点的坐标为，点的坐标为．求直线与轴的交点坐标．（3）如图③，，平分，若点坐标为，点坐标为．则．（只需写出结果，用含，的式子表示）24．（10分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，已知A产品成本2000元/件，售价2300元/件；B种产品成本3000元/件，售价3500元/件，设该厂每天生产A种产品x件，两种产品全部售出后共可获利y元．（1）求出y与x的函数表达式；（2）如果该厂每天最多投入成本140000元，那么该厂生产的两种产品全部售出后最多能获利多少元？25．（12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．拓展延伸：（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．26．如图，在中，，为边上的任意点，为线段的中点，.(1)求证:；(2)求证:.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】由△ABD≌△ACE，△ACE≌△ACM，△ABC是等边三角形可以对①②进行判断，由AC垂直平分EM和直角三角形的性质可对③进行判断，由△ADM是等边三角形可对④进行判断．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，∵BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴AD=AE，∠BAD=∠CAE∵线段沿翻折，∴AE=AM，∠CAE=∠CAM，∴，故①正确，∴△ACE≌△ACM（SAS）∴∠ACE=∠ACM=60°，故②正确，由轴对称的性质可知，AC垂直平分EM，∴∠CNE=∠CNM=90°，∵∠ACM=60°，∴∠CMN=30°，∴在Rt△CMN中，，即，故③正确，∵∠BAD=∠CAE，∠CAE=∠CAM，∴∠BAD=∠CAM，∵∠∠BAD+∠CAD=60°，∴∠CAM+∠CAD=60°，即∠DAM=60°，又AD=AM∴△ADM为等边三角形，∴故④正确，所以正确的有4个，故答案为：D．本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用上述几何知识进行推理论证．2、A【分析】因为AG⊥CD，△AGF为直角三角形，根据三角函数证明∠GAF=30°或∠AFD=60°即可，需要证明△ADF∽△ABE，通过证明△ABE≌△CAD可以得出．【详解】∵三角形ABC是等边三角形，∴AB=CA，∠ABE=∠CAD=60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）．∴∠AEB=∠CDA，又∠EAD为公共角，∴△ADF∽△ABE．∴∠AFD=∠B=60°．∵AG垂直CD，即∠AGF=90°，∴∠GAF=30°，∴AF=2FG，即．故选：A．此题主要考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质及有30°角的直角三角形的性质等知识；难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神，证明线段是2倍关系的问题往往要用到有30°角的直角三角形的性质求解，要熟练掌握．3、C【解析】A：等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此判断即可；B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可；C：由倒数的定义即可得出结论；D：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此判断即可．【详解】因为m＜n＜0，所以m﹣9＜n﹣9，A正确；因为m＜n＜0，所以﹣m＞﹣n，B正确；因为m＜n＜0，所以，C错误；因为m＜n＜0，所以2m＜2n，D正确．故选C．本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．4、C【分析】根据平行线的性质可判断A项，根据对顶角的性质可判断B项，举出反例可判断C项，根据有理数的定义可判断D项，进而可得答案．【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，是真命题，故本选项不符合题意；C、两个锐角的和不一定是钝角，如20°和30°这两个锐角的和是50°，仍然是锐角，所以原命题是假命题，故本选项符合题意；D、如果是整数，那么是有理数，是真命题，故本选项不符合题意．故选：C．本题考查了真假命题、平行线的性质、对顶角的性质和有理数的定义等知识，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．5、C【分析】分别根据同底数幂的乘法、除法运算法则以及幂的乘方运算法则分别求出即可．【详解】解：A、（a2）3=a6，故此选项错误；B、3a2÷2a=a，故此选项错误；C、此选项正确；D、（2a）2=4a2，故此选项错误；故选C．6、B【分析】根据折线统计图进行统计即可.【详解】根据统计图可得：小张老师这一周一天的步数超过7000步的有：星期一，星期六，共2天.故选：B本题考查的是折线统计图，能从统计图中正确的读出信息是关键.7、A【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．【详解】解：∵直线中，-1＜0，∴y随x的增大而减小．∵-4＜1，

∴y1＞y1．

故选：A．本题考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y=kx+b：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．8、D【分析】根据一次函数的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【详解】解：A、令，则，则图像过点（3，1）；故A错误；B、由，则一次函数经过第二、四象限，故B错误；C、由，则y随x的增大而减小；故C错误；D、令，则，令，则，则面积为：；故D正确；故选：D.本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．9、D【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【详解】解：①当9为腰时，9＋9＞12，故此三角形的周长＝9＋9＋12＝30；②当12为腰时，9＋12＞12，故此三角形的周长＝9＋12＋12＝1．故选D．本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．10、B【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②在射线AM上截取AB＝a；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④连结AC、BC．△ABC即为所求作的三角形．故选答案为B．本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.11、D【分析】直接利用三角形的内心性质进行判断．【详解】到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点．

故选：D．本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．12、B【分析】根据等边三角形的性质，三角形的外心，三角形的内心的性质一一判断即可．【详解】解：由作图可知，点O是△ABC的外心，∵△ABC是等边三角形，∴点O是△ABC的外心也是内心，∴OB＝2OE，OA＝OB＝OC，∵∠BAC＝60°，∠ADO＝∠AEO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣60°＝120°，故①③④正确，故选：B．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（每题4分，共24分）13、5【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线定理得到DF=DE，根据图形可知，再利用三角形面积公式即可解答.【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，∴DF=DE∴故答案为：5本题考点涉及角平分线定理和三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题关键.14、＜＞【分析】先比较3和4的大小，再比较和2的大小；两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】∵，∴；∵，∴，故答案为：；．本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．15、(﹣2，﹣4)【分析】将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（2，﹣1），取AA′的中点K（﹣，﹣），直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．求出直线BK的解析式，利用方程组确定交点P坐标即可【详解】解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（2，﹣1），取AA′的中点K（﹣，﹣），直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．设直线PB的解析式为y＝kx+b，把B（﹣1，3），K（﹣，﹣）代入得，解得∵直线BK的解析式为y＝7x+10，由，解得，∴点P坐标为（﹣2，﹣4），故答案为(﹣2，﹣4)．本题考查利用一次函数图像的几何变换求解交点的问题，解题的关键是要充分利用特殊角度45°角进行几何变换，求解直线BP的解析式．16、．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-1≥0，

解得：x≥1．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．17、∠A=∠F（答案不唯一）【详解】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加BC=DE，利用SSS可证全等．18、15【解析】解：∵AD是等边△ABC的中线，，，，，,三、解答题（共78分）19、-2.【解析】根据二次根式的性质，任何非0数的0次幂等于1，绝对值以及有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可.【详解】解：原式=1+3-5-1=4-6=-2.故答案为：-2.本题考查实数的运算，利用零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值正确化简各数是解题的关键．20、（1）；（2）1【分析】（1）原式变形后，通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）求出不等式组的解集，确定出整数x的值，代入计算即可求出A的值．【详解】解：（1）根据题意得：；（2）不等式组，得：，∵x为整数，或，由，得到，则当时，．此题考查了分式的加减法，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21、（1）（2）（3）（4）【分析】（1）根据乘方公式即可求解；（2）根据整式的除法运算即可求解；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；（4）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解.【详解】（1）==（2）=（3）==（4）===此题主要考查整式的运算及因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法.22、这辆卡车不能通过截面如图所示的隧道．【分析】作弦EF∥AD，OH⊥EF于H，连接OF，在直角△OFH中，根据勾股定理就可以求出OH，求出隧道的高．就可以判断．【详解】解：如图，由图形得半圆O的半径为2m，作弦EF∥AD，且EF＝2.4m，作OH⊥EF于H，连接OF，由OH⊥EF，得HF＝1.2m，OF=2m,在Rt△OHF中，OH＝＝＝1.6m，∵1.6+2＝3.6＜4，∴这辆卡车不能通过截面如图所示的隧道．本题考查了勾股定理的应用，本题的关键是建立数学模型，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．23、（1）6；（2）（0,2）；（3）【分析】（1）利用AAS证出△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质可得AB=CD，BC=DE，再根据BD=CD＋BC等量代换即可求出BD；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，利用AAS证出△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD=CE，CD=BE，根据点A和点C的坐标即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可求出直线AB与y轴的交点坐标；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，根据正方形的判定可得四边形OECD是正方形，然后利用ASA证出△DCA≌△ECB，从而得出DA=EB，S△DCA=S△ECB，然后利用正方形的边长相等即可求出a、b表示出DA和正方形的边长OD，然后根据即可推出=，最后求正方形的面积即可．【详解】解：（1）∵，，∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°∴∠A＋∠ACB=90°，∠ECD＋∠ACB=180°－∠ACE=90°∴∠A=∠ECD在△ABC和△CDE中∴△ABC≌△CDE∴AB=CD，BC=DE∴BD=CD＋BC=（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E∵△ABC为等腰直角三角形∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=CB∴∠DAC＋∠ACD=90°，∠ECB＋∠ACD=180°－∠ACB=90°∴∠DAC=∠ECB在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB∴AD=CE，CD=BE∵点的坐标为，点的坐标为∴CO=1，AD=1，DO=2,∴OE=OC＋CE=OC＋AD=2，BE=CD=CO＋DO=3，∴点B的坐标为（2,3）设直线AB的解析式为y=kx＋b将A、B两点的坐标代入，得解得：∴直线AB的解析式为当x=0时，解得y=2∴直线与轴的交点坐标为（0,2）；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E∵OC平分∠AOB∴CD=CE∴四边形OECD是正方形∴∠DCE=90°，OD=OE∵∠ACB=90°∴∠DCA＋∠ACE=∠ECB＋∠ACE=90°∴∠DCA=∠ECB在△DCA和△ECB中∴△DCA≌△ECB∴DA=EB，S△DCA=S△ECB∵点坐标为，点坐标为∴OB=b，OA=a∵OD=OE∴OA＋DA=OB－BE即a＋DA=b－DA∴DA=∴OD=OA＋DA====DA2==故答案为：．此题考查的是全等三角形的判定及性质、同角的余角相等、求一次函数的解析式和正方形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、同角的余角相等、利用待定系数法求一次函数的解析式和正方形的判定及性质是解决此题的关键．24、（1）y=﹣200x+25000；（2）该厂生产的两种产品全部售出后最多能获利23000元．【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；（2）根据该厂每天最多投入成本140000元，可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式，即可求得该厂生产的两种产品全部售出后最多能获利多少元．【详解】（1）由题意可得：y=(2300﹣2000)x+(3500﹣3000)(50﹣x)=﹣200x+25000，即y与x的函数表达式为y=﹣200x+25000；（2）∵该厂每天最多投入成本140000元，∴2000x+3000(50﹣x)≤140000，解得：x≥1．∵y=﹣200x+25000，∴当x=1时，y取得最大值，此时y=23000，答：该厂生产的两种产品全部售出后最多能获利23000元．本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．