高考数学一轮复习 第28讲　等差数列及其前n项和 学用

第28讲等差数列及其前n项和知识整合体系重构激活思维1．(2024·全国甲卷理)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝S10，a5＝1，则a1＝()A．－2 B．eq\f(7,3)C．1 D．22．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37＝()A．760 B．820C．780 D．8603．(教材经典题改编)在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则这个等差数列的公差是_______________．4．(教材经典题)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝_____________．5．(教材经典题)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝____________．聚焦知识1．等差数列的有关公式(1)通项公式：_____________，其推导方法是累加法．若视作关于n的一次函数，则一次项系数为_______，常数项为____________．(2)前n项和公式：______________，其推导方法是倒序相加法．若视作关于n的一元二次函数，则二次项系数为____，一次项系数为___，无常数项．2．等差数列的常见性质(1)已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．①通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；②若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则______________；③ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_____________的等差数列；④若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；⑤数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列；⑥数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))成等差数列．(2)等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)．(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn)．(4)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．题型突破思维拓展举题说法等差数列的基本量运算例1(1)(2025·南昌一模)已知等差数列{an}的各项均不为零，前n项和为Sn，若Sn＝anan＋1，则a13＝_____________．(2)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝()A．－20 B．－15C．－10 D．－5(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d．变式1(2025·天津卷)若Sn＝－n2＋8n，则数列{|an|}的前12项和为()A．112 B．48C．80 D．64等差数列的判定与证明例2(2025·南京、盐城一模节选)已知数列{an}的前n项和Sn满足eq\f(Sn,n)＝an＋(1－n)t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2．(1)求t的值；(2)求证：{an}为等差数列．判断数列{an}是等差数列的常用方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法(客观题中判断)；(4)前n项和公式法(客观题中判断)．变式2(2025·宜春二模)记数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝－eq\f(1,2)，an≠0，对任意的n∈N*，有eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)＝1－eq\f(1,2an＋1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Sn．等差数列的常见性质视角1项的性质例3－1(1)(2025·合肥一检)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝9，则S9＝()A．9 B．18C．27 D．36(2)(2026·肇庆一模)(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝10，S9＝18，则()A．a5＝0B．S11＝0C．当n＝5或n＝6时，Sn取最大值D．Sn的最小值为0变式3(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5＝a4＋5，则S11的值是()A．11 B．50C．55 D．60(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＝－600，当且仅当n＝30时Sn取得最小值，则{an}的公差d的取值范围为____________．视角2和的性质例3－2(1)(2026·邯郸期初)(多选)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，则()A．若Sn＝2n2＋n，则an＝2n＋1B．S3n，S6n－S3n，S9n－S6n成等差数列C．Sn，S2n，S3n可能成等差数列D．Sn，S2n，S3n可能成等比数列(2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(n＋2,3n＋4)，则eq\f(a3＋a9,b4＋b6＋b8)＝()A．eq\f(13,111) B．eq\f(26,37)C．eq\f(26,111) D．eq\f(13,37)随堂内化1．(2025·武汉2月调研)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝0，S6＝2S3－12，则a1＝()A．6 B．8C．10 D．122．(2025·秦皇岛一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．18 B．27C．45 D．633．(2026·新乡期初)某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有()A．20排 B．21排C．22排 D．23排4．(2026·保定期中)已知集合A＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))m－2＜x＜m＋1}，等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．当a3＝2且{Sn}严格递增时，d的取值集合为B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则m的取值范围为____________．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2025·南京期初)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn．若S3＝6，S6＝3，则S9＝()A．－18 B．－9C．9 D．182．已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝()A．－20 B．－18C．16 D．183．记数列{an}的前n项和为Sn，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，S6＝6，则a3＋a4＝()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,2)C．1 D．24．(2025·张家口期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，S10＝4a4，则an＋Sn取最大值时n的值是()A．4 B．5C．6 D．10二、多项选择题5．(2025·青岛期末)已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，则()A．a1＝－3 B．d＝－2C．a10＝15 D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为公差为－2的等差数列6．(2025·茂名二模)已知等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2．记数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是()A．数列{an}的公差为2B．Sn取最小值时，n＝6C．S4＝S7D．数列{eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an))}的前10项和为507．已知递增数列{an}满足an＋2＝2an＋1－an(n∈N*)，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是()A．若a2，a6为方程x2＋2x－35＝0的两根，则2a3＋eq\f(1,2)a6＝3B．若a9＋a5＜0，S14＞0，则a7是数列{an}中最大的负数项C．若S6＝4S3，则S12－S9＝eq\f(7,4)S6D．S9＝2(S6－S3)三、填空题8．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝____________．9．(2025·温州一模)已知正项数列{an}满足eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)＋eq\f(1,3an＋1)＝eq\f(1,6)，且a1＝a3，则a2025＝_____________．10．(2025·新乡二模)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，数列{an}的公差为d(d≠0)，且{eq\r(Sn－an)}是等差数列，则eq\f(a1,d)＝___________．四、解答题11．(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝eq\f(n2＋n,an)，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．12．(2026·丽水、湖州、衢州质检)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，eq\f(an＋1－an,an)＝eq\f(an＋2－an＋1,an＋2)(n∈N*)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等差数列；(2)求数列{anan＋1}的前n项和Sn．B组创新题体验13．(2025·肇庆一模)对于一个给定的数列{an}，令bn＝an＋an＋1，则数列{bn}称为数列{a