高中数学导学案 第六节　利用空间向量研究线、面位置关系

第六节利用空间向量研究线、面位置关系新课标要求真题分布1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系．3．能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理．2025年全国Ⅰ卷T9，T17(1)，全国Ⅱ卷T17(1)2024年新高考Ⅰ卷T17(1)，新高考Ⅱ卷T17(1)2023年新高考Ⅰ卷T18(1)，新高考Ⅱ卷T20(1)必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量．剖析若A，B是直线l上的两点，则AB是直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔________直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔________l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔________自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的，平面的单位法向量也是唯一确定的．()(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(3)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．()(4)若两个不重合的平面的法向量平行，则两平面平行；若两平面的法向量垂直，则两平面垂直．()2．(人教A版选修一P29练习T3改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.以D为原点，以{13DA，14DC，12DD1}A．(3，4，6)B．(4，3，6)C．(3，6，4)D．(6，3，4)3．(人教A版选修一P31练习T1改编)已知u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量．(1)若l∥α，则a，b的关系式为________；(2)若l⊥α，则a＝________，b＝________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一平面的法向量、直线的方向向量及其应用例1已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，M是棱PD的中点，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求点C，D，P，M的坐标；(2)求直线AM，PB的方向向量与平面PCD的法向量．[听课笔记]学霸笔记：平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的一个法向量，则可用方程组n·a=0跟踪训练(衔接·人教A版选修一P41习题T2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面A1BC的法向量．命题点二利用向量证明平行问题例2如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.[听课笔记]学霸笔记：向量法证明平行的方法(1)线线平行设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R(2)线面平行设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0，注意说明直线l⊄平面α；(3)面面平行分别求出平面α，β的法向量u，v，则要证明α∥β，只需证明u∥跟踪训练(衔接·人教A版选修一P42习题T4)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.命题点三利用向量证明垂直问题例3如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.[听课笔记]学霸笔记：向量法证明垂直的方法(1)线线垂直证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝(2)线面垂直分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积，由数量积为0及线面垂直的判定定理即可得证；(3)面面垂直证明两平面的法向量垂直或证明一个平面的法向量平行于另一个平面．跟踪训练(衔接·人教A版选修一P43习题T11)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1.命题点四平行与垂直关系中的探索性问题例4如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是A1B1的中点．(1)求证：A1B⊥C1N；(2)F为线段AB上的动点，则是否存在F使得AB⊥平面CC1F？若存在，请求出AFFB的值；若不存在，请说明理由[听课笔记]学霸笔记：与空间平行、垂直关系有关的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线与平面的平行、垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程(组)．若方程(组)有解，则点存在；否则，点不存在．跟踪训练(衔接·人教A版选修一P30例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1?提示：请完成课时作业44第六节利用空间向量研究线、面位置关系必备知识·助学教材知识清单2．u1·u2＝0u·n＝0n1·n2＝0自主诊断1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：依题意，A(3，0，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，2)，所以AC＝-3，4，0，AD1＝(设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n⊥AC，n⊥AD1．所以n·AC=-3x+4y=0，n·AD1=-3x+2z=0，取x＝4，则y＝3，z＝6，所以答案：B3．解析：(1)∵u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，若l∥α，则u⊥n，∴3＋2(a＋b)＋3(a－b)＝0，可得5a－b＋3＝0.(2)∵u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，若l⊥α，则u∥n，∴31＝a+b2＝a-b3，即a+b=6，a-b=9，解得a＝答案：(1)5a－b＋3＝0(2)152－考教衔接·活用教材例1解析：(1)由底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，M是棱PD的中点，由题图知，A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，P(0，0，2)，M(1，0，1)．(2)由(1)知，直线AM，PB的方向向量分别为AM＝(1，0，1)，PB＝(0，2，－2)，因为PC＝(2，2，－2)，DC＝(0，2，0)，设m＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则m·PC=2x+2y-2z=0，m·DC=2y=0，跟踪训练解析：(1)B(1，0，0)，B1(1，0，2)，C(0，1，0)，∴BB1＝(0，0，2)，BC＝(－1，1，设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，∴取x＝1，则y＝1，z＝0，∴n＝(1，1，0)为平面BCC1B1的一个法向量．(2)A1(0，0，2)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，∴A1B＝(1，0，－2)，A1C＝(0，1，－2)．设平面A1BC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，∴m·A1B=x1-2z1=0，m·A1C=y1-2z1=0.取x1＝2例2证明：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)．由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以DA＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于MN＝(0，1，－1)，则MN·DA＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN⊥DA.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)由于MP＝(0，2，0)，MN＝(0，1，－1)，则MP所以DA＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，又M∉平面CC1D1D，则平面MNP与平面CC1D1D不重合，所以平面MNP∥平面CC1D1D.跟踪训练证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．设点C的坐标为(x0，y0，0)．因为AQ＝3QC，所以AQ＝34AC，AC＝(x0，y0－2，－2)，所以AQ＝(34x0，34y0所以Q(34x0，24+34y因为M为AD的中点，故M(0，2，1)．又P为BM的中点，故P(0，0，12)所以PQ＝(34x0，24+34又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故PQ·a＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.例3证明：(1)取BC的中点O，连接PO，因为BC＝PB＝PC＝2，所以PO⊥BC，因为侧面PBC⊥底面ABCD，且侧面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，所以PO⊥底面ABCD，又因为四棱锥PABCD的底面是直角梯形，取AD的中点M，连接OM，则OM，OB，OP两两垂直，所以以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，O(0，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A(2，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，3)，所以PA＝(2，1，－3)，BD＝(1，－2，0)，PA·BD＝2×1＋1×(－2)＋(－3)×0＝0，所以PA⊥BD.(2)PA＝(2，1，－3)，AD＝(－1，－2，0)，AB＝(－2，0，0)，PB＝(0，1，－3)，设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·PA=2x1+y1-3z1=0，n则可以求得平面PAD的一个法向量n1＝(2，－1，3)．设平面PAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)则n2·AB=-2x2=0，n2·PB=y2-则可以求得平面PAB的一个法向量n2＝(0，3，1)又因为n1·n2＝2×0－1×3+所以n1⊥n2，所以平面PAD跟踪训练证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，可得A(1，0，0)，E(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，2，1)，B1E＝(－1，－1，－1)，AE＝-1，1，0，AD1＝(由B1E·AE＝1－1＋0＝0，可得B1E⊥AE，由B1E·AD1＝1＋0－1即有B1E垂直于平面AED1内两条相交直线AE，AD1，则B1E⊥平面AED1.例4解析：(1)证明：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，∵CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，C1(0，0，2)，∵N是A1B1的中点，则N(12，12，2)，C1N＝(12，12，0)，A1B＝∵A1B·C1N＝－1×12＋1×12＋(－2)×0＝0，∴A1B⊥C1N，即A1B⊥C1(2)假设存在F使得AB⊥平面CC1F，由(1)得AB＝(－1，1，0)，C1