高中数学导学案 第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数新课标要求真题分布1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．2．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2025年北京卷T13必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.角的概念(1)定义：角可以看成是平面内的一条射线绕着它的________旋转所形成的图形．(2)分类：按旋转方向不同分为________、________、________．按终边位置不同分为________和轴线角．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__________________________．剖析相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝________(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝弧长公式弧长l＝________扇形面积公式S＝____________＝____________提醒在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______(x≠0)．(2)定义的推广设P(x，y)是角α(α∈R)终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______(x≠0)．(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．【常用结论】(1)β，α的终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α的终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α的终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinα>0，则α的终边落在第一或第二象限.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()2．(人教A版必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么α2是(A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角3．(人教A版必修一P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝________．4．(人教A版必修一P176T11改编)时间经过4h(时)，时针转了________弧度；若时针长度是1厘米，则时针4h(时)转出的扇形面积是________平方厘米．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一象限角与终边相同的角例1(1)如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是()A．αB．αC．αD．α(2)已知α为第三象限角，则α2所在的象限是(A．第一或第三象限B．第二或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限[听课笔记]学霸笔记：(1)判定象限角的两种方法．①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．(2)确定kα，αk(k∈N*)终边位置的方法：先写出kα或αk的取值范围，然后根据k的可能取值确定kα或α(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．跟踪训练(1)(2026·佳木斯模拟)已知α与210°角的终边关于x轴对称，则α2是(A．第二或第四象限角B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角(2)(衔接·人教A版必修一P175T3改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－3x上，则角α的取值集合是________．命题点二弧度制与扇形的弧长、面积公式例2(1)(2026·沈阳模拟)已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为()A．10，4B．20，4C．10，6D．20，6(2)已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为()A．2B．4C．0.5D．0.25[听课笔记]学霸笔记：(1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个．(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(3)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．跟踪训练(衔接·人教A版必修一P176T12)已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180r/min(转/分)，小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？命题点三任意角的三角函数考向1利用三角函数的定义求值例3(1)已知点Pm，-3(m≠0)在角α的终边上，且cosα＝24m，则sinαA．－64B．－104C．64(2)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝2x上，则sinα＝________．[听课笔记]学霸笔记：(1)已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值的方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．跟踪训练已知角α的终边在第二象限，且终边上有一点P-2，2m，sinα＝24m，则mA．6 B．－6C．2 D．±2考向2三角函数值符号的判定例4(1)已知cosθ·tanθ>0，则θ可能为()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角D．第三或第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值是__________．(填“正数”“负数”或“零”)[听课笔记]学霸笔记：要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那么要进行分类讨论求解．跟踪训练(衔接·人教A版必修一P182T4改编)角θ为第三象限角的充要条件是()A．sinθ>0cosθC．sinθ>0cosθ提示：请完成课时作业22第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数必备知识·助学教材知识清单1．(1)端点(2)正角负角零角象限角(3)S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}2．(1)半径长(2)lr(180π)°|α|r12lr12|3．(1)yxyx(2)自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k·180°＜α2＜45°＋k·180°，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α2＜45°＋n·360°，n∈Z，为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α2<225°＋n·360°，n∈Z，为第三象限角．所以答案：D3．解析：由三角函数的定义可得sinθ＝5-122+cosθ＝-12-122+52＝－1213，则sinθ答案：－74．解析：时针一小时转过－30°，所以时间经过4h，时针转了－120°，即－120°＝－(120×π180)rad＝－2π3rad，又时针长度是1厘米，则时针4h(时)转出的扇形面积S＝12×2π3×12答案：－2π考教衔接·活用教材例1解析：(1)由题图可知，阴影部分终边在第二象限角的集合为{α|5π6+2kπ≤α≤π+2kπ(2)由α为第三象限角，得2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，k∈Z，则kπ＋π2<α2<kπ＋3π4，k∈Z，当k＝2n，2nπ＋π2<α2<2nπ＋3π4，n∈Z，此时α2在第二象限；当k＝2n＋1，2nπ＋3π2<α2<2nπ＋7π答案：(1)B(2)C跟踪训练解析：(1)由α与210°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－210°，k∈Z，∴α2＝k·180°－105°，k∈Z，取k＝0，1，可确定α2(2)直线y＝－3x的倾斜角是2π3，∴终边落在直线y＝－3x上的角的取值集合为{α|α=kπ-答案：(1)B(2){α|α=kπ-例2解析：(1)设该扇形折叠扇的圆心角，弧长，半径，面积分别为α，l，r，S，易得弧长l＝αr，周长等于2r＋l＝(2＋α)r＝60，S＝12αr2＝200，两式联立解得r=10，α=4或r=20，α=1，因为l＝αr>r，即(2)设扇形所在圆的半径为r，弧长为l，可得l＝8－2r，所以扇形的面积为S＝12lr＝12(8－2r)r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以，当r＝2答案：(1)A(2)A跟踪训练解析：(1)因为啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，所以当大轮转一周时，大轮转动了48个齿，则小轮转动4820＝125周，即125×360°＝(2)当大轮转速为180r/min时，小轮转速为4820×180＝432(r/min)所以小轮周上一点每一秒转过的弧度数为432×2π÷60＝72π5又因为小轮的半径为10.5cm，所以小轮周上一点每一秒转过的弧长为72π5×10.5＝151.2π(cm)例3解析：(1)因为点P(m，－3)(m≠0)在角α终边上，且cosα＝24m，即cosα＝mm2+-32＝24m，解得m2＝5，所以sinα＝(2)因为角α的终边落在直线y＝2x上，当角α的终边在第一象限时，终边过点(1，2)，此时sinα＝255；当角α的终边在第三象限时，终边过点(－1，－2)，此时sinα＝－答案：(1)A(2)255跟踪训练解析：