高中数学导学案 第三节　成对数据的统计分析

第三节成对数据的统计分析新课标要求真题分布1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．2．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测．3．通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用．2025年全国Ⅰ卷T15必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.变量的相关关系(1)相关关系：两个变量________，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：________和________．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在________附近，我们就称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－\o(y,\s\up6(－)))2)).(2)当r＞0时，称成对样本数据________；当r＜0时，称成对样本数据________．(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越________；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越________．3．一元线性回归模型我们将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－))．))4．残差与决定系数(1)残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))称为预测值，________________称为残差．(2)决定系数：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)(yi－\o(y,\s\up6(^))i)2,\i\su(i＝1,n,)(yi－\o(y,\s\up6(－)))2)，R2越________，模型的拟合效果越好，反之，越差．5．列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)计算随机变量χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)).利用χ2的取值推断分类变量X和Y________的方法称为χ2独立性检验．剖析(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．(2)根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，χ2越大，则两分类变量有关的把握越大．【常用结论】1．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．2．经验回归直线一定过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).3．求eq\o(b,\s\up6(^))时，常用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2).自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)散点图无法判断两个变量是否相关．()(2)通过经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估计预报变量的取值和变化趋势．()(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．()(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越小．()2．(人教A版选修三P138T1)变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，据此可以推断变量x与y之间()A.很可能存在负相关 B．一定存在正相关C．很可能存在正相关 D．一定不存在负相关3．(人教A版选修三P139T3改编)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974.已知P(χ2≥3.841)＝0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，以下结论正确的是()A．变量x与y独立B．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C．变量x与y不独立D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.054．(人教A版选修三P113T2改编)假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.81x＋25.82.已知父亲身高为175cm，则估计女儿的身高为________cm.考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一成对数据的相关性例1对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是()A．图①、图②两组数据都具有线性相关关系B．图①数据正相关，图②数据负相关C．图①相关系数r1小于图②相关系数r2D．图①相关系数和图②相关系数之和小于0[听课笔记]学霸笔记：(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．(2)样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强．(3)经验回归方程：当eq\o(b,\s\up6(^))＞0时，正相关；当eq\o(b,\s\up6(^))＜0时，负相关．跟踪训练已知变量x与y的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3x－1，变量y与z负相关，则()A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z正相关D．x与y正相关，x与z负相关命题点二经验回归方程例2(2026·青岛模拟)下表是某公司从2021年至2025年某种产品盈利额的近似值(单位：万元)年份20212022202320242025年份代号x12345盈利额y5056647283(1)求y关于x的相关系数r的值(精确到0.001)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(如果|r|≥0.75，则认为y与x的线性相关关系较强，否则认为线性相关关系较弱)；(2)求y关于x的经验回归方程，并预测2026年该种产品的盈利额．参考公式：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1057，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)－5eq\o(y,\s\up6(－))2＝680,eq\r(68)≈8.246.[听课笔记]学霸笔记：(1)求经验回归方程①当两个系数均未知时，可利用公式法求解；②当两个系数已知一个求另一个时，可利用经验回归直线过的样本点求解．(2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值．(3)经验回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．跟踪训练近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2022年到2025年某地新能源汽车销量(单位：千辆)年份2022202320242025年份代号x1234销量y336993129附：eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝966.建立y关于x的经验回归方程，并预测该地2026年的新能源汽车销量．

命题点三独立性检验例4(链接·2025年全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．附：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，P(χ2≥k)0.0050.0100.001k3.8416.63510.828[听课笔记]真题探源(源自人教A版选修三P135T7)为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的问题，从高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，得到性别和身高变量的样本观测数据所对应的列联表如下：单位：人性别身高低于170cm不低于170cm女147男811合计2218依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所得结论的实际含义．学霸笔记：求解独立性检验问题的步骤(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．提示：请完成课时作业60第三节成对数据的统计分析必备知识·助学教材知识清单1．(1)有关系(2)正相关负相关(3)一条直线2．(2)正相关负相关(3)强弱4．(1)观测值减去预测值(2)大(越接近1)5．(2)是否独立自主诊断1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：由散点图知，这些点大致在一条直线附近，且从左下角到右上角呈递增趋势，故变量x与y之间很可能存在正相关．答案：C3．解析：由题意，χ2＝2.974＜3.841，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，变量x与y独立，A正确．答案：A4．解析：已知经验回归方程y＝0.81x＋25.82，令x＝175，得y＝0.81×175＋25.82＝167.57，则已知父亲身高为175cm，估计女儿的身高为167.57cm.答案：167.57考教衔接·活用教材例1解析：对于A，因为散点图都呈直线型，所以图①、图②两组数据都具有线性相关关系，故A正确；对于B，图①散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图②散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确；对于C，图①正相关，图②负相关，故C不正确；对于D，因为图②相关程度更强，故D正确．故选C.答案：C跟踪训练解析：根据经验回归方程y＝3x－1可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关，由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关．故选D.答案：D例2解析：(1)已知n＝5，x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，则x＝1+2+3+4+55＝3y1＝50，y2＝56，y3＝64，y4＝72，y5＝83，则y＝50+56+64+72+835＝65i=15xi2＝12＋22＋32＋42＋52＝1＋4＋9＋16＋5x2＝5×32＝45，所以i=15xi2-5已知i=15xiyi＝1057将以上值代入相关系数公式可得r＝1057-5×3×6510×680＝1057-9756800＝因为|r|＝0.994≥0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系．(2)根据所以b＝8210＝由a＝y-bx，已知x＝3，y＝65，b＝8.2，则a＝65－8.2×3＝65－所以y关于x的经验回归方程为y＝8.2x＋40.4.2026年年份代号x＝6，将x＝6代入经验回归方程y＝8.2×6＋40.4＝49.2＋40.4＝89.6(万元)．跟踪训练解析：已知n＝4，x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，则x＝1+2+3+44＝2.5y1＝33，y2