高中数学导学案 微专题7　平面向量中的最值、范围问题

微专题7平面向量中的最值、范围问题多元视角·拓展教材开放式拓展实现一个“广”视角一与平面向量基本定理有关的最值、范围问题例1(2026·衡阳模拟)如图，在△ABC中，PC＝2BP，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB＝mAM，AC＝nAN，则1m+2nA．73B．C．3D．4[听课笔记]学霸笔记：首先利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系，再运用基本不等式或函数的性质解决．跟踪训练如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足AN＝2NM.若AN＝xAB+yAC，则视角二与数量积有关的最值、范围问题例2在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则AE·CD的取值范围为(A．-77，10C．-43，10[听课笔记]学霸笔记：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理；(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识解决．跟踪训练(2026·马鞍山模拟)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·PB+PC的最小值是(A．－32B．－C．－1D．－3视角三与向量的模有关的最值、范围问题例3(2026·宜昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，OA＝OB＝2，OA⊥OB.已知点C(3，4)，则CA+CBA．[6，12]B．[6，14]C．[8，12]D．[8，14][听课笔记]学霸笔记：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解．跟踪训练已知平面向量x，y，z满足x＝(2，0)，z＝(0，1)，x·y＝2，则|x＋y－z|的最小值为()A．12 B．C．2 D．3视角四与向量的夹角有关的最值、范围问题例4(2026·周口模拟)平面向量a，b满足|b|＝2|a|，且|a－b|＝3，则b与a－b夹角的余弦值的最大值是()A．－32 B．－C．12 D．[听课笔记]学霸笔记：求向量夹角的最值、范围问题要根据夹角余弦值的不等式，采用基本不等式或函数的性质求解．跟踪训练已知向量a，b满足|a＋b|＝2|a－b|，则sin〈a，b〉的最大值为()A．33B．C．22D．提示：请完成微专题7

微专题7平面向量中的最值、范围问题例1解析：AP＝AB+BP＝AB+13BC＝AB+13(AC-AB)＝23AB+13AC，因为AB＝mAM，AC＝nAN，所以AP＝2m3AM＋n3AN，又M，P，N三点共线，所以2m3+n3＝1.由于m>0，n>0，所以1m+2n＝答案：B跟踪训练解析：根据题意得AM＝32AN＝32xAB+32yAC.因为M，B，C三点共线，设BM＝λBC(0<λ<1)，则AM-AB＝λ(AC-AB)，所以AM＝(1－λ)AB＋λAC，所以1-λ=32x，λ=32y，所以有32x＋32y＝1，即x＋y＝23(0<y<23)，所以x2＋9y2＝(23－y)2＋9y2＝10y2－43y＋49＝10(答案：2例2解析：由cos∠BAC＝AB2+AC2-BC22ABAC＝－12，解得|BC|＝7.设CE＝λCB，0≤λ≤1，则AE·CD＝(AC+CE)·CD＝(AC＋λCB)·23CB＝23AC·CB+23λCB答案：C跟踪训练解析：建立如图所示的平面直角坐标系，以BC的中点为坐标原点，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，则PA·(PB+PC)＝2x2－23y＋2y2＝2[x2＋(y－32)2－34]，∴当x＝0，y＝32时，取得最小值2×(－34答案：A例3解析：如图，因为|OA|＝|OB|＝2，OA⊥OB，则|OA+OB|2＝(OA+OB)2＝OA2＋2OA·OB+OB2＝4，即|OA+OB|＝2，因为CA＝CO+OA，CB＝CO+OB，又C(3，4)，则|CO|＝5，则|CA+CB|＝|OA+OB＋2CO|，因为||OA+OB|－2|CO||≤|OA+OB＋2CO|≤|OA+OB|＋2|CO|，当且仅当OA+OB与CO同方向时，|OA+OB＋2CO|max＝|OA+OB|＋2|CO|＝2＋10＝12；当且仅当OA+OB答案：C跟踪训练解析：设y＝(m，n)，因为x＝(2，0)，x·y＝2，所以2m＝2，得m＝1，得x＋y－z＝(2，0)＋(1，n)－(0，1)＝(3，n－1)，则|x＋y－z|＝9+n-12，当n＝1时，|x＋y－z|取得最小值3.答案：D例4解析：由|a－b|＝3，两边平方得a2－2a·b＋b2＝9，又|b|＝2|a|，所以2a·b＝a2＋b2－9＝5a2－9，所以cos〈b，a－b〉＝b·a-bba-b＝a·b-b2ba-b＝2a·b-2b26b＝-3a2-9答案：A跟