2026年天津市人教版高中数学第4章同步练习题

2026年天津市人教版高中数学第4章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的值为（）A．0B．1C．2D．-1解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(0)=ln(1)-0=0，g(1)=ln(2)-1≈0.693-1=-0.307，g(2)=ln(3)-2≈1.099-2=-0.901，g(3)=ln(4)-3≈1.386-3=-1.614。函数g(x)在x=0处取得唯一零点，故a=0。2.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A．0B．2C．4D．-4解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。故M=3，m=-5，M+m=-2。3.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1B．eC．2D．e-1解析：f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，得a=e。4.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。5.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号为（）A．始终为正B．始终为负C．先正后负D．先负后正解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。6.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A．4B．6C．8D．10解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.44，f(1+√3/3)≈1.56，f(3)=2。故M=2，m=-4，M+m=-2。7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处取得极值，则f(x)的另一个极值点为（）A．-1B．0C．2D．3解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点；f''(2)=6>0，故x=2为极小值点。8.若函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号为（）A．始终为正B．始终为负C．先正后负D．先负后正解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。9.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。10.若函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处取得极值，则f(x)的极值类型为（）A．极大值B．极小值C．拐点D．驻点解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=0。f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(1)=-1/4<0，故x=1为极大值点。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为________。参考答案：2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2。2.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的导数为________。参考答案：-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的极值为________。参考答案：极大值0解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0。f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点，f(1)=0。4.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号为________。参考答案：负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为________。参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。6.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的极值为________。参考答案：极小值-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=0。f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(1)=-1/4>0，故x=1为极小值点，f(1)=-1/2。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的极值为________。参考答案：极小值-2解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0。f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，f(2)=-2。8.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号为________。参考答案：负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为________。参考答案：2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2。10.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的导数为________。参考答案：-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为4。参考答案：×解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2。2.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的导数为1/2。参考答案：×解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的极值为极小值。参考答案：×解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0。f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点。4.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号为正。参考答案：×解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为2。参考答案：×解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。6.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的极值为极大值。参考答案：×解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=0。f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(1)=-1/4>0，故x=1为极小值点。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的极值为极小值。参考答案：√解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0。f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，f(2)=-2。8.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号为负。参考答案：√解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为2。参考答案：√解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2。10.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的导数为-1/2。参考答案：√解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为多少？参考答案：最大值为2，最小值为-4解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2，最小值为-4。2.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的导数为多少？参考答案：-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的极值为多少？参考答案：极大值0解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0。f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点，f(1)=0。4.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号为多少？参考答案：负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为多少？参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。6.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的极值为多少？参考答案：极小值-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=0。f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(1)=-1/4>0，故x=1为极小值点，f(1)=-1/2。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的极值为多少？参考答案：极小值-2解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0。f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，f(2)=-2。8.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号为多少？参考答案：负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数在区间[-1,3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值为2，最小值为-4解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2，最小值为-4。2.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求函数在x=1处的导数。参考答案：-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。3.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数在x=1处的极值。参考答案：极大值0解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0。f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点，f(1)=0。4.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求函数在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号。参考答案：负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数在区间[-1,3]上的零点个数。参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。6.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求函数在x=1处的极值。参考答案：极小值-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=0。f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(1)=-1/4>0，故x=1为极小值点，f(1)=-1/2。7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数在x=2处的极值。参考答案：极小值-2解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0。f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，f(2)=-2。8.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求函数在区间(0,1)上的导函数f'(x)的符号。参考答案：负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.C3.B4.C5.B6.A7.C8.B9.C10.A解析：2.由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(0)=ln(1)-0=0，g(1)=ln(2)-1≈0.693-1=-0.307，g(2)=ln(3)-2≈1.099-2=-0.901，g(3)=ln(4)-3≈1.386-3=-1.614。函数g(x)在x=0处取得唯一零点，故a=0。3.由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。故M=3，m=-5，M+m=-2。4.由f'(x)=e^x-a得x=1时e-a=0，故a=e。5.由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。6.由f'(x)=1/(x+1)-1得h(x)=1/(x+1)-1，h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。7.由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故M=2，m=-4，M+m=-2。8.由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。9.由f'(x)=1/(x+1)-1得h(x)=1/(x+1)-1，h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。10.由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。11.由f'(x)=1/(x+1)-1得f'(1)=1/2-1=-1/2。二、填空题1.2解析：由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2。2.-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。3.极大值0解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0。f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点，f(1)=0。4.负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。5.3解析：由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。6.极小值-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=0。f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(1)=-1/4>0，故x=1为极小值点，f(1)=-1/2。7.极小值-2解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0。f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，f(2)=-2。8.负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。9.2解析：由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2。10.-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。三、判断题1.×解析：由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2。2.×解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。3.×解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0。f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点。4.×解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。5.×解析：由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。由零点存在性定理，函数在[-1,0]、[0,2]、[2,3]上各有一个零点，共3个零点。6.×解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=0。f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(1)=-1/4>0，故x=1为极小值点。7.√解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0。f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，f(2)=-2。8.√解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x+1)-1，则h'(x)=-1/(x+1)^2<0，故h(x)在(0,1)上单调递减。又h(0)=0，故h(x)<0，即f'(x)<0。9.√解析：由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2。10.√解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。四、简答题1.最大值为2，最小值为-4解析：由f'(x)=3x^2-6x得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2，最小值为-4。2.-1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2。3.极大值0解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0。f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点，f(1)=0。4.负解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令h(x)=1/(x