2026年人教版高中一年级数学第9单元函数性质测试卷及答案

2026年人教版高中一年级数学第9单元函数性质测试卷及答案第1页共1页2026年人教版高中一年级数学第9单元函数性质测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是A.3B.5C.7D.9参考答案：C2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是A.0B.1C.2D.3参考答案：C3.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的最大值出现在A.x=π/4B.x=π/2C.x=3π/4D.x=π参考答案：A4.函数f(x)=x/(x^2+1)在区间(0,+∞)上的值域是A.(0,1/2)B.(0,1)C.(1/2,1)D.(0,+∞)参考答案：C5.函数y=x^2-4x+3的图像关于直线x=2对称的函数是A.y=(x-2)^2+1B.y=(x+2)^2-1C.y=(x-2)^2-1D.y=(x+2)^2+1参考答案：C6.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上且顶点在x轴上，则下列条件正确的是A.a0且△=0B.a0且△0C.a0且△0D.a0且△=0参考答案：A7.函数y=|x|在区间[-1,1]上的平均变化率是A.-1B.0C.1D.2参考答案：B8.函数f(x)=e^x-x在区间(-1,1)上的零点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：B9.函数y=log_a(x)在x增大时单调递增，则a的取值范围是A.a1B.0a1C.a0且a≠1D.a0参考答案：A10.函数f(x)=x^3-3x+1的图像与直线y=k有且仅有两个交点，则k的取值范围是A.k-2或k2B.-2k2C.k=-2或k=2D.k≤-2或k≥2参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的最大值是______。参考答案：22.若函数g(x)=1/x在x=2处的切线方程为y=-1/4x+2，则该函数在x=-2处的切线斜率是______。参考答案：-1/43.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______。参考答案：34.函数m(x)=2sin(x)+cos(2x)的最小正周期是______。参考答案：2π5.已知函数n(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，则b/a的值是______。参考答案：-26.函数p(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性是______。参考答案：单调递增7.若函数q(x)=log_a(x)在x=2处的导数为1/2，则a的值是______。参考答案：√28.函数r(x)=x/(x^2-1)的不连续点是______。参考答案：x=1,x=-19.函数s(x)=sin(x)cos(x)的图像关于直线x=π/4对称，则其最小正周期是______。参考答案：π10.若函数t(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且该极值为0，则a+b的值是______。参考答案：2三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3在定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)是奇函数，则其图像一定关于原点对称。参考答案：√3.函数y=1/x在定义域内是减函数。参考答案：×4.函数f(x)=|x|在定义域内处处可导。参考答案：×5.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f^-1(x)在对应区间上单调递减。参考答案：√6.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。参考答案：√7.函数f(x)=e^x在定义域内是增函数且无界。参考答案：√8.若函数f(x)在x=a处取得极值，则其导数f'(a)必等于0。参考答案：×9.函数y=log_a(x)(a0且a≠1)在底数a增大时，其图像整体上移。参考答案：×10.函数f(x)=x^2-4x+3的图像是开口向上的抛物线且与x轴有两个交点。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断方法。参考答案：判断函数奇偶性，首先确定函数定义域是否关于原点对称，然后计算f(-x)与f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若两者都不满足，则函数非奇非偶。3.列举三个常见的初等函数及其主要性质。参考答案：①一次函数f(x)=ax+b(a≠0)，性质为单调性由a决定，图像为直线；②二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，性质为有对称轴x=-b/2a，图像为抛物线；③指数函数f(x)=a^x(a0且a≠1)，性质为过(0,1)，当a1时单调递增，当0a1时单调递减。4.分析函数f(x)=x^3-3x的极值点。参考答案：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(-1)=-60，f''(1)=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。5.简述函数周期性的概念及其数学表达式。参考答案：函数f(x)满足f(x+T)=f(x)（T为非零常数），则称函数f(x)具有周期性，T为周期。最小正周期是所有周期中最小的正数。6.比较函数y=1/x与y=x在性质上的主要区别。参考答案：①定义域不同：y=1/x定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，y=x定义域为R；②单调性不同：y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减，y=x在R上单调递增；③奇偶性不同：y=1/x为奇函数，y=x为奇函数；④图像形态不同：y=1/x为双曲线，y=x为直线。7.列举函数f(x)=a^x(a0且a≠1)的单调区间。参考答案：当a1时，单调增区间为(0,+∞)，单调减区间为(-∞,0)；当0a1时，单调增区间为(-∞,0)，单调减区间为(0,+∞)。8.说明函数图像平移变换的法则。参考答案：函数y=f(x)图像向左平移a个单位得y=f(x+a)，向右平移a个单位得y=f(x-a)；函数y=f(x)图像向上平移a个单位得y=f(x)+a，向下平移a个单位得y=f(x)-a。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值3，最小值02.设函数g(x)=|x-1|+|x+2|，求函数g(x)的最小值。参考答案：最小值33.已知函数h(x)=2sin(x)+cos(2x)，求函数h(x)的最大值和最小值。参考答案：最大值√5+1，最小值-√5-14.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上是否存在零点？若存在，求出零点所在的区间。参考答案：存在，零点在[-1,0]区间内5.函数f(x)=x^2-ax+b在x=1处取得极小值-1，求a和b的值。参考答案：a=4，b=26.函数f(x)=e^x-x在定义域内是否单调递增？请证明你的结论。参考答案：是单调递增7.已知函数f(x)=x^2-2x+3和g(x)=x-1，求函数F(x)=f(x)+g(x)的零点。参考答案：x=28.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极大值，求f(x)在x=2处的函数值。参考答案：f(2)=0标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。最大值为7，选C。2.参考答案：C解析：g(x)=|x-1|+|x+1|表示数轴上x到1和-1的距离之和，最小值为2，选C。3.参考答案：A解析：h(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2，当x=π/4时取得，选A。4.参考答案：C解析：f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=1。f(1)=1/2，且当x→+∞时f(x)→0。值域为(0,1/2)，选C。5.参考答案：C解析：y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，图像关于x=2对称，对称后的函数为y=(x-2)^2-1，选C。6.参考答案：A解析：开口向上需a0，顶点在x轴上需△=b^2-4ac=0，即a0且△=0，选A。7.参考答案：B解析：平均变化率=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))=(1-(-1))/2=0，选B。8.参考答案：B解析：f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。f(x)在(-∞,0)上减，在(0,+∞)上增。f(0)=10，f(-1)=1/e+10，f(1)=e-10。函数在(-1,0)和(0,1)各有一个零点，共1个零点，选B。9.参考答案：A解析：log_a(x)单调递增需底数a1，选A。10.参考答案：A解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=3，f(1)=-1。函数在(-∞,-1)和(1,+∞)上增，在(-1,1)上减。与y=k有且仅有两个交点需k-1或k3，即k-2或k2，选A。二、填空题1.参考答案：2解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-10，f(1)=-2，f(2)=2。最大值为2。2.参考答案：-1/4解析：g'(x)=-1/x^2，g'(2)=-1/4。g'(-2)=-1/4。3.参考答案：3解析：h(x)在x=-2时取最小值3。4.参考答案：2π解析：m(x)=2sin(x)+2cos^2(x)-1=2sin(x)+1-sin^2(x)。最小正周期为2π。5.参考答案：-2解析：对称轴x=-1，即-b/2a=-1，b=2a。图像过(1,0)，a+b+c=0，3a+c=0，c=-3a。b/a=-2。6.参考答案：单调递增解析：p'(x)=e^x-10对x0恒成立。7.参考答案：√2解析：q'(x)=1/(xln(a))，q'(2)=1/(2ln(a))=1/2，ln(a)=1，a=e。8.参考答案：x=1,x=-1解析：r(x)在x=±1处无定义。9.参考答案：π解析：s(x)=1/2sin(2x)，最小正周期为π。10.参考答案：2解析：t'(x)=3x^2-2ax+b，t'(1)=3-2a+b=0，t(1)=1-a+b=0。解得a=2，b=-1。a+b=1。三、判断题1.参考答案：√解析：对于函数f(x)=x^3，其导数f'(x)=3x^2。由于3x^2≥0对所有实数x都成立，且只有当x=0时取等号，因此f'(x)≥0在定义域R上恒成立，这表明函数f(x)=x^3在定义域内单调递增。这一结论符合函数单调性的判定定理，即若函数在区间上处处可导且导数恒大于等于0，则函数在该区间上单调递增。2.参考答案：√解析：根据奇函数的定义，若函数f(x)满足f(-x)=-f(x)对所有定义域内的x都成立，则称f(x)为奇函数。奇函数的图像具有中心对称性，其对称中心为原点(0,0)。这是因为对于任意x属于定义域，点(x,f(x))和点(-x,-f(x))都在函数的图像上，这两个点关于原点对称。因此，奇函数的图像一定关于原点对称，这是奇函数的基本几何性质之一。3.参考答案：×解析：函数y=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数，但在整个定义域上并不是减函数。具体来说，当x在区间(-∞,0)内变化时，随着x的增大（即趋近于0的负方向），函数值1/x减小，因此在该区间上函数是减函数；当x在区间(0,+∞)内变化时，随着x的增大，函数值1/x减小，因此在该区间上函数也是减函数。然而，在定义域的整个范围内，函数在x=0处存在间断点，且在(-∞,0)和(0,+∞)两个区间上分别单调递减，因此不能简单地说函数在整个定义域内是减函数。实际上，函数y=1/x在定义域内是严格单调递减的，但在整个实数轴上不是减函数，因为它在x=0处无定义。4.参考答案：×解析：函数f(x)=|x|在x=0处不可导。这是因为当x从左侧趋近于0时，导数的左极限为-1，而当x从右侧趋近于0时，导数的右极限为1。由于左右极限不相等，导数在x=0处不存在。因此，函数f(x)=|x|在x=0处不可导，从而在整个定义域R上不是处处可导的。这一结论可以通过导数的定义和极限的性质来严格证明。5.参考答案：√解析：根据反函数的性质，若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f^-1(x)在对应区间上单调性相反。具体来说，如果f(x)在(a,b)上单调递增，那么对于任意的x1x2属于(a,b)，都有f(x1)f(x2)。由于反函数f^-1(x)是f(x)的逆运算，因此对于任意的y1y2属于(f(a),f(b))，都有f^-1(y1)f^-1(y2)。这表明反函数f^-1(x)在对应区间(f(a),f(b))上单调递减。这一结论是反函数性质的基本定理之一，可以严格证明。6.参考答案：√解析：函数y=sin(x)+cos(x)可以写成y=√2sin(x+π/4)。这是因为根据三角函数的和角公式，sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。由于正弦函数sin(x)的最小正周期是2π，因此y=√2sin(x+π/4)的最小正周期也是2π。这一结论可以通过三角函数的周期性质和和角公式来严格证明。7.参考答案：√解析：对于指数函数f(x)=e^x，其导数f'(x)=e^x。由于e^x0对所有实数x都成立，因此f'(x)0在定义域R上恒成立，这表明函数f(x)=e^x在定义域内是严格单调递增的。此外，由于指数函数的值域为(0,+∞)，且随着x的增大，e^x无限增大，因此函数f(x)=e^x在定义域内是无界的。这一结论符合指数函数的基本性质，可以通过导数的定义和极限的性质来严格证明。8.参考答案：×解析：函数f(x)在x=a处取得极值并不意味着其导数f'(a)必等于0。根据极值判别定理，若函数f(x)在x=a处取得极值且在x=a处可导，则必有f'(a)=0。然而，如果函数在x=a处不可导，即使函数在x=a处取得极值，其导数也可能不存在。例如，函数f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但导数在x=0处不存在。因此，函数f(x)在x=a处取得极值并不必然意味着其导数f'(a)必等于0。9.参考答案：×解析：函数y=log_a(x)(a0且a≠1)在底数a增大时，其图像整体上移的说法是错误的。实际上，当底数a增大时，函数y=log_a(x)的图像整体下移。这是因为对数函数的图像与底数a的大小关系有关：当0a1时，对数函数是减函数，且随着底数a的增大（即趋近于1），函数图像整体下移；当a1时，对数函数是增函数，且随着底数a的增大，函数图像整体上移。因此，函数y=log_a(x)在底数a增大时，其图像整体上移的说法是错误的。10.参考答案：√解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以写成f(x)=(x-2)^2-1。这是一个开口向上的抛物线，其顶点为(2,-1)。由于顶点的y坐标为-1，且抛物线开口向上，因此该抛物线与x轴有两个交点。具体来说，当y=0时，有(x-2)^2-1=0，解得x=1或x=3。因此，函数f(x)=x^2-4x+3的图像是开口向上的抛物线且与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标分别为1和3。这一结论可以通过配方法和二次方程的求解来严格证明。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求明确区间和不等号方向。单调递增指图像从左到右上升，单调递减指图像从左到右下降。判断方法可通过求导数或直接观察函数图像。本题考查对单调性定义的理解，需掌握定义中的区间和不等号方向。2.参考答案：判断函数奇偶性，首先确定函数定义域是否关于原点对称，然后计算f(-x)与f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若两者都不满足，则函数非奇非偶。解析：奇偶性判断是函数性质的基础，需注意定义域对称性是前提条件。偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。常见错误是忽略定义域对称性，如分段函数需分别讨论。本题考查奇偶性判断的完整步骤。3.参考答案：①一次函数f(x)=ax+b(a≠0)，性质为单调性由a决定，图像为直线；②二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，性质为有对称轴x=-b/2a，图像为抛物线；③指数函数f(x)=a^x(a0且a≠1)，性质为过(0,1)，当a1时单调递增，当0a1时单调递减。解析：初等函数是高中函数学习的重点，需掌握各类函数的基本形式和核心性质。一次函数体现线性关系，二次函数体现二次关系，指数函数体现指数增长或衰减。本题考查对常见函数性质的归纳总结能力。4.参考答案：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(-1)=-60，f''(1)=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。解析：极值点判断需综合导数符号变化和二阶导数检验。极值点处导数为零是必要条件，但需通过二阶导数或导数符号变化确认。本题考查极值点求法的完整流程，需掌握导数应用的基本方法。5.参考答案：函数f(x)满足f(x+T)=f(x)（T为非零常数），则称函数f(x)具有周期性，T为周期。最小正周期是所有周期中最小的正数。解析：周期性是函数的特殊性质，定义要求明确f(x+T)=f(x)的恒等关系。最小正周期是周期函数的核心概念，需注意T≠0。本题考查对周期性定义和最小正周期的理解。6.参考答案：①定义域不同：y=1/x定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，y=x定义域为R；②单调性不同：y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减，y=x在R上单调递增；③奇偶性不同：y=1/x为奇函数，y=x为奇函数；④图像形态不同：y=1/x为双曲线，y=x为直线。解析：函数性质比较是深化理解的重要方法，需全面对比定义域、单调性、奇偶性等。常见错误是忽略定义域差异或混淆单调区间。本题考查对两个基础函数性质差异的辨析能力。7.参考答案：当a1时，单调增区间为(0,+∞)，单调减区间为(-∞,0)；当0a1时，单调增区间为(-∞,0)，单调减区间为(0,+∞)。解析：指数函数单调性由底数a决定，需分类讨论。a1时图像上升，0a1时图像下降。单调区间与定义域密切相关。本题考查指数函数单调性的分类讨论能力。8.参考答案：函数y=f(x)图像向左平移a个单位得y=f(x+a)，向右平移a个单位得y=f(x-a)；函数y=f(x)图像向上平移a个单位得y=f(x)+a，向下平移a个单位得y=f(x)-a。解析：平移变换是函数图像变换的基本类型，需明确左右平移与自变量变化方向相反，上下平移与因变量变化方向相同。常见错误是左右平移与自变量变化方向混淆。本题考查函数图像平移法则的掌握程度。