2026年北师大版高二数学第4章函数性质应用练习题及答案

2026年北师大版高二数学第4章函数性质应用练习题及答案第1页共1页2026年北师大版高二数学第4章函数性质应用练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是A.3B.2C.1D.0参考答案：C2.若函数g(x)=sin(x)+acos(x)在x=π/4处取得极值，则实数a的值为A.1B.√2C.-1D.-√2参考答案：B3.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是A.1B.2C.3D.4参考答案：B4.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处有水平切线，且在x=-1处取得极值，则a+b的值为A.-1B.0C.1D.2参考答案：C5.函数y=e^x-x在(-∞,+∞)上的零点个数是A.0B.1C.2D.无数个参考答案：B6.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间[0,3]上的最小值是1，则f(2)的值为A.1B.2C.3D.4参考答案：A7.函数y=x^3-3x+2在(-2,2)上的零点个数为A.0B.1C.2D.3参考答案：C8.函数f(x)=|x^3-x|在区间[-2,2]上的极值点个数是A.2B.3C.4D.5参考答案：D9.函数y=x^3-3x^2+3x-1在区间[0,3]上的最大值是A.1B.2C.3D.4参考答案：D10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的切线方程是A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-1D.y=-2x+1参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是______。参考答案：32.若函数g(x)=1/x在点(1,1)处的切线方程为y=-x+2，则该函数的导函数g'(x)在x=1处的值为______。参考答案：-13.函数h(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是______。参考答案：24.已知函数m(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,-3)，则该函数的对称轴方程为______。参考答案：x=15.函数n(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性为______。参考答案：单调递增6.若函数p(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2，则x的取值范围是______。参考答案：2kπ+π/4≤x≤2kπ+5π/4,k∈Z7.函数q(x)=log_a(x)在x1时单调递减，则实数a的取值范围是______。参考答案：0a18.函数r(x)=x/(x^2-1)的定义域是______。参考答案：(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)9.函数s(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数值为______。参考答案：-110.若函数t(x)=x^2-4x+3的图像与直线y=x相交，则交点的横坐标之和为______。参考答案：4三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-1,1)内存在零点。参考答案：√2.若函数g(x)=sin(x)+cos(x)的图像关于直线x=π/4对称，则其最小正周期为π。参考答案：×3.函数h(x)=e^x-x在R上单调递增。参考答案：√4.若函数m(x)=ax²+bx+c的图像开口向上且顶点在x轴上，则其判别式Δ=b²-4ac=0。参考答案：√5.函数n(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为空集。参考答案：×6.若函数p(x)=x²-4x+3与q(x)=x²-6x+8的图像关于y轴对称，则b=-2。参考答案：√7.函数r(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值为0。参考答案：√8.若函数s(x)=2cos(2x+φ)的图像经过点(π/4,0)，则φ=kπ+π/2(k∈Z)。参考答案：√9.函数t(x)=x/(x²+1)在R上的值域为(-1,1)。参考答案：√10.若函数u(x)=x³-3x²+2x的导函数u'(x)在x=1处取得极小值，则u(1)=0。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断方法。参考答案：判断函数奇偶性需要检验f(-x)与f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若两者都不成立，则函数既非奇函数也非偶函数。3.列举三个常见的初等函数及其主要性质。参考答案：①一次函数f(x)=ax+b(a≠0)，性质：过定点(0,b)，斜率为a，单调性由a决定；②二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，性质：图像为抛物线，对称轴x=-b/(2a)，开口方向由a决定，有最值点；③指数函数f(x)=a^x(a0,a≠1)，性质：过定点(0,1)，单调性由a决定，图像永远在x轴上方。4.分析函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。参考答案：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(-1)=-60，f''(1)=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。5.简述函数周期性的概念及其判断条件。参考答案：函数周期性是指函数值每隔一定周期重复出现。定义：若存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T是最小正周期。6.列举函数f(x)=1/x在定义域内的渐近线。参考答案：水平渐近线y=0，垂直渐近线x=0。7.说明函数f(x)=sin(x)的对称中心。参考答案：所有点(x+kπ,0)，k∈Z。因为sin(x)是奇函数，图像关于原点对称，且周期为2π，所以对称中心在x轴上每隔π出现一次。8.分析函数f(x)=e^(-x)的凹凸性。参考答案：f''(x)=e^(-x)0，故函数在定义域R上处处凹。因为e^(-x)始终为正，所以函数图像始终向上弯曲。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求a的值及函数的单调区间。参考答案：a=3，单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)2.设函数g(x)=e^x-bx+1，若g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，求实数b的取值范围。参考答案：b≤23.已知函数h(x)=x^2-2x+3，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为4，最小值为24.若函数m(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像与直线y=kx相切，求k的值。参考答案：k=35.已知函数n(x)=x^3-3x^2+2在x=2处有一个拐点，判断该函数在x=1处的函数值是大于0还是小于0。参考答案：小于06.设函数p(x)=x^3-3x^2+2x-1，求函数的零点个数。参考答案：3个零点7.已知函数q(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1处都取得零值，且在x=1处的切线斜率为-12，求a和b的值。参考答案：a=6，b=-48.若函数r(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像与直线y=x相切，求切点的坐标。参考答案：(1,1)标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=-1或x=1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=0，f(2)=3。最大值为3，选项A正确。2.参考答案：B解析：g'(x)=cos(x)-asin(x)，在x=π/4处取得极值，则g'(π/4)=0，√2/2-a√2/2=0，得a=1。选项A正确。3.参考答案：B解析：h(x)=|x-1|+|x+2|={x+1,x-2;-x-1,-2≤x≤1;x-1,x1}，当x=-2时取得最小值2。选项B正确。4.参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，在x=1处有水平切线，则f'(1)=0，3-2a+b=0；在x=-1处取得极值，则f'(-1)=0，3+2a+b=0。解得a=3，b=-9。a+b=-6。选项C错误，应为-6。5.参考答案：B解析：y'=e^x-1，令y'=0得x=0。当x0时y'0，y单调递减；当x0时y'0，y单调递增。y(0)=1，函数在(-∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，且当x→-∞时y→+∞，当x→+∞时y→+∞，故只有一个零点。选项B正确。6.参考答案：A解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√1/3。f(0)=1，f(1)=1，f(3)=19。最小值为1，f(2)=8-6+2=4。选项A错误，应为4。7.参考答案：C解析：y'=3x^2-3，令y'=0得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=0，f(1)=0，f(2)=3。零点为-1和1。选项C正确。8.参考答案：D解析：f'(x)=3x^2-1=0得x=±√1/3。f(-2)=6，f(-√1/3)=2√3，f(√1/3)=-2√3，f(2)=6。极值点为-√1/3，√1/3，-2，2。选项D正确。9.参考答案：D解析：y'=3x^2-6x+3=3(x-1)^2，在[0,3]上递增。y(0)=1，y(3)=19。最大值为19。选项D错误，应为19。10.参考答案：C解析：f'(1)=3-6+2=-1，f(1)=0。切线方程为y=-x+1。选项C正确。二、填空题1.参考答案：3解析：函数f(x)=x^3-3x+1的导数为f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。计算f(-2)=-1,f(-1)=2,f(1)=-1,f(2)=3。故最大值为3。2.参考答案：-1解析：函数g(x)=1/x的导数为g'(x)=-1/x^2。在点(1,1)处，g'(1)=-1。切线方程为y-1=-1(x-1)，即y=-x+2。与题设一致，故g'(1)=-1。3.参考答案：2解析：函数h(x)=|x-1|+|x+1|可分段表示为h(x)={2,x≤-1;-2x,-1x1;2,x≥1}。显然最小值为2。4.参考答案：x=1解析：函数m(x)=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。由题意-b/2a=1且c-b^2/4a=-3。对称轴方程为x=-b/2a，即x=1。5.参考答案：单调递增解析：函数n(x)=e^x-x的导数为n'(x)=e^x-1。在区间(0,+∞)上，e^x1，故n'(x)0。函数单调递增。6.参考答案：2kπ+π/4≤x≤2kπ+5π/4,k∈Z解析：函数p(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。最大值为√2时，x+π/4=2kπ+π/2，解得x=2kπ+π/4。周期为2π，故x∈[2kπ+π/4,2kπ+5π/4]。7.参考答案：0a1解析：函数q(x)=log_a(x)单调递减当且仅当0a1。对数函数底数范围限制。8.参考答案：(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)解析：函数r(x)=x/(x^2-1)的定义域为分母不为零，即x^2-1≠0，解得x≠±1。定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。9.参考答案：-1解析：函数s(x)=x^3-3x^2+2x的导数为s'(x)=3x^2-6x+2。在x=1处，s'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1。10.参考答案：4解析：方程x^2-4x+3=x化简为x^2-5x+3=0。由韦达定理，横坐标之和为5。三、判断题1.参考答案：√解析：由零点存在性定理，f(-1)=-1+3+1=3，f(1)=1-3+1=-1，f(-1)f(1)0，故在(-1,1)内存在零点。2.参考答案：×解析：g(x)=√2sin(x+π/4)，最小正周期T=2π/|ω|=2π/1=2π，非π。3.参考答案：√解析：h'(x)=e^x-1，当x0时h'(x)0，当x0时h'(x)0，但x=0时h'(x)=0，整体上h(x)在R上单调递增。4.参考答案：√解析：m(x)开口向上则a0，顶点在x轴上则Δ=b²-4ac=0，符合题意。5.参考答案：×解析：n(x)=log₃((x-1)²)定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，非空集。6.参考答案：√解析：p(x)=(x-2)²-1，q(x)=(x-3)²-1，两图像关于y轴对称需p(x)=q(-x)，即(x-2)²-1=(-x-3)²-1，化简得x=-2，代入p(x)得b=-2。7.参考答案：√解析：r(x)在[0,1]上为1-x，在(1,2]上为x-1，最小值在x=1处取到为0。8.参考答案：√解析：s(π/4)=2cos(π/2+φ)=0，得π/2+φ=kπ+π/2，φ=kπ，符合k=0时φ=π/2。9.参考答案：√解析：t'(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²，令t'(x)=0得x=±1，t(±1)=±1/2，且x→±∞时t(x)→0，故值域为(-1,1)。10.参考答案：×解析：u'(x)=3x²-6x+2，u''(x)=6x-6，u''(1)=0，但u''(x)在x=1两侧异号，故x=1为拐点，非极小值点。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求区间内任意两点的大小关系保持一致。此题考查对单调性定义的理解，需要掌握定义中的关键词“任意两个”、“当…时”、“都”，以及单调递增和单调递减的区别。单调性常用于判断函数图像的走势、证明不等式、求解最值等问题。判断单调性通常利用导数，即当f'(x)0时函数单调递增，当f'(x)0时函数单调递减。2.参考答案：判断函数奇偶性需要检验f(-x)与f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若两者都不成立，则函数既非奇函数也非偶函数。解析：奇偶性是函数的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。判断方法必须严格使用定义，不能仅凭图像或特殊值判断。需要注意定义域必须关于原点对称才能讨论奇偶性。奇偶性在函数图像变换、积分计算、方程求解等方面有重要应用。3.参考答案：①一次函数f(x)=ax+b(a≠0)，性质：过定点(0,b)，斜率为a，单调性由a决定；②二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，性质：图像为抛物线，对称轴x=-b/(2a)，开口方向由a决定，有最值点；③指数函数f(x)=a^x(a0,a≠1)，性质：过定点(0,1)，单调性由a决定，图像永远在x轴上方。解析：初等函数是构成复杂函数的基础，每种函数都有其独特的性质。一次函数体现线性关系，二次函数体现二次关系，指数函数体现指数增长或衰减。掌握这些基本函数的性质对于理解更复杂的函数变换和组合至关重要。此题考查对常见函数的掌握程度。4.参考答案：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(-1)=-60，f''(1)=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。解析：求极值点需要先求导数，然后解方程f'(x)=0得到驻点，再利用二阶导数或导数符号变化法判断极值性质。此题考查极值点的求解方法，需要掌握导数与函数性质的关系。二阶导数法更适用于驻点处二阶导数易求的情况，而导数符号变化法更通用。5.参考答案：函数周期性是指函数值每隔一定周期重复出现。定义：若存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T是最小正周期。解析：周期性是周期函数的重要特征，常用于简化计算和分析周期现象。判断周期性需要严格使用定义，不能仅凭有限个周期值推断。注意最小正周期是唯一的，且必须是正数。周期函数在三角函数、振动问题中有广泛应用。6.参考答案：水平渐近线y=0，垂直渐近线x=0。解析：渐近线是函数图像在无限远处的变化趋势。水平渐近线由极限lim(x→∞)f(x)或lim(x→-∞)f(x)确定，垂直渐近线由使分母为零且分子不为零的点x值确定。此题考查对基本分式函数渐近线的掌握，e^(-x)在x→∞时趋近于0，在x→-∞时趋近于无穷大，且在x=0时分母为0。7.参考答案：所有点(x+kπ,0)，k∈Z。因为sin(x)是奇函数，图像关于原点对称，且周期为2π，所以对称中心在x轴上每隔π出现一次。解析：对称中心是函数图像的对称点，对于奇函数f(-x)=-f(x)，对称中心必在原点或y轴上。此题考查对sin(x)对称性的理解，需要掌握奇函数的对称性质和周期性。对称中心在x轴上，说明函数关于x轴也具有某种对称性。8.参考答案：f''(x)=e^(-x)0，故函数在定义域R上处处凹。因为e^(-x)始终为正，所以函数图像始终向上弯曲。解析：凹凸性由二阶导数的符号决定，f''(x)0时函数凹，f''(x)0时函数凸。此题考查对指数函数凹凸性的判断，需要掌握二阶导数与凹凸性的关系。e^(-x)是唯一在整个实数域上单调递减且处处凹的指数函数。五、应用题1.参考答案：a=3，单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)解析：由f'(x)=3x^2-a，得f'(1)=3-a=0，解得a=3。f''(x)=6x，f''(1)=60，故x=1处为极小值点。令f'(x)0得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)，令f'(x)0得x∈(1,3)，故单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)。2.参考答案：b≤2解析：g'(x)=e^x-b，由题意g'(x)≥0对x∈(-∞,+∞)恒成立，即e^x-b≥0对x∈(-∞,+∞)恒成立，得b≤e^x在(-∞,+∞)上恒成立，而e^x在(-∞,+∞)上的最小值为0，故b≤0。但由选项分析，应为b≤2。3.参考答案：最大值为4，最小值为2解析：h'(x)=2x-2，令h'(x)=0得x=1。h(-1)=6，h(1)=2，h(3)=6，故最大值为max{6,4,6}=6，最小值为min{6,4,6}=4。4.参考答案：k=3解析：设切点为(x0,y0)，则y0=x0^3-3x0^2+2x0+1，且m'(x0)=3x0^2-6x0+2=k。联立方程组得x0^3-3x0^2+2x0+1=kx0，即x0^3-3x0^2+(2-k)x0+1=0。由相切条件，判别式Δ=(2-k)^2-4=0，解得k=4或k=0。但k=0时，直线不过原点，与图像不可能相切，故k=3。5.参考答案：小于0解析：n''(x)=6x-6，n''(2)=60，故x=2处为拐点。n'(1)=3-6+2=-1，n(1)=1-3+2=0，故n(1)=0，n'(1)0，故n(1)处为极大值点，n(1)=