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全国硕士研究生考试数学历年模拟题试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1.设f(x)在x(0)$等于（）A.0B.1C.−D.不存在答案A解析由limx→0f(x)x=1，因分母趋于(0)=0$。2.曲线y=x3A.yB.yC.yD.y答案A解析y′=3x2−33.01A.eB.eC.eD.e答案A解析014.设z=exA.0B.1C.eD.x答案A解析∂z∂x=y5.设D为单位圆在第一象限的部分，则D​A.0B.1C.1D.1答案B解析用极坐标，D:0≤6.级数n=A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断答案B解析由莱布尼茨判别法知级数收敛，但∑17.微分方程y″A.yB.yC.yD.y答案A解析特征方程为r2+1=08.设A为三阶矩阵，|A|=A.1B.2C.4D.8答案C解析|29.设向量组α1=(A.1B.2C.3D.4答案C解析矩阵10111010.设随机变量X∼N(A.0B.1C.1D.Φ答案B解析标准正态分布关于0对称，故P(二、填空题（每题5分，共30分）1.limx→∞1+2答案e解析利用重要极限limx→∞2.设y=ln(1+x2)答案d解析dy=2x13.0πsinx dx答案2解析0π4.设f(x,y)=x2答案0解析fx=2x，对5.设A为n阶矩阵，r(A)=n−1，则答案1解析当r(A)=n6.设随机变量X服从参数为λ=3的泊松分布，则E(X2)答案12解析泊松分布E(X)=λ三、解答题（第1～4题每题10分，第5～6题每题15分，共70分）1.求极限limx答案1解析使用洛必达法则：$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}

=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}

=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}

=\frac12.$$2.求函数y=答案单调递增区间为(−∞,−1)和(1)=-1$；拐点为$(0,1)$。解析y′=3x2−3=3(x−1)(x+1)。令y′=0得x=±13.计算二重积分D​x2y dσ答案1解析区域D=$$\iint_Dx^2y\,d\sigma

=\int_0^1x^2\left(\int_{x^2}^{x}y\,dy\right)dx

=\int_0^1x^2\cdot\frac{x^2-x^4}{2}dx

=\frac12\int_0^1(x^4-x^6)dx

=\frac12\left(\frac15-\frac17\right)

=\frac1{35}.$$4.求幂级数n=答案收敛域为[−1,1)解析收敛半径R=limn→∞anan+1=limn→∞15.设矩阵A=12答案特征值为3和−1；对应特征值3的特征向量为k(1,1)T（k解析特征多项式|当λ=3时，解(λI−A)当λ=−1时，解(λI−A6.设随机变量X的密度函数为$$f(x)=\begin

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