2026年北京高二数学期末考试试卷

2026年北京高二数学期末考试试卷本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。已知空间直角坐标系中，向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,t)，若a⟂已知直线l经过点A(2,−1)，B(−3,4)，则直线l的斜率为

A.1曲线f(x)=x3−2x+1在点(1,f(1)若圆C的圆心坐标为(2,−3)，且被直线y=−1截得的弦长为43，则圆C的标准方程为

A.(x−2已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3a7+a4a6=8，则log2a1在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线交椭圆于已知函数f(x)=xlnx，则下列说法正确的是

A.f(x)在(0,+∞)上单调递增

B.f(x)已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A,B两点，分别过A,B作l的垂线，垂足为C,D，若|AF|=4|BF|已知函数f(x)=ex−ax（e为自然对数的底数，a为常数）有两个零点x1,x2，且x1<x2，则下列说法正确的是

A.a>二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。抛物线y=已知直三棱柱ABC−A1B1C1我国古代数学名著《九章算术》中有“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：现有一根金杖，长5尺，一端粗一端细，从粗端截下1尺，重4斤，从细端截下1尺，重2斤，且金杖重量从粗到细成等差数列，则金杖总重量为____斤。已知椭圆x24+y23=1的右焦点为F，过已知函数f(x)=|lnx|,x>0x2+2x16.（本小题13分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⟂平面ABCD，PA=AB=2，E为PD的中点。

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值。

解答：以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3=45，a1+a4=14。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn；

（3）是否存在常数c(c≠0)，使得数列{Snn+c}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由。

解答：（1）由等差数列性质知a已知函数f(x)=x3−3x2−9x+2。

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)在区间[−2,2]上的最大值和最小值；

（3）若过点(0,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

解答：（1）函数定义域为R，求导得f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)。令f′(x)>0，解得x<已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过点(2,2)。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点P(2,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在直线l使得以AB为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

解答：（1）由离心率e=ca=22得c=22a，b2=a2−c2=a22。将点(2,2)代入椭圆方程得已知函数f(x)=ex−x−1。

（1）求函数f(x)的单调区间和最小值；

（2）当x≥0时，若f(x)≥tx2恒成立，求实数t的取值范围；

（3）利用（2）的结论，证明：当n∈N*时，k=1n1ln(k+1)−lnk>n+12−12(n+1)。

解答：（1）函数定义域为R，f′(x)=ex−1，令f′(x)=0得x=0。当x<0时f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时若存在常数M>0，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称数列{an}为有界数列。已知数列