【《六轴机械臂的轨迹插值算法分析》5900字】

六轴机械臂的轨迹插值算法分析目录TOC\o"1-3"\h\u14802六轴机械臂的轨迹插值算法分析 [72]。因此，本章采用组合多项式求解机械臂末端轨迹过多路径点的问题，保证关节角位移曲线、角速度曲线与角加速度曲线光滑无突变的同时，也降低了时间变量的阶次，增加了机械臂运行的平稳性。当机械臂末端需要经过两个中间路径点时，关节角位移矩阵从起始点变换到终止点的过程中还需经过两个中间矩阵的过度，如下图所示：图3-1过中间路径点轨迹曲线图Tab3-1Trajectorycurvepassingthroughtheintermediatepathpoint图3-1中，q0为起始点，qf为终止点，qm、qn为中间路径点，q1、q2和对于使用组合多项式求解过指定点的情况时，若无特定点加工要求，中间路径点的速度与加速度无法被定为一个具体值，其大小根据轨迹插值算法而定。因此，要想保持轨迹在速度与加速度上的连续性，多项式最低为三阶。因此，过二个中间路径点的组合多项式轨迹规划算法有两种组合形式：四-三-四和三-五-三。1.3算法公式推导1.1.1四-三-四组合多项式插值算法首先设定组合多项式的表达式，四-三-四多项式组合中，每段轨迹的关节角位移-时间表达式为：q每段曲线的自变量t均采用公式t=T−Ti−1为保障轨迹经过中间路径点时保持平滑无冲击，关节角速度与角加速需保持不变；另外，根据各关节在轨迹的起始点、两中间路径点与终止点上关于关节角位移、角速度与角加速度的边界条件，可以列出如下12个边界方程：qqq在轨迹的起始点与终止点，为避免速度突变给关节电机、减速器等零部件带来冲击，角速度与角加速度需为零，即q1'0=q3'1=q1''0角位移项方程：&角速度项方程：&角加速度项方程：&联立以上14个方程，求出的各项参数如下：&其中：δ1=qm−1.1.2三次-五次-三次组合多项式轨迹规划算法每段轨迹的关节角位移-时间表达式为：&三-五-三式多项式的14个约束条件同上，根据14个边界条件可以列出14个求解方程，如下所示。角位移项方程：&角速度项方程：&角加速度项方程：&联立以上14个方程，求出的各项参数如下：&1.4过路径点装配作业最优算法换能器的自动化装配涉及到换能器的预装配。使用工业机械臂进行预装配时，机械臂末端轨迹的规划是一个研究重点，在采用机械臂装配换能器的过程中，除了起始点与终止点，机械臂末端还需经过两个中间路径点。由于机械臂末端在经过中间点时不需要停留，为避免常用的多项式插值法，如3次、5次多项式插值法规划时造成机械臂时走时停的运动，故采用上述两种组合多项式求解机械臂装配作业中过两路径点的轨迹规划问题。为找出最优的组合算法，先确定机械臂末端的具体作业路径，算出各个必经路径点所对应的关节角矩阵，再求解出组合多项式算法的各项系数，采用MATLAB进行仿真，绘制出两种算法的关节角位移-时间曲线、角速度-时间曲线和角加速度-时间曲线。1.4.1机械臂装配作业的路径点如图3-2所示，在换能器零件压电片的一次装配中，机械臂末端共需要经过四个点：起始点、2个中间路径点与终止点。图3-2过中间路径点的机械臂轨迹Fig3-2Manipulator’strajectorypassingthroughtheintermediatepathpoint机械臂6关节初始角度为q0=[0,π/2,0,0,0,0]，终止点设置为qf=[0,π/2,0,0,0,0]，末端的空间坐标为p0（0.353，0，0.35），两中间路径点空间坐标分别为：qq关节角位移为：δδδ求得四-三-四组合多项式插值算法：qqq求得三-五-三组合多项式插值算法：qq（3−11）q1.4.2两种算法的MATLAB仿真结果采用四-三-四和三-五-三两种算法规划机械臂过两中间路径点的轨迹时，机械臂1关节到6关节的角位移、角速度与角加速度曲线分别如图3-3、3-4、3-5所示。图3-3关节角位移-时间曲线Fig3-3Jointangulardisplacement-timecurve图3-4关节角速度-时间曲线Fig3-4Jointangularvelocity-timecurve图3-5关节角加速度-时间曲线Fig3-5Jointangularacceleration-timecurve1.4.3仿真结果分析采用四-三-四次组合多项式算法规划机械臂末端轨迹时，六关节的角度、角速度与角加速度变化连续无突变，相比于采用三-五-三次组合多项式算法时，角速度与角加速度变化更平缓。下表为两种插值算法在轨迹规划中各关节最大角速度与最大角加速度值。表3-1四-三-四与三-五-三组合多项式算法对比Fig3-1ComparisonofFour-Three-FourandThree-Five-ThreeCombinationPolynomialAlgorithms123456四三四q（rad/s）-0.721.75-0.491.92-1.88-1.85q（rad/s2）1.305.55-2.29-6.42-6.277.21三五三（rad/s）-1.361.24-1.111.55-1.47-1.39q（rad/s2）-4.9914.52-5.85-16.65-16.2518.42从结果对比可分析出，相比于三-五-三组合多项式算法，采用四-三-四组合多项式算法时，机械臂各关节的最大角速度与角加速度更小，1关节到6关节最大角速度分别减少了47.06%，45.99%，55.86%，45.92%，45.82%，45.43%；1关节到6关节最大角加速度分别减少了71.95%，61.78%，60.85%，61.44%，61.42%，60.86%，这表明关节角速度与角加速度变化小，运行更平稳，冲击力更小。因此，在六轴机械臂过两中间路径点的装配作业中，采用四-三-四组合多项式算法比采用三-五-三组合多项式算法更优。1.5三种3+4+4型插值算法分析1.4验证了了四-三-四型组合多项式算法用于轨迹插值时性能更优，四-三-四型的插值算法共有三种组合形式：三-四-四、四-三-四和四-四-三，接下来讨论哪一种组合形式具有更优的控制效果。三-四-四型与四-四-三型的组合多项式算法的表达式如下。三-四-四组合多项式算法表达式：&四-四-三组合多项式算法表达式：&边界条件与求解表达式待定参数的过程同四-三-四组合多项式算法，这里不再赘述，求得的结果如下。三-四-四组合多项式算法表达式参数：&四-四-三组合多项式算法表达式参数：&式中δ1、δ2与δ3与图3-6关节角位移-时间曲线Fig3-6Jointangulardisplacement-timecurve图3-7关节角速度-时间曲线Fig3-7Jointangularvelocity-timecurve图3-8关节角加速度-时间曲线Fig3-8Jointangularacceleration-timecurve从图3-6，3-7，3-8可以分析出，采用四-三-四组合多项式算法时，关节1-关节6的角度、角速度及角加速度均较为平滑，在中间路径点的跳变平缓，三-四-四组合算法或四-四-三组合算法均存在角速度和角加速度过大的情况，机械臂关节运转过快导致工作中振动加剧和关节电机、减速器损耗加大。因此，在过二中间路径点的轨迹规划中采用四-三-四组合算法更为合理。采用四-三-四组合算法时规划机械臂的装配路径时，在MATLAB的robotictoolbox工具箱中模拟机械臂的末端轨迹，轨迹经过四个点，起始点p0（0.353，0，0.35），中间路径点pm（0.453，0.2，0.25），中间路径点pn（0.453，0.2，-0.1）和终止点图3-9机械臂装配中的末端轨迹Fig3-9Endtrajectoryinmanipulatorassembly1.6过多个中间路径点的通用算法分析前面讨论了机械臂末端轨迹经过两中间路径点的插值算法，当机械臂末端需要经过多个路径点时，是否有一种通用算法，可以解决这类问题。设定有n−1个中间路径点时，中间路径点有4(n−1)个边界条件，起始点与终止点有6个边界条件，共4n+2个边界条件，即在过二个中间路径点的基础上，每多一个中间点，便会多4个边界条件，亦会多一段需规划的轨迹，根据未知参数数量等于边界条件数量的原理，多出的路径表达式为三次多项式表达式。综上，当机械臂末端需要经过n−1个中间路径点时，采用的组合多项式算法为：四-三-三-q=在满足机械臂运动中的速度与加速度不突变的条件下，边界约束表达式为：&其中，i=1，2，3，…，n−11.7小结本章针对六轴机械臂装配超声换能器时，机械臂末端过2个中间路径点的连续轨迹规划问题，研究了多种组合多项式算法，得出以下结论：（1）求解末端轨迹有两种组合多项式算法：3+4+4和3+3+5。采用3+4+4组合算法能使机械臂各关节