2026年中科院87光学应用光学复习题一参考答案

2026年中科院87光学应用光学复习题一参考答案一、几何光学基本定律与成像概念1.已知某介质对钠黄光（λ=589.3nm）的折射率n=1.52，对氢红光（λ=656.3nm）的折射率n'=1.51。若一束包含这两种波长的混合光以入射角i=30°从空气（n₀=1）入射到该介质表面，求两束折射光的折射角差Δi'。解答：根据折射定律n₀sini=nsini'，对钠黄光有：sini'_钠=(n₀/n)sini=(1/1.52)sin30°=(1/1.52)×0.5≈0.3289，故i'_钠≈19.23°对氢红光，n'=1.51，同理：sini'_氢=(1/1.51)×0.5≈0.3311，故i'_氢≈19.35°折射角差Δi'=i'_氢-i'_钠≈19.35°-19.23°=0.12°2.一光纤芯层折射率n₁=1.48，包层折射率n₂=1.46，求光纤的数值孔径NA及最大入射半角θ₀（设光纤置于空气中）。解答：数值孔径NA定义为NA=n₀sinθ₀，其中n₀=1（空气），θ₀为最大入射半角。根据全反射条件，芯层-包层界面的临界角i_c满足sini_c=n₂/n₁。当入射光在芯层中以临界角i_c入射到包层时，对应的入射半角θ₀满足n₀sinθ₀=n₁sin(90°-i_c)（由折射定律，入射光在端面的折射角为90°-i_c）。sin(90°-i_c)=cosi_c=√(1-sin²i_c)=√(1-(n₂/n₁)²)因此NA=√(n₁²-n₂²)=√(1.48²-1.46²)=√[(1.48-1.46)(1.48+1.46)]=√[0.02×2.94]=√0.0588≈0.2425最大入射半角θ₀=arcsin(NA)=arcsin(0.2425)≈14.07°二、球面镜与透镜成像3.一凹面镜曲率半径r=40mm，物体位于镜前30mm处，求像的位置、大小及虚实性质。解答：球面镜物像公式为1/l'+1/l=2/r（符号规则：实物l>0，实像l'>0；凹面镜r>0）。已知l=-30mm（注意：部分教材以顶点为原点，物在镜前l取负？此处需统一符号规则。通常采用“实物l为正，实像l'为正，凹面镜r为正”的规则，故物体在镜前l=+30mm，r=+40mm）。代入公式：1/l'=2/r-1/l=2/40-1/30=1/20-1/30=1/60→l'=60mm（正，实像）横向放大率β=-l'/l=-60/30=-2（负，倒立；绝对值2，放大）。因此像位于镜前60mm处（实像），倒立放大2倍。4.一双凸透镜折射率n=1.5，曲率半径r₁=30mm，r₂=-30mm（r₂为第二面曲率半径，符号规则：凸面朝向物方时r>0，反之r<0），求其在空气中的焦距f'。解答：薄透镜焦距公式1/f'=(n-1)(1/r₁-1/r₂)（注意r₂符号）。代入数据：1/f'=(1.5-1)(1/30-1/(-30))=0.5×(2/30)=0.5×(1/15)=1/30→f'=30mm（正，会聚透镜）。三、共轴球面系统组合5.两个薄透镜L₁和L₂，焦距分别为f₁'=50mm，f₂'=100mm，间距d=30mm，求组合系统的等效焦距f'及主点位置H'。解答：组合系统焦距公式1/f'=1/f₁'+1/f₂'-d/(f₁'f₂')（适用于空气中，符号规则：f₁',f₂'为正表示会聚）。代入数据：1/f'=1/50+1/100-30/(50×100)=(2+1)/100-30/5000=3/100-3/500=(15-3)/500=12/500=3/125→f'=125/3≈41.67mm主点位置H'到L₂的距离为x_H'=f'×(d/f₂')=(125/3)×(30/100)=(125/3)×(3/10)=12.5mm（H'在L₂右侧12.5mm处）。四、像差基础与校正6.解释球差与彗差的产生原因及主要区别，说明双胶合透镜为何能同时校正球差和色差。解答：球差是轴上点发出的宽光束经透镜后，不同孔径角的光线交于光轴不同位置的现象，由球面的非理想成像特性引起，与孔径平方相关。彗差是轴外点发出的宽光束经透镜后，不同孔径光线在像面形成彗星状弥散斑的现象，由轴外点光束的不对称性导致，与孔径和视场的乘积相关。两者区别：球差仅与孔径有关，对称分布于光轴；彗差与孔径和视场均有关，呈不对称的彗星形。双胶合透镜由正负透镜胶合而成，正透镜（冕牌玻璃，低色散）提供主要光焦度，负透镜（火石玻璃，高色散）补偿色差（利用两种玻璃的色散系数V₁、V₂满足φ₁/V₁+φ₂/V₂=0）。同时，通过选择合适的曲率半径，使正负透镜产生的球差符号相反、大小相等，从而相互抵消。例如，正透镜的球差为正（边缘光线会聚点更靠近透镜），负透镜的球差为负（边缘光线会聚点更远离透镜），合理设计可使总球差为零。五、典型光学仪器原理7.一台显微镜物镜的数值孔径NA=0.85，目镜焦距f_e'=25mm，物镜共轭距（物面到像面距离）为195mm，求：（1）物镜的放大率β₀；（2）显微镜的总放大率Γ（设明视距离D=250mm）。解答：（1）显微镜物镜的共轭距L=Δ+f₀+f₀'（Δ为光学筒长，即物镜后焦点到目镜前焦点的距离；对于薄物镜，f₀=f₀'）。通常物镜设计为物方在f₀附近，像方在Δ+f₀'≈Δ（因f₀较小），故L≈Δ+2f₀。但更准确的方法是利用物镜放大率β₀≈-Δ/f₀'（Δ=195mm-f₀-f₀'≈195mm-2f₀'，但实际中Δ≈160mm为标准筒长，此处题目未明确，假设Δ=195mm-l₀-l₀'，其中l₀为物距，l₀'为像距，满足β₀=l₀'/l₀，且l₀'-l₀=195mm（实物距l₀<0，像距l₀'>0，故实际距离为l₀'+|l₀|=195mm）。由薄透镜公式1/l₀'-1/l₀=1/f₀'（符号规则：实物l₀<0，故-1/l₀=1/|l₀|），设|l₀|=x，则l₀'=195mm-x，代入得：1/(195-x)+1/x=1/f₀'物镜放大率β₀=l₀'/l₀=-(195-x)/x（负号表示倒立）。同时，NA=nsinu≈n(y/|l₀|)（y为入射光瞳半径，u为物方孔径角，n=1，故NA≈y/x）。但题目未给y，需另寻方法。通常显微镜物镜的放大率β₀≈-Δ/f₀'，而Δ≈l₀'-f₀'（像方焦点到像面的距离），假设物镜设计为物在f₀'附近，即l₀≈-f₀'，则l₀'≈Δ+f₀'≈Δ（因f₀'较小），故β₀≈-l₀'/f₀'≈-Δ/f₀'。但题目中给出共轭距L=195mm=l₀'+|l₀|=l₀'+f₀'（因l₀≈-f₀'），故l₀'=195mm-f₀'，则β₀=-l₀'/f₀'=-(195-f₀')/f₀'≈-195/f₀'（忽略f₀'）。另一种方法：对于高倍物镜，NA与放大率β₀近似满足NA≈β₀×n×sinu'（u'为像方孔径角），但此处可能需简化。假设物镜为薄透镜，且物距l₀≈-f₀'（物在物方焦点附近），则像距l₀'≈Δ≈195mm（因共轭距为物面到像面距离，即l₀'-l₀=195mm，l₀≈-f₀'，故l₀'≈195mm+f₀'≈195mm），则β₀=l₀'/l₀≈-195/f₀'。同时，物镜焦距f₀'=n/(2NA)（近似公式，适用于高NA物镜），n=1，故f₀'≈1/(2×0.85)≈0.588mm（显然不合理，说明此近似不适用）。正确方法应使用物像公式：设物距l₀=-x（x>0），像距l₀'=195-x（因实物到像面距离为x+l₀'=195mm），由1/l₀'+1/x=1/f₀'（薄透镜在空气中，公式为1/l₀'-1/l₀=1/f₀'，l₀=-x，故1/l₀'+1/x=1/f₀'）。放大率β₀=l₀'/l₀=-(195-x)/x。同时，NA=nsinu≈n(y/x)（y为入射光瞳半径），但无y，题目可能假设物镜为薄透镜且满足β₀≈-Δ/f₀'，其中Δ为筒长（通常160mm），但题目中Δ=195mm-2f₀'（假设f₀'=f₀），可能需重新考虑。可能题目意图简化，直接使用β₀≈-Δ/f₀'，而Δ=195mm（共轭距），但更合理的解法是：对于薄透镜，共轭距L=l₀'-l₀（l₀为负，故L=l₀'+|l₀|），放大率β=l₀'/l₀=-(l₀')/|l₀|，设|l₀|=a，则l₀'=βa，L=βa+a=a(β+1)，故a=L/(β+1)，l₀'=βL/(β+1)。由物像公式1/l₀'-1/l₀=1/f₀'→1/(βL/(β+1))+1/(L/(β+1))=1/f₀'→(β+1)/(βL)+(β+1)/L=1/f₀'→(β+1)(1+β)/(βL)=1/f₀'→(β+1)²/(βL)=1/f₀'。但题目未给f₀'，可能需通过NA与β的关系。实际中，显微镜物镜的数值孔径NA与放大率β满足NA≈β×n×sinu'，但n=1，u'为像方孔径角，通常β≈NA×1000/3（经验公式），但此处可能题目希望忽略复杂关系，直接给出β₀=-40（假设），但更准确的解法应补充：可能题目中“共轭距”指物面到像面的距离为195mm，即l₀'-l₀=195mm（l₀为负，故l₀'+|l₀|=195mm）。设物镜焦距f₀'=10mm（假设），则由1/l₀'+1/|l₀|=1/10，且l₀'+|l₀|=195，解得|l₀|=195-l₀'，代入得1/l₀'+1/(195-l₀')=1/10→(195-l₀'+l₀')/[l₀'(195-l₀')]=1/10→195/[l₀'(195-l₀')]=1/10→l₀'(195-l₀')=1950→l₀'²-195l₀'+1950=0→解得l₀'≈(195±√(195²-4×1950))/2≈(195±√(38025-7800))/2≈(195±√30225)/2≈(195±174)/2，取大根l₀'≈(195+174)/2≈184.5mm，|l₀|=195-184.5=10.5mm，β₀=-l₀'/|l₀|≈-184.5/10.5≈-17.57（此为示例计算，实际题目应给定更多参数）。（2）显微镜总放大率Γ=β₀×Γ_e，其中Γ_e=D/f_e'=250/25=10（倍）。若β₀=-17.57，则Γ≈-175.7倍（负号表示倒立）。8.一台开普勒望远镜物镜焦距f₀'=1000mm，目镜焦距f_e'=20mm，求其视放大率Γ及物镜与目镜的间距L（设为正常调节，即无穷远成像）。解答：开普勒望远镜视放大率Γ=-f₀'/f_e'=-1000/20=-50（倍，负号表示倒立）。正常调节时，物镜后焦点与目镜前焦点重合，故间距L=f₀'+f_e'=1000+20=1020mm。六、光度学与色度学基础9.一白炽灯的发光效率为15lm/W，总功率100W，发光强度在各方向均匀分布（朗伯光源），求其发光强度I及距离光源2m处的光照度E。解答：总光通量Φ=发光效率×功率=15×100=1500lm。对于各向均匀发光的点光源，发光强度I=Φ/(4π)=1500/(4×3.1416)≈119.37cd。距离r=2m处的光照度E=I/r²=119.37/(2²)=29.84lx。10.解释CIE1931RGB色品图的构建原理，说明色品坐标(x,y)的物理意义。解答：CIE1931RGB系统选择三种基色（红R、绿G、蓝B），通过调整三基色的光通量比例匹配任意颜色，定义色品坐标为r=R/(R+G+B)，g=G/(R+G+B)，b=B/(R+G+B)（r+g+b=1）。由于b=1-r-g，故用(r,g)二维坐标表示色品。实际中为避免负坐标，CIE1931XYZ系统通过线性变换将RGB基色转换为XYZ三刺激值，色品坐标定义为x=X/(X+Y+Z)，y=Y/(X+Y+Z)，z=1-x-y。色品坐标(x,y)表示颜色中各基色的相对比例，与总亮度无关，反映颜色的色调和饱和度。七、光的干涉与衍射应用11.用波长λ=589nm的钠光垂直照射到空气劈尖（折射率n=1）上，测得相邻明纹间距l=0.25mm，求劈尖的夹角θ（以弧度表示）。解答：劈尖干涉相邻明纹间距l=λ/(2nθ)（n=1），故θ=λ/(2l)=589×10^-9m/(2×0.25×10^-3m)=589×10^-9/(5×10^-4)=1.178×10^-3rad≈0.0675°。12.一圆孔衍射系统，圆孔直径D=2mm，波长λ=632.8nm，求艾里斑的半角宽度θ₁及在焦平面上的半径r（焦距f=500mm）。解答：艾