有限单元法基础第2版 课件 第13章 小变形非线性有限元基本原理

第13章小变形非线性有限元基本原理13.1引言小变形固体力学问题场方程小变形静力学问题有限元一般格式非线性代数方程数值解法小变形非线性动力有限元小变形非线性弹性有限元13.2小变形固体力学问题场方程1平衡方程2几何方程3本构方程线弹性本构4边界条件5初始条件13.3小变形静力学问题有限元一般格式1单元虚功方程代入虚功方程位移插值几何关系2系统有限元平衡方程结构划分n个结点，所有结点的位移列向量将所有单元虚功方程进行叠加是相邻单元作用于当前单元的等效结点载荷非线性材料线弹性材料非线性方程13.4非线性方程组数值解法1Newton法求解非线性方程组设是方程的n次近似解设新的近似解为代入方程，将在附近作Taylor展开1)Newton迭代算法算法Jacobi矩阵Taylor展开式取至线性项故：引入记号：有限元分析中，Jacobi矩阵代表切线刚度矩阵。Newton法迭代公式可改写为非线性方程迭代求解的收敛性如果迭代过程的序列满足迭代序列收敛于a*迭代过程中的一系列数值为如果则收敛如果存在常数称p阶收敛，收敛率为c。向量：p阶收敛，收敛率为c。收敛可采用不同范数收敛准则Newton迭代法要求初始值与解必须充分靠近，称其具有局部收敛性。初始值的选择至关重要。位移增量范数（α

为事先指定的一个很小的数）位移收敛准则：非平衡力：（β

为事先指定的一个很小的数）非平衡力收敛准则收敛阶大的序列比收敛阶小的序列收敛得快。Newton法得到的序列具有二阶收敛速度。迭代法的效率每迭代一步所需的工作量收敛速度满足的序列称为p阶收敛，收敛率为c。迭代算法过程（1）给定初始近似a0及计算精度α

和β（2）假定已进行了m次迭代，已求出：计算：（3）解方程组：求得：（4）计算：（5）若：或收敛，得到解。否则转至（2）进入下一循环。几何意义初始切线刚度切线刚度法2)简化Newton法为节省计算量，将每步计算改为使用固定的算法成为：每一步迭代所需计算时间减少，但迭代过程的收敛速度降低了，仅为线性速度。3)

修正

Newton

法为提高简化Newton法的收敛速度，可采用过量修正技术：过量修正因子可采用一维搜索方法，使在搜索方向上的分量为零，即：a）过量修正b）修正Newton法在使用简化Newton法时，每经过M次迭代后，重新计算一次Jacobi矩阵具有M＋1阶收敛速度。2拟Newton法应满足拟Newton方程

BFDS算法（最有效的方法之一）前述迭代法几乎都为局部收敛的，要求初始值与解充分靠近，实际计算中有时很困难。大多数非线性问题，如弹塑性问题，变形与加载的大小和历史有关，必须采用增量方法。3载荷增量法载荷因子，描述载荷变化的参数设a是对应于λ的解，是对应于的解作Taylor展开a）基本算法引入记号：考虑到：或将λ分成N个增量计算公式一般情况下b）改进方法改进算法（自修正方法）将由下列公式得到的解作为初步值，在增量步长内使用Newton迭代得到改进公式：（混合法）1Cauchy材料本构方程13.5小变形非线性弹性有限元非线性弹性材料应力-应变曲线变形可逆，可由现时应变唯一地确定现时应力。各向同性非线性弹性材料割线弹性矩阵割线柔度矩阵ES割线Young模量割线Poisson比割线体积模量割线剪切模量割线Young模量和割线Poisson比增量形式DT是应变的函数，称为材料的切线弹性矩阵次弹性材料非线性有限元方程2非线性有限元方程位移插值3方程求解Newton迭代法求解切线弹性矩阵DT是应变或位移a的函数Newton法迭代公式初始切线刚度法还可以采用拟Newton迭代法和其他算法。Newton法计算过程：a0=0（1）（2）（3）（4）（5）满足得收敛解，不满足转（2）13.6小变形非线性动力学有限元1有限元方程位移插值平衡方程和力的边界条件等效积分形式的Galerkin提法2非线性动力方程求解时刻的方程忽略阻尼Newmark求解方法依赖于tn时刻的解若（1）（2）（1）（2）若M为对角阵，显式算法。一种隐式求解方法将（1）代入利用Newton迭代法当前时间步更新解上标k表示时刻tn+1时的平衡迭代次数可把上一个时间步的收敛解作为当前时间步的初始值每一个时间步的收敛准则α为以误差容限小数广义α法若忽略阻尼采用Newton迭代法可得